第五次作业：练习二之 1、2、3、4、5 题 ]  t  sin cos [ BE 2.1 随机过程 )( tX 0] [ [ ] AE BE   ， )] ( [ tXE 解： cos  sin ，其中为常数，A、B 是两个相互独立的高斯变量，并且 A t Bt    2 2 2 。求 X(t)的数学期望和自相关函数。 [ ] [ ] AE BE   cos [ ] sin [ AE t Bt AE      sin] cos [ ] [ BEt AE t     0 ] 0] [ [ AE BE   ） （ ) ,( )] )( cos )( [ ( cos sin [( )] sin tRX t B At t tXtXE AE B t t         2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 [ cos sin sin cos cos cos sin sin ] AE AB t B t t t t t AB t t         2 1 2 1 2 1 1 2 cos ] [ [] sin] [ cos ] [] cos [ sin [ cos AE t t BEAE BEAE t t t t BE        2 1 1 1 2 2 2 2 cos cos ] [ [ [ ] [ ] ( ]) [ sin] sin AE XD t t t t BE XE XE       （ 2 1 1 2 2 cos ( ) t  t   1 2 )( cos  t  2 sin] 2 ）  sin t  （ ） t 1 ] 2 2 2 2 t  2 t 1 2.2 若随机过程 X(t)在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。 证： 由均方连续的定义 展开左式为： = lim 0 t  ( )(( [{ ( lim tXt tXE  0 t  ( lim [ )] t tXE  固有 0 t  2 ( [ lim tXE 0 t  ( ( ) [ tX t tXE  ))] ( ) tX t  [ ( )] 0 tXE   ，  2 ) ])( t tX )( ( )( ) ) tXt tX tXt  ( ( )(( [ tX tXtXE   0  ) t  (  ))] )] 2 ( tX 0  ，证得数学期望连续。 2.3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数  2 。 t 1  t 2 2 2 ) t ,( tR 1 t t  1 证： ) ,( tR t  1 t  1 lim 0 t  1 ,( tR 1 t t  1  t ) 2 2  2 lim ,0 t  t  0 2 1 也就是 lim 0 t  ( tR 1 X  2  lim 0 t  1 ( [ tXE  1 )  ,( tR 1 , t t 2 1 t  1 ( tXtX  )( 1 t 2 )  lim 0 t  1 ( [ tXE 1  )] 2  ( [ tXE ){ 2 ) ) ( tXt 1 2 t  1 ( [ tXE  t  2 1 lim ,0 t ({[ tXE ( tXE [{ 2 0  t 2 )  t  ) t lim 0 t  1 t 1  )  t ){ ( tX 1 2 2  ) t 1  ( tX ( )}{ tX 1 2 t t  1 ]})( tX 2 2 存在。 ( )}] tX 1 t t  1 ])}( tX 1 2  [ ( tXtXE )( 1 2 )] ( tX 1 )}] ( ) )] tXt 1 2 t  1 ) t 1 ( tX  1 t  1 [ ( tXE  ){ ( tX 1  ) t 1 ( tX 1 )}] 2 在 t  时存在， 1 t 2 2.4 判断随机过程 cos( 布的随机变量，且相互独立。 )( tX A   Φt  ) 是否平稳？其中为常数，A、Φ 分别为均匀分布和瑞利分 Φf )(   1 2  0   2 ； )( af A   2 a 2 2  ea 2  a  0 

解： E [cos(  Φt  )]  )]  [ AE  Φt  )]  2  cos(  0 [ ] EAE  Φt  [cos( 1) d   2  Φt   )] 0  [ ( tXE ,( ttRX cos( 2 [ AE 1 2  )   cos(  Φt  ) cos{ )  ( t   Φ }]  2AE [ ] cos 与时间的起点无关，且 2 tXE ( [ )] 0 1 2 2 ] [ EAE [cos( 2  Φt  2  )   cos ]  因此，是广义平稳的随机过程。 2.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量 A、B 构成的随机过程 )( tX  A cos   Bt sin 0 t  0 是宽平稳而不一定是严平稳的。其中 t0 为常数，A、B 的数学期望为零，方差 2 相同。 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0   ( )] sin t B    0 sin ) cos sin AB t   0 0 0 ( [ ) [] ) t BEAE     B  cos t sin )]  ( t ( t  sin] t 0  ( t sin] [ BE )  [ )] ( [ cos ] 0 [ sin] tXE AE t BEt      证： 0 0 ,( cos sin ) [( ( )( ) cos AE ttRX Bt At t         0 0 0 2 ( ( ) cos sin cos [ cos ) AB AE t t t t       0 0 [ cos cos [ ) ( ] [] sin ] cos t AE t BEAE t     0 0 2 [ sin sin] ( ) t t BE    0 2 ) [ cos ] cos ( t AE t    2 cos   2 tXE ( )] [ 因此，是广义平稳的随机过程。 ) , [( cos ,( sin t AE tRX t B t    3 10 1 2 2 cos cos cos [( t t AB AE    20 10 3 2 cos [( cos cos BA t AE t    20 10 2 2 cos cos [( cos AB BAE t t    10 20 3 cos [ cos cos t AE t t    30 20 10 可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。 cos )( sin )] cos )( B t At t B t At        20 20 30 30 10 2 sin cos sin sin )( sin AB t t B At t t      20 10 20 20 10 2 sin cos sin sin cos ) sin BA AB t t t t t      20 20 10 20 10 2 sin sin cos sin sin sin) AB t t B t t t      10 20 10 20 20 3 sin ] sin [ sin t t t BE  30 20 10 sin t 10 t 10 t 10 XD [ XE sin cos t  30 ] t  30 ] t  30 ]  ( [ XE 2 ]) ） （ ( t   [ ] ] t 2 3 0 0 2  B sin t  30 )]