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数值代数北大版本答案.pdf
1 3 5
2 4 6
=
35 44
44 56
.
1 2
3 4
5 6
,
b =
1
1
1
.
A =
C = AT A =
D Y/"Y1
1.
8 BG30v7! LS!X
X !\G C = AT A, d = AT b.
\G C! Cholesky5X C = LLT .
=℄7?Æ##9 l2
11 = 35 l11 = √35 ≈ 5.91607978.
9 l11l21 = 44 l21 = 44/√35 ≈ 7.4373574416.
9 l2
22 = 56 l22 = q56 − l2
3
XFX Ly = d y = (1.52127765930837, 0.82807864985135)T.
X LT x = y x = (−0.99999997121866, 0.99999997566819)T.
VZzX x∗ = (−1, 1)T . BG30/ :S~A
dTBUX03W AT Ax = AT bb!
2.
21 = q24/35 ≈ 0.82807867121079.
5.91607978
7.43735745 0.82807867
0
d = AT b =
=
=
L =
l11l21
l2
21 + l2
22
=
9
12
.
1 2
3 4
5 6
1
1
1
l11
0
l21
l22
1 3 5
2 4 6
35 44
44 56
l11
l21
0
l22
l2
11
l21l11
.
21 + l2
.
A =
1 3
2 0
1 0
1 1
0 0
0 0
,
b =
1
1
1
.
1
1
HA =
Hb =
,
1
vvT ,
1 3
√5
0 0
,
H = I −
5 − 2√5
1 1
0 0 0
0 0
3√5
5
√5
5
−
v7! LS min. ||Ax − b||2!yX
X8 RG30vX
_j!/ A!1f! :?ÆGh
`?w α = 22 + 1 = √5, v = (0, 2 − √5, 1)T ,9 Householder
=
3
LS!yX "3W!X
X x = (
3. x = (1, 0, 4, 6, 3, 4)T .v1: Householder D1: α Hx =
X H = I −
?w v = (0,−α, 0, 0, 3, 4)T .B vT x = 25, vT v = 25 + α2,
, c1, c2)T c1, c2|5
vvT .B
x1 + 3x2 + x3 + x4 −1
−
v = (1, α, 4, 6, 0, 0)T − x = (0,−α, 0, 0, 3, 4)T .
min .||Ax − b||2
2 = ||HAx − Hb||2
c1
3 −
1 3 1
1
0 0 0
√5
v = (1, α, 4, 6, 0, 0)T .
x −
3
5
,
2
15 −
(1, α, 4, 6, 0, 0)T .
Hx = x −
3√5
5
3√5
5
2vT x
vT v
=
2
2
+
1
5
,
2vT x
vT v
√5x1
c2
3
1
= 0
= 0
2
vT v
2
50
Hx = x −
= 1,
25 + α2 v
50α
25 + α2 , 4, 6, 31 −
50α
25 + α2 , 41 −
50α
25 + α2T
.
2
1
25
vvT
0
0
0
=
50
25 + α2 = 1.
2 = 1 + α2 + 42 + 62.
||x||2
2 = ||Hx||2
0
0.8
0
0
0.6
0
0.64 −0.48
0.36
H = I −
0 0
1
0 0
0
1 0
0
0 0.6 0 0
0 0.8 0 0 −0.48
95i
B α2 = 25, α = 5(w )3
V 1:`3! α,b8
V 2: Householder `3 d|E9#g!?ÆGh
= x ∈ Rnw
j .B
α2 = x2
`3
>1 w
α2 = x2
j .B
`3
`3b8W U
4.z c = cos θD s = sin θ
v = (0,· · · , 0, xi − α, 0,· · · , 0, xk+1,· · · , xj, 0,· · · , 0)T ∈ Rn.
k+1 + · · · + x2
Hx = (x1,· · · , xi−1, α, xi+1,· · · , xk, 0,· · · , 0, xj+1,· · · , xn)T .
v = (0,· · · , 0, xk − α, xk+1,· · · , xj, 0,· · · , 0)T ∈ Rn.
Hx = (x1,· · · , xk−1, α, 0,· · · , 0, xj+1,· · · , xn)T .
k + x2
k+1 + · · · + x2
H = I −
2
vT v
vvT
H = I −
2
vT v
vvT
i + x2
c s
−s c
5
12
= α
1
1
, α ∈ R.
3
13√2
2
.
17√2
26
c = ±
, s = ±
, α = ±
5c + 12s = α,
−5s + 12c = α.
X9
9 s = 7
17 c.< s2 + c2 = 1,X
5. x = (x1, x2)T1:.7d<1 01:~
!:\G
Qx!.:5dh
V\G A ∈ C n×n ¯AT A = A ¯AT = I,B\G A:\G
X x2 = 0Bw Q = I.
x2 6= 0, x1 = 0,Bw c = 0, s = 1`
x2 6= 0, x1 6= 0,B9=
c,{ c2 + |s|2 = 1
?i
−sx1 + cx2 = 0; s =
0
, c ∈ R, c2 + |s|2 = 1.
Qx =
x2
x1
cx1 + ¯sx2
−sx1 + cx2
c ¯s
−s c
x =
Q =
c ¯s
−s c
c = ± |x1|
||x||2
, s = ±
x2|x1|
x1||x||2
.
7√2
26
.
if x2 = 0 then
c=1, s=0
end
if x2 6= 0
if x1 = 0 then
c=0, s=1
else
c = ± |x1|
||x||2
, s = ±
x2|x1|
x1||x||2
4
end
, s1 =
c1 =
qx2
xn
.
¯rn−1
0
.
xn−1
xn
qx2
n−1 + x2
n
=
xn−1
n−1 + x2
n
c1 s1
c1
−s1
6. xD y Rn!.:d<1 8 Givens !
01: R\G Q Qx = y.
X !_jd xD e1,1f Givens G1, G2, · · ·, Gn
Gn · · · G2G1x = e1.
i
B xn = 0w c1 = 1, s1 = 0. xn 6= 0
w
B G1x = (x1, x2,· · · , xn−2, ¯rn−1, 0)T .i
B ¯rn−1 = 0w c2 = 1, s2 = 0. ¯rn−1 6= 0
w
B G2G1x = (x1, x2,· · · , xn−3, ¯rn−2, 0, 0)T .
R7S2; Givens G1, G2, · · ·, Gn−2
i
Gn−2 · · · G2G1x = (x1, ¯r2, 0,· · · , 0)T .
0
0
c2
0 −s2
0
0
0
0
c1
0 −s1
0
0
s2 0
c2 0
0
1
c2 s2
c2
−s2
¯rn−1
n−2 + ¯r2
n−1
.
xn−2
n−2 + ¯r2
n−1
=
0
s1
c1
xn−2
¯rn−1
¯rn−2
0
.
c2 =
qx2
, s1 =
qx2
G1 =
In−2
In−3
G2 =
cn−1 sn−1
cn−1
−sn−1
x1
¯r2
=
¯r1
0
.
5
cn−1 =
, sn−1 =
Gn−1 =
sn−1
cn−1
0
0
0
In−2
cn−1
−sn−1
0
x1
qx2
1 + ¯r2
2
¯r2
qx2
1 + ¯r2
2
.
Gn−1 · · · G2G1x = e1.
||Gn−1 · · · G2G1x||2 = ||x||2 = 1.
B ¯r2 = 0w cn−1 = 1, sn−1 = 0. ¯r2 6= 0
w
B Gn−1 · · · G2G1x = (¯r1,· · · , 0, 0)T .V5 Givens R\G?
3 ¯r1 = ±1.~A ¯r1 = −1,BA Gn−1 cn−1, sn−1;w#2
` ;
.d y,A Givens ¯G1, ¯G2, · · ·, ¯Gn−1
3
V5 ¯GT
0 Givens w
` (0k)
7. xD y Rn!.:4hd<1 0az1:
Householder\G H Hx = αy, α ∈ R.
Xw
B}4 Householder
Hx = αy, α = ||x||2/||y||2.
0 1. β1 = ||x||2, β2 = ||y||2, β = ||β2x − β1y||2.
w = ||y||2x − ||x||2y
||||y||2x − ||x||2y||2
n−1Gn−1 · · · G2G1x = ¯GT
¯GT
1
¯GT
2 · · · ¯GT
2 ,· · · , ¯GT
n−1
¯Gn−1 · · · ¯G2 ¯G1y = e1.
¯GT
2 · · · ¯GT
n−1Gn−1 · · · G2G1.
¯GT
2 · · · ¯GT
1
n−1e1 = y.
H = I − 2wwT
Q = ¯GT
1
1 , ¯GT
.
6
n
m − n
L1
0
n
HnHn−1 · · · H1L =
2. w = (β2x − β1y)/β.
3. H = I − 2wwT .
8. L ∈ Rm×n(m ≥ n) SG~Ez Householder\G
H1, H2, · · ·, Hn
L1 ∈ Rn×n SG
Vb8 3!V 2W
X S\G L
! α2
`3 Householder
v1 = (0,· · · , 0, lnn − α1, ln+1,n,· · · , lmn)T .
. . .
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
mn,w
l11
l21
· · ·
ln1
ln+1,1
· · ·
lm1
l22
· · ·
ln2
ln+1,2
· · ·
lm2
lnn
ln+1,n
· · ·
lmn
v1vT
1 ∈ Rm×m.
1 = l2
nn + l2
n+1,n + · · · + l2
H1 = I −
2
vT
1 v1
.
L =
H1
0
...
0
lnn
ln+1,n
...
lmn
=
0
...
0
l(1)
nn
0
...
0
.
7
L(1) = H1L =
. . .
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
m,n−1)T .
2 = (l(1)
n−1,n−1)2 + (l(1)
0
l(1)
nn
0
· · ·
0
l(1)
n−1,n−1
l(1)
n,n−1
l(1)
n+1,n−1
· · ·
l(1)
m,n−1
l(1)
22
· · ·
l(1)
n−1,2
l(1)
n2
l(1)
n+1,2
· · ·
l(1)
m2
l(1)
11
l(1)
21
· · ·
l(1)
n−1,1
l(1)
n1
l(1)
n+1,1
· · ·
l(1)
m1
v2 = (0,· · · , 0, l(1)
n−1,n−1 − α2, 0, l(1)
n+1,n−1)2 + · · · + (l(1)
n+1,n−1,· · · , l(1)
m,n−1)2,w
=
. α2
`3 Householder
V5 L(1)!1 n − 2D n
α2
m,n−2)2,w
`3 Householder
l(2)
11
l(2)
21
· · ·
l(2)
n−2,1
l(2)
n−1,1
l(2)
n1
l(2)
n+1,1
· · ·
l(2)
m1
v3 = (0,· · · , 0, l(2)
n−2,n−2 − α3, 0, 0, l(2)
n+1,n−2,· · · , l(2)
l(2)
22
· · ·
l(2)
n−2,2
l(2)
n−1,2
l(2)
n2
l(2)
n+1,2
· · ·
l(2)
m2
l(2)
n−1,n−1
l(2)
n,n−1
0
· · ·
0
l(2)
n−2,n−2
l(2)
n−1,n−2
l(2)
n,n−2
l(2)
n+1,n−2
n+1,n−2)2 + · · · + (l(2)
. . .
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
H2 = I −
2
vT
2 v2
v2vT
2 ∈ Rm×m.
3 = (l(2)
n−2,n−2)2 + (l(2)
0
0
0
l(2)
nn
0
· · ·
0
m,n−2)T .
L(2) = H2L(1) =
· · ·
l(2)
m,n−2
H3 = I −
2
vT
3 v3
v3vT
3 ∈ Rm×m.
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