2007年上海高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年上海高考理科数学真题及答案考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有 21 道试题，满分 150 分．考试时间 120 分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． y  1．函数 4lg( x  3 x  2．若直线 1 2 x my ：　 l ) 的定义域是． 1 0   l 与直线 2 y ： 3 x  1 平行，则 m ． 3．函数 )( xf  4．方程 9 x 的反函数 x 1  x 7   的解是 0 f  )(1 x  ．． x 6 3   5．若 x y  +R，，且 x  y 4  1 ，则 x y 的最大值是 6．函数 y  sin   x   π 3    sin   x   π 2    的最小正周期 T ．． 7．在五个数字1 2 3 4 5 ，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）． 8．以双曲线 2 x 4 2  y 5  1 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 9．对于非零实数 a b，，以下四个命题都成立：． ① a  ③ 若 | 0 ； 1  a | a  ，则 b | | ② ( ba  ) 2  2 a  2 ab  2 b ； a  ； b ④ 若 a 2 ab ，则 b a  ．那么，对于非零复数 a b，，仍然成立的命题的所有序号是． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知 ，是两个 l 相交平面，空间两条直线 1 l，在上的射影是直线 1 s 2 s，， 1 l 2 l，在 上的射影是 2

t 直线 1 t，．用 1s 与 2s ， 1t 与 2t 的位置关系，写出一个总能确定 1l 与 2l 是异 2 面直线的充分条件：． 11．已知 P 为圆 2 x  y ( 2  )1  1 上任意一点（原点 O 除外），直线 OP 的倾斜角为 弧度，记 d  | OP | ．在右侧的坐标系中，画出以 ( )d，为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．已知 a b  R，，且 2  a ,i b  i （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 2 x  px  q 0 的两个根，那么 p q，的值分别是（）Ａ． p   4 ， q 5 Ｂ． p   4 ， q 3 Ｃ． 4  p ， q 5 Ｄ． 4  p ， q 3 13．设 a b，是非零实数，若 b a  ，则下列不等式成立的是（）Ａ． 2 a  2 b Ｂ． ab 2  2 ba Ｃ． 1  ab 2 1 2 ba Ｄ． b  a a b  14．直角坐标系 xOy 中， i ，分别是与 x  i ABC 中，若 AC AB  j 2     j , y，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形  i  jk  ，则 k 的可能值个数是（） 3 Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 15．设 )(xf 是定义在正整数集上的函数，且 )(xf 满足：“当 ( ) f k 2 k≥ 成立时，总可推出 ( f k  ≥ 1) ( k 2)1 成立”．那么，下列命题总成立的是（）Ａ．若 (3) f ≥ 成立，则当 1 k ≥ 时，均有 9 ( f k ) 2 k≥ 成立Ｂ．若 (5) f ≥ 成立，则当 5 k ≤ 时，均有 25 ( f k ) 2 k≥ 成立Ｃ．若 f )7(  49 成立，则当 8 k ≥ 时，均有 ( kf ) 2  成立 k Ｄ．若 f )4(  25 成立，则当 4 k ≥ 时，均有 ( f k ) 2 k≥ 成立

三．解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分 12 分）如图，在体积为 1 的直三棱柱 ABC  1 CBA 1 1 中，  ACB  ,90  AC  BC  1 ．求直线 BA1 与平面 CCBB 1 1 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 1C C 1A A 17．（本题满分 14 分）在 ABC△ 中， a b c，，分别是三个内角 A B C，，的对边．若 a  ,2 C  cos B 2 52 5 ，求 ABC△ 的面积 S ． 1B B π 4 ， 18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦，年生产量的增长率为 34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2%（如，2003 年的年生产量的增长率为 36%）．（1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%）？ 19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分．已知函数 )( xf  2 x  a x ( x  0 ，常数 a  R ． ) （1）讨论函数 )(xf 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数 )(xf 在 [2 x   ，上为增函数，求 a 的取值范围． )

20．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分．，，，，（ n 为正整数）满足条件 a a a 3 a 2 n a 1 na a ， 2  na 1  ，…， an  ， 1a  ，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列如果有穷数列 1  （ 1 2 a i 即 1 m n m m 1 in a i 0 C，，，就是“对称数列”． C C m （1）设 11 （2）设 ．依次写出 nc 是项数为 4 b 2 k nb 的每一项； 1 为50 ，公差为 4 的等差数列．记 值？并求出 1 2 kS 的最大值；（3）对于确定的正整数 nb 是项数为 7 的“对称数列”，其中 1 b b b b，，，是等差数列，且 2 3 4 1 b 2 ， (正整数 1k )的“对称数列”，其中 c 2 kS ．当 k 为何值时， 1 ，，，是首项 2 kS 取得最大 c c k k nc 各项的和为 1 1  2 1 k 1 2 2m，，，，依次是该数列中连续的项；当 m 1500 1 2 2 项的和 2008S ． 1m ，写出所有项数不超过 m2 的 “对称数列 ”，使得时，求其中一个“对称数列”前 2008  21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3

小题满分 8 分．我们把由半椭圆 2 2 x a  2 2 y b  1 ( x ≥ 与半椭圆 0) 2 2 y b  2 2 x c  1 ( x ≤ 合成的曲线称 0) 作“果圆”，其中 2 a  2 b  2 c ， 0a ， b 0 c ．如图，点 0F ， 1F ， 2F 是相应椭圆的焦点， 1A ， 2A 和 1B ， 2B 分别是“果圆”与 x ， y y 轴的交点． F F F△ （1）若 0 1 2 是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆”的方程；（2）当 1AA 2  1BB 时，求 2 的取值范围； 1A b a （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” . . O 2B 2F 1F 1B . 0F 2A x 的弦．试研究：是否存在实数 k ，使斜率为 k 的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 k 值；若不存在，说明理由． 2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）

数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第 1 题至第 11 题） 4 且 x  3 6． π 2． 2 3 7． 3.0 x  2 x y 3． 8．  ）（ 1 1  (12  )3 x x 4． log 3 7 9．②④  1．  xx 1 16 1 // s s 10． 5．，并且 1t 与 2t 相交（ //1t 2 2t ，并且 1s 与 2s 相交） 11．二、选择题（第 12 题至第 15 题）题号答案 12 A 13 C 14 B 15 D 三、解答题（第 16 题至第 21 题） 16．解法一：由题意，可得体积 V CC S   1 △ ABC  CC 1  1 2  AC BC   1 2 CC 1  1 ，  AA 1  CC 1  2 ．连接 1BC ．  A C 1 1  B C A C 1 1 1 ， 1  CC 1 ，  1CA 1  平面 CCBB 1 1 ， 1C C 1A A 1B B 1BCA 1 是直线 BA1 与平面 CCBB 1 1 所成的角． BC 1  2 CC 1  BC 2  5 ，  tan  BCA 1 1  CA 1 1 BC 1  1 5 ，则 1BCA 1 ＝ arctan ． 5 5 即直线 BA1 与平面 CCBB 1 1 所成角的大小为 arctan ． 5 5

解法二：由题意，可得体积 V CC S   1  CC 1   ABC 1 2  AC BC   1 2 CC 1  1 ，  CC 1  2 ，如图，建立空间直角坐标系．得点 (0 1 0) B ，，， 1(0 0 2) C ，，， 1(1 0 2) ，，， 2)   A ，，．则 1 A B    n  的法向量为 (1 0 0) ( 1 1 ，，．平面 CCBB 1 1 z 1C C 1A A x 1B B y 设直线 BA1 与平面 CCBB 1 1 所成的角为， BA1 与 n 的夹角为，则 cos    A B n  1   A B n  1   6 6 ，  sin  |  cos |   6 6 ,   arcsin 6 6 ，即直线 BA1 与平面 CCBB 1 1 所成角的大小为 arcsin 6 6 ． 17．解：由题意，得 cos B  ，为锐角， B 3 5 sin B 4 5 ， sin A  sin( π  CB )  sin    π3 4  B    27 10 ，由正弦定理得 10c 7 ，  S  1 2 ac sin  B 2    1 2 10 4 7 5   8 7 ． 18．解：（1）由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36 ， %38 ， %40 ， %42 ．则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 670  36.1  38.1  40.1  42.1  2499 8. (兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ，则解得 0.615 x ≥ ． 4 1420(1 ) x  2499.8(1 42%) ≥ 95% ． 4 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 %5.61 ． 19．解：（1）当 0a 时， )( xf 2  ， x 对任意 ( x    0) ， (0   ，， ) f (  x ) (  x ) 2  2 x  )( xf ， )(xf 为偶函数．当 0a 时， ( ) f x  2 x  a x ( a  0 x ， 0) ，取 1x ，得 ( 1)   f f (1)   2 0 ， f ( 1)   f (1) 2   a  0 ，

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