CT投影视野受限的图像重建.pdf-资料库

http://www.paper.edu.cn 视野受限的的的的图像重建 CTCTCTCT 投影投影投影投影视野受限图像重建图像重建视野受限视野受限图像重建赵双任多伦多 DTI 成像行 shrzhao@126.com 扬新铁西北工业大学 yangx@nwpu.edu.cn 摘要：CT(Computer Tomography)设备的探头宽度有限可引起探头视野受限 (Limited Field of View, LFOV)，由此产生的投影数据被截断。由被截断的投影数据进行图像重建产生截断膺像 (Truncation Artifacts)。外插算法(Extrapolation)可以减小截断膺像。但此种算法常常会矫枉过正或校正不足。传统的重建重投影(Reconstruction Reprojection)迭代算法适合视角(Limited Angle of View) 受限的情况，但对视野受限情况并没有明显的优势。本文为 CT 投影视野受限的图像重建建立一个理论基础。由此可以对出一个新的迭代算法。 1.1.1.1.引言引言引言引言常用 CT 探头的宽度为 40cm。探头视野大约为 26cm 取决于 CT 系统的摄像的缩小率。常用 CT 系统采用扇形和锥形光束。探头视野是 CT 系统旋转中心处探头的宽度的对应值。此处缩小率指光源到 CT 系统旋转中心的距离与光源到探头的距离的比值。病人的身体一般大于 26cm，因此此情况下探头视野小于病人的身体。此种情况称为探头视野受限。探头视野受限会引起由探头测量所得到的投影数据在探头边缘处被截断。此处截断是指投影数据在探头边缘处以外突然为零。 FPB 算法[1]常常用于用扇形和锥形光束 CT 投影数据的图像重建。若将 FPB 算法直接用于截断的投影数据，重建的图像将包含截断膺像。截断膺像是在感兴趣区域边缘处的亮环。此处感兴趣区域即要进行图像重建的区域，此区域为圆形，正好落在所有 CT 投影的视野内。CT 视野以外区域重建的图像质量很差，一般不予以考虑。感兴趣区域的直径应小于 CT 视野的宽度，即感兴趣区域加上一个环状边缘区域所构成区域的直径正好为 CT 视野宽度相同。文献[2]采用的边缘宽度为 10 个像素点。但截断膺像主要集中在感兴趣区域的边缘处，增加环状区域的宽度只是选择更容易的问题去求解，而没有解决问题本身。因此本文假定上述环状边缘区域的宽度为零，即感兴趣区域的直 1

http://www.paper.edu.cn 径都与 CT 视野的宽度正好相同。消除截断膺像的常用算法为外插算法[3,4]。外插算法估计投影视野外丢失了的投影数据。该算法的结果依赖于用于外插的函数，例如，常数外插，线性函数外插，多项式韩数外插，COS 函数外插，指数函数等等。因此该算法重建的图形常常被矫枉过正，或矫正不足。如果矫枉过正，感兴趣区域边缘处的亮环变成暗环。如果矫正不足此亮环有所减弱，但仍不消失。小波(Wavelet) 算法也常被用来减轻截断膺像。但是小波算法常常接合外插算法一起使用[2,3]。文献[3]承认在所谓小波算法中对截断膺像起作用的还是外插算法。已知先决条件的方法被用来解决探头视野受限的问题[5]。如果病人的身体落在感兴趣区域外只是一小部分比如两个胳膊， Hibert 变换算法可给出解析解[6]。局部断层扫描(LocalTomography) 算法[8,9]可完全消除截断膺像。但该算法在消除截断膺像的同时图像凹陷。 angle of view)问题的计算结果并提到该算法对探头视野受限问题也有效，但没有给出这方面的计算结果。利用此算法至今也没有看到比外插算法更好的计算结果。文献 [11] 将该算法用于解决偏移探头 (Offset Detector)的投影数据截断问题。此种情况下，对应投影一个扫描角度，探头有两个位置。探头的视野由两个位置叠加来定，因此其视野一般并不受限。此钟情况要解决的问题是两个位置投影数据的重叠问题而非视野受限问题。图像重建重投影的迭代算法[9,10]给出了对视角受限(Limited 文献[12]推出了一个迭代算法已较好的解决投影视野受限的问题。但是因为没有一个较为完善的理论基础。此方法还很难引起人们重视。本文详细给出投影视野受限的论基础，并可重新推导文献[12]的迭代算法。希望由此进一步加深对此算法的理解。 2.2.2.2.要解决的问题要解决的问题要解决的问题要解决的问题定义图像 X 的投影为 p 。图像 X 所在的区域为 Ω 。图像 X 称为原像。投 rX 为 X 影 p 所在的区域为 Γ 。记投影算子记为 P ，解算子为 R 所以，的图像重建，他们之间有关系为 Eq Eq Eq Eq 1111 Eq Eq Eq Eq 2222 XPp = X r = pR 2

http://www.paper.edu.cn 定义，图像所在的区域被分成两个区域，一个是感兴趣的区域， Ω ，其上图像记为 iX ；另一个是感兴趣之外的区域，记为，记为 i Ω ，其上的图像记为 oX 。因此有 o Eq Eq Eq Eq 3333 X = X + i X o 定义， t Γ 是投影视野之内的区域。 h Γ 是投影视野之外的区域。 t Γ 上的投影为 tp ， tp 可称为截断的投影。区域 h hp ， hp 可称为空心投影。投影 p 可写为， Γ 对应的投影为 Eq Eq Eq Eq 4444 p = p t + p h 式(Eq 1, Eq 2)关系可改写为, Eq Eq Eq Eq 5555 和 Eq Eq Eq Eq 6666    p t p h  =     P ti P hi P to P ho       X i X o       r r  =     R it R ot R ih R oh       p t p h    X i X o 投影数据视野受限，投影数据被截断的图像重建问题是可归结为：假设我们已知投影矩阵    P ti P hi P to P ho       R it R ot R ih R oh    和和结矩阵已知 tp ，但 hp 未知。在此情况下，求解 2222．断层扫描系统的特性．断层扫描系统的特性．断层扫描系统的特性．断层扫描系统的特性 r iX 。 (1) 对于平行光束和扇形光束断层扫描系统的图像重建原像相同 X 即， rX 可与它的 3

http://www.paper.edu.cn X r = XPR Eq Eq Eq Eq 7777 这可表示为，引理引理引理引理 1111 Eq Eq Eq Eq 8888 IPR = (2) 因为 X 光射线是直线。 iX 对区域 o Ω 没有贡献。这可表示为， Eq Eq Eq Eq 9999 hi XP i 0= 考虑到 iX 的任意性有引理 2 Eq Eq Eq Eq 10101010 hiP 0= (3) 另一方面到的图像不应对外区 o i Ω 有贡献， ii XP 内区 i Ω 图像的投影，由此投影进行图像重建得 Eq Eq Eq Eq 11111111 ht XPR ti i 0= 或得引理引理引理引理 3333 Eq Eq Eq Eq 12121212 ht PR ti 0= (4) 如果 oX 已知， oX 在区域 t tp 中排除这部分贡献可得 XPp − t to XPp − to o 的贡献。因此 t 全的重建。即，引理引理引理引理 4444 Γ 上的贡献为 to XP o 。从截断数据 Ω 。此投影数据只含内区域 i o 是非截断投影。由它可对内区图像进行完 4

Eq Eq Eq Eq 13131313 r X i = XPpR − to ( it t http://www.paper.edu.cn ) o (5) 假定是图像 'X 对图像 X 作了改变的图像。但是改变只发生在区 Ω 上，所以有域 o Eq Eq Eq Eq 14141414 Eq Eq Eq Eq 15151515 X =' i X i X o ' = X o + X + 此处 +X 是图像的改变。记 Eq Eq Eq Eq 16161616 Eq Eq Eq Eq 17171717 p t + = XP to + p h + = XP ho + 为图像改变量 +X 对视野内区域 t 献。他们都不为零。 'X 的投影可表示为 Γ 和区域视野外区域 h Γ 对投影的贡 Eq Eq Eq Eq 18181818 Eq Eq Eq Eq 19191919 p' t = p t + p t + p' h = p h + p h + 由此也可进行图像重建    X i X o r ' r '  =     R it R ot R ih R oh       p t p h '   '  Eq Eq Eq Eq 20202020 此情况下应有 Eq Eq Eq Eq 21212121 X i r ' = ' X i = X i 上式中第一个等号是因为在区域 i Ω 内重建的图像应与原图像相同。第二个等式是因为假定原图像在区域 i 结为 Ω 内没有发生改变。(Eq 21)可总 5

http://www.paper.edu.cn 引理引理引理引理 5555 假定是图像 'X 对图像 X 作了改变的图像。但是改变只发生在区域 Ω 上。有， o Eq Eq Eq Eq 22222222 [ R it R ih  ]   p t p h '  = '  X i    p t p h '   '  其中由式(Eq 18,Eq 19)给出。 5. 5. 5. 5. 投影视野受限情况下的图像重建投影视野受限情况下的图像重建投影视野受限情况下的图像重建投影视野受限情况下的图像重建引理 5 告诉我们如果图像的改变 +X 只发生在外区域 o Ω 上，由此有 Eq Eq Eq Eq 23232323 X i = 取 +X 满足 pRpR h + ' ih it t ' Eq Eq Eq Eq 24242424 X o = ' X o + +X = 0 式(Eq 5)可写成， Eq Eq Eq Eq 25252525 p h ' = XPXP + ' ho hi i ' o 式(Eq 10)告诉我们 hiP 0= ；式(Eq 24)告诉我们 oX 0' = ，因此有 Eq Eq Eq Eq 26262626 hp 0' = 蒋上式代入式(Eq 23)得， Eq Eq Eq Eq 27272727 X = i 't pR it 但是怎样才可以使 oX 0' = ？式(Eq 20) 上半部分可写为， 6

Eq Eq Eq Eq 28282828 X o = ' pRpR h + ' oh ot t http://www.paper.edu.cn ' 考虑到式(Eq 24) oX 0' = 和式(Eq 26) hp 0' = 我们有 Eq Eq Eq Eq 29292929 ot pR t 0' = 考虑到式(Eq 18)得， Eq Eq Eq Eq 30303030 或 Eq Eq Eq Eq 31313131 [= P o 其中可写为， pR t ( ot + p +t 0) = pR t ot + −= pR t ot PP to ho , T ] 。上面方程的解一般不是唯一的。其中一个解 Eq Eq Eq Eq 32323232 −=ˆ p t + + pRR t ot ot 上标 “+”代表广义逆， +tpˆ 是对 +tp 的近似值。考虑式(Eq 27)和式 (Eq 18) Eq Eq Eq Eq 33333333 X i = pR t ( it + p t + ) 将式(Eq 32) 代入上式得 Eq Eq Eq Eq 34343434 ˆ X i = pR t ( it − + pRR t ot ot ) iXˆ 是 iX 的近似值。 6. 6. 6. 6. 上述算法的实施上述算法的实施上述算法的实施上述算法的实施算法在实施时，考虑插值，插值可减少区域边缘的不连续性。设 E 为外插算子。最简单的外插方法是常数外插方法。在考虑外插后，其它 7

一些变量业的作相应调整。其中 itR 可改写为 R ， iXˆ 可该下为 Xˆ ，因此有 http://www.paper.edu.cn Eq Eq Eq Eq 35353535 考虑近似的有 Eq Eq Eq Eq 36363636 由 Eq Eq Eq Eq 37373737 ˆ pERRIRX t − = ) ( o + o + R = o + RR o o P o = RHP 其中算子 H 的定义为 Eq Eq Eq Eq 38383838 Eq Eq Eq Eq 39393939 =XH    X 0 if if x Ω∉ i x Ω∈ i ˆ tpERHPIRX = − ) ( 此式可进一步构成迭代算法, Eq Eq Eq Eq 40404040 Eq Eq Eq Eq 41414141 =)0(ˆ X tpER n )( ˆ X = ( IR − PHX ( n − )1 ) pE t 以上两式便是在文献[12]提出的迭代算法。 7.结论结论结论结论本文总结了投影受限情况下图像重建的理论基础。由此重新推导此种情况下图像重建的迭代算法。参考文献参考文献参考文献参考文献 [1]Kak A C and Slaney M 1988 Principles of computerized tomographic imaging IEEE Press [2]Rashid-Farrokhi F, Liu K J R, Berenstein C A and Walnut D 1997 Wavelet-based multiresolution local 8

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