2002新疆考研数学二真题及答案.doc

发布时间：2022-09-22 发布人：admin 分类：说明书资料大小：1.32M 资料格式：doc 举报版权申诉

第1页 / 共17页

第2页 / 共17页

第3页 / 共17页

第4页 / 共17页

第5页 / 共17页

第6页 / 共17页

第7页 / 共17页

第8页 / 共17页

2002新疆考研数学二真题及答案

2002 新疆考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上) (1) 设函数 ( ) f x tan   1 e   arcsin    ae , 2 x , x x 2 x  0 x  0 在 0 x  处连续，则 a  . (2) 位于曲线 y  xe  x (0    下方， x 轴上方的无界图形的面积是_______. x ) (3) 微分方程 yy   y 2  满足初始条件 0 y  1,  y x  0 x  0  的特解是_________. 1 2 (4) lim n  1 n    1 cos   n  1 cos  2  n ...   1 cos   n   n   _____ . (5) 矩阵 0 2 2       2  2 2  2    2   2  的非零特征值是_________. 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) 1 (1) 设函数 ( ) x   时，相应的函 x   处取得增量当自变量 x 在 f u 可导， 2( f x 0.1  y ) 数增量 y 的线性主部为 0.1 ，则 (1) f  =( ) (A)－1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5 (2) 设函数 ( ) f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( ) (A) (C) x f 0 ) xt f [ 2 ( t dt   x 是二阶常系数微分方程 )] t dt  ( ) t  ( f 0 (3) 设 ( ) y 0   py 0  y    qy  e 3x 满足初始条 (0) y y (0) 0  的 (B) x f 2 ( ) t dt (D) xt f [ ( ) t  f ( )] t dt  特解，则当 x  ，函数 0 2 ) ln(1 x  ( ) y x 的极限( ) (A)不存在 (4) 设函数 y  ( ) f x (B)等于1 ) 内有界且可导，则( (C)等于2 ) 在 (0, (D)等于3 (A)当 lim ( ) 0 f x  时，必有 lim ( ) 0  .  f x x  x 

 存在时，必有 lim ( ) 0 (B)当 lim ( ) f x  .  f x x  x  (C)当 lim ( ) 0  0 x f x  时，必有 lim ( ) 0  .  0 x  f x (D)当  存在时，必有 lim ( ) f x  0 x lim ( ) 0  .  0 x  f x (5) 设向量组 1 ,   线性无关，向量 1 可由 1 ,   线性表示，而向量 2 不能由 , , 2 3 2 3 ,   线性表示，则对于任意常数 k ，必有( , 1 2 3 ) (A) ,   , , 1 2 3 k  线性无关； 1 2 (C) ,   , 3 , 1 2 2k  1 线性无关；三、(本题满分 6 分) 已知曲线的极坐标方程是 1 cos   r  直角坐标方程. 四、(本题满分 7 分) (B) (D) ,   , , 1 2 3 k  线性相关； 1 2 ,   , 3 , 1 2 2k  1 线性相关，求该曲线上对应于  处的切线与法线的  6 设 ( ) f x       2 x  xe x  ( e 3 2 x 1) x 2 , 1    x 0 求函数 ( ) F x , 2 0   x 1   x  1 f ( ) t dt 的表达式. 五、(本题满分 7 分) 已知函数 ( ) f x 在 (0, ) 内可导 ( ) 0 f x  ， lim ( ) 1  f x x  , 且满足 lim( 0 h  ) ( f x hx  ( ) f x 1 h ) 1 x  e ,求 ( ) f x . 六、(本题满分 8 分) xdy 求微分方程  ( x  2 ) y dx  的一个解 0 y  ( ) y x ,使得由曲线 y  ( ) y x ，与直线 x 1, x  以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小. 2

七、(本题满分 7 分) 某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD ，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m (米)？ D 1m 1m C l h A B 1m 八、(本题满分 8 分) x 3, 设 0   x 1 n  1  x n (3  x n )( n   ，证明数列 nx 的极限存在，并求此极限. 1,2, ) 九、(本题满分 8 分) 设 0 a b   ，证明不等式 2 a b  2 2 a ln  a ln b  b a   1 . ab 十、(本题满分8分) 设函数 ( ) f x 在 0 x  的某邻域内具有二阶连续导数，且 (0) 0,  f f  (0) 0,  f  (0)  0. 证明:存在惟一的一组实数 1 ,   ，使得当 , h  时， 0 2 3  1 ( ) f h   2 f (2 ) h   3 f (3 ) h  f (0) 是比 2h 高阶的无穷小. 十一、(本题满分 6 分) 4 E ,其中 E 是3阶单位矩阵.   2 已知 ,A B 为3 阶矩阵，且满足 1  A B B (1) 证明：矩阵 2A E 可逆； 2 0  2 0 2 0 ,求矩阵 .A (2) 若       1 1 0      B 十二、(本题满 6 分) 已知 4 阶方阵 A     4  ( , , , 1 2 3 ),     均为 4 维列向量，其中 2 1 ,   线性 , , , , 2 3 4 3 4 无关， 1 2   3   2 .如果      4     ，求线性方程组 Ax  的通解. 1 2 3

参考答案一、填空题 (1)【答案】 -2 【详解】如果分段函数 ( ) f x 连续，则 ( ) f x 在 0 点处的左右极限相等，从而确定 a 的值．当 x   时， 0 1  tan xe   tan x  ； arcsin  x lim ( ) f x x  0  lim ( ) f x x  0   lim 0 x   tan 1 e  arcsin x x 2 = lim 0 x    tan x 2  lim 0 x   2 x ae   a f (0)  ，所以有 x 2 x 2 x = 2   ； lim 0 x   x  x 2 如果 ( ) f x 在 0 x  处连续，必有 (0 )  f  f (0 )   f (0), 即 a   2. (2)【答案】 1 【详解】面积 S    0 x  xe dx     0  x xde    xe   x   x  e dx  0      x xe    x  e    0   lim b     x xe  e  x b 0     lim b  be    b  b  e   1   1 其中 lim b   b be  lim b  b b e 洛 lim b  1 b e  0 ． (3)【答案】 y x  1 【详解】方法 1：这是属于缺 x 的  y  ( , f y y  ) 类型．命  y  , p y   dp dx  dp dy dy dx  p dp dy ．原方程 yy   y 2  化为 0 yp dp dy  2 p  ，得 0 p  或 0 dpy dy   p 0 p  ，即 0 dy dx  ，不满足初始条件 0 y '  1 2 x  0 ，弃之；所以 p  0

所以， dpy dy   ，分离变量得 p 0 dy y   ，解之得 dp p 1 .Cp  y 即 dy dx  1 .C y 由初始条件 y  1, y ' x  0  1 2 x  0 ，可将 1C 先定出来： 1 2  C C , 1 1 1  ．于是得 1 2 dy dx  1 2 y 解之得， 2 y 号   , x C y 2   x C  ．以 2 1C  ．于是特解是且 2 y x 1  ． xy   代入，得 1 0 1   C 2 ，所以应取“+” 方法 2：将 yy  yy   ，从而得 0 yy C  ．以初始条件 1 y 2 ) 0  改写为 (  y 11   ，所以得 2   C 1 y 2, 2 代入，有 y   x C yy  ．即 2 1 2 yy  ，改写为 2( 1   y (0) (0) 1, 1 2 y   ．解得 1 ) 1 x C  ．再以初值代入，   C 2 所以应取" " 且 2 1C  ．于是特解 y x 1  ． (4)【答案】 2 2  【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限．因为 lim n  1 n    1 cos   n  1 cos  2  n ...   1 cos   n   n   1 lim  n n  i 1  1 cos  其中 ( ) f x  1 cos , x  x   i i     n n  ,( i n  1 lim   n n  i 1  f ( i  ) n  x i 1,2,   ，所以根据定积分的定义，有 , ) n lim n  1 n    1 cos   n  1 cos  2  n ...   1 cos   n   n    0 1 cos  xdx  2    0 cos x 2 dx  2 2   1  (5)【答案】4

【详解】记 A  0 2 2       2  2 2  2  2  2      ，则  E A                 0 2 2       2  2 2  2  2  2       2   2      2   2 2 2 2        2 (对应元素相减) 两边取行列式， E A   2   2 2   2 2 2 2   2 2 行行 3   0 2 2 2 2   2   把第行的公   因子提出来 2  2  0 1 2 2 2 1   2 1 行行 2    2  0  0 1 2 2 0 1   2 按第行展开 1    ( 1)    1 1 1 2 1   2 (其中 1 1 ( 1)  指数中的 1 和 1 分别是所在的行数和列数)    2( 4)   2(   2 2) 令 E A   ，解得 1 30,    0   2  ，故 4 4 是矩阵的非零特征值．(另一个特征值是 0 (二重)) 二、选择题 (1)【答案】(D) 【详解】在可导条件下， y   dy x x dx  0 x o x    ，当 ( ) dy dx   时 x x 0 0 dy x x dx  0   称为 y 的 x 线性主部． dy dx 而    x  2( f x )2 x x  ，以 x      代入得 0.1 1, x dy dx    x f  (1) 0.2  ，由题设它等于 0．1，于是 (1) 0.5  ，应选(D)． f  (2)【答案】(D) x  0 [ t f ( ) t  f ( )] t dt  ，则 F x  ( )   x  0 [ t f ( ) t  f ( )] t dt  ，令【详解】对与(D)，令  ( ) F x   ，所以 t u  ，则 dt F x  ( [ t f x du   xu f  [ 0 0 )   ( ) t  f ( )] t dt   x  0 ( )[ u f  ( u   ) ( )] f u  du ( u   ) ( )] ( ), f u du F x  所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如 ( ) 1   ．故应选(D)． f t t

(3)【答案】(C) 【详解】由  y  py   qy 3x  ，且 (0) y e y (0) 0  ，可知 (0) 1  y 方法 1：因为当 2 x  时， 0 ln(1  2 )x 2  ，所以 x lim 0 x  2 ) ln(1 x  ( ) y x  lim 0 x  2 x ( ) y x  lim 0 x  2 x  ( ) y x = lim 0 x  2  ( ) y x  2 1  2 ，故选(C)．方法 2 ：由于 (0) y  y  (0) 0,  y  (0) 1  ．将函数 ( ) y x 按麦克劳林公式展开 ( ) 0 0 y x    2 x 2  2 ( o x ) ，代入 2 ) ln(1 x  ( ) y x ，有 lim 0 x  2 ) ln(1 x  ( ) y x  lim 0 x  1 2 2 x 2 x  2 ( o x ) = lim 0 x  2 1 ( o x 2 x ) 1 2   2 ． (4) 【详解】方法 1：排斥法．令 ( ) f x  sin 1 x f x 2 x ，则 ( ) f x 在 (0, 1 2 x  不存在，故(A)不成立；  ，但 lim ( ) f x ) 有界，  ( ) f x   lim ( ) 0 x  x  sin x 2  2cos x 2 ， lim ( ) 0  0 x f x  ，但 lim ( ) 1 0  0 x  f x   ，(C)和(D)不成立，故选(B)．  存在，记 lim ( )  方法 2：证明(B)正确．设 lim ( ) f x f x  ，证明 A 0A  ． x  用反证法，若 0A  ，则对于  ，存在 0X  ，使当 x X 时，  ( ) f x  A    ，即 A A 2   A 2 f x 有界且大于  A 2 A 2 x X  ( ) f x  ( f X )  f  ( )( )  ( f X )  x X  ) 由此可知， ( ) ．在区间[ , x X 上应用拉格朗日中值定理，有 x  0 A 2  ( ) f x   A  3 A 2 A 2 ] A 2 (   ，与题设 ( ) f x 有界矛盾．类似可证当 0A  时亦有矛盾．故从而 lim ( ) f x x  0A  ． (5)【答案】A 【详解】方法 1：对任意常数 k ，向量组 1 ,   ， 1 , 2 3 k  线性无关．用反证法，若 2

,   ， 1 1 k  线性相关，因已知 1 ,   线性无关，故 1 k  可由 1 ,   3 , , , 2 3 2 2 3 2 2 线性表出．即存在常数 1 ,   ，使得 1 k     3 1 1     , 2 3 2 2 2 3 又已知 1可由 1 ,   线性表出，即存在常数 1 l , 2 3 , l 2 , l ，使得 1 3     3 l 1 1 l 2 l 3    2 代入上式，得 k   1 2   ( k l        1 1 3 1 1       l 3 l 2 2 3 2 2 2 3 )  2   1  (  kl 1 )   2  ( 1  kl 2 )   3  ( 2  kl 3 )  3 与 2 不能由 1 方法 2：用排除法 ,   线性表出矛盾．故向量组 1 ,   ， 1 k  线性无关，选(A) , , 2 3 2 3 2 B 选项：取 0 k  ，向量组 1 ,   ， 1 k  即 1 ,   ， 2 线性相关不成立， , , 2 3 2 2 3 否则因为 1 ,   ， 2 线性相关，又 1 ,   线性无关，故 2 可由 1 ,   线性表 , , , 2 3 2 3 2 3 出．即存在常数 1 ,   ，使得 2     3 1 1    , 2 3 2 2 3 与已知矛盾，排除(B)． C 选项：取 0 k  ，向量组 1 ,   ， 1 2k  , 2 3 ，即 1 ,   ， 1线性无关不成 , 2 3 立，因为 1可由 1 ,   线性表出， 1 ,   ， 1线性相关，排除(C)． , , 2 3 2 3 D 选项： 0 k  时， 1 ,   ， 1 2k  , 2 3 线性相关不成立．若 1 ,   ， 1 2k  , 2 3 线性相关，因已知 1 ,   线性无关，故 1 2k  , 2 3 可由 1 ,   线性表出．即存在常 , 2 3 数 1 ,   ，使得 1 k     3 1 1     , 2 3 2 2 2 3 . 又已知 1可由 1 ,   线性表出， , 2 3 l 即存在常数 1 , l 2 , l ，使得 1 3     3 l 1 1 l 2 l 3    2 代入上式，得          1 3 ( l 1 1 1 1 l 2 l 3         k k ) 2 2 3 2 2 2 3  2        3       l 3 l 1 k l 1 2 ( ) ( ) ( ) 1   1 k l 1  1   2 2  k l 2 2   2 3   3 k ,   , 3 , 2 l 3  3 因为 0 k  ，故  2  与 2 不能由 1 故选(A)． ,   线性表出矛盾．故 1 , 2 3 2k  1 线性相关不成立，排除(D)．三【详解】由极坐标到直角坐标的变换公式 x    y r r cos sin   ，化极坐标曲线 1 cos   r  为直

分享到：

赞收藏

资料库

2002新疆考研数学二真题及答案.doc

相关推荐

考研

热门标签

最新资料