2009年湖北高考文科数学试题及答案.doc-资料库

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2009 年湖北高考文科数学试题及答案注意事项： 1. 答题前，考试务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 4. 考试结束，请将本试题和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 若向量 a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则 c= A. 3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 【答案】B 2. 函数 y  21 x  21 x  21 x  21 x  ( Rx  , x 且  1 2 ) 的反函数是 y  A. ( Rx  , 且 x  1 2 ) C. y  1  1(2  x x ) ( Rx  , 且 x  )1 【答案】D 3.“sin= 1 ”是“ 2 cos 2  ”的 1 2 y  B. 21  21  x x ( Rx  , 且 x  1 2 ) y  D. 1  1(2  x x ) ( Rx  , 且 x  )1 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件【答案】A D.既不充分也不必要条件 4. 从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有 A.120 种 B.96 种 C.60 种 D.48 种【答案】C 【解析】5 人中选 4 人则有 4 5C 种，周五一人有 1 4C 种，周六两人则有 2 3C ，周日则有 1 1C 种，

故共有 4 3C =60 种,故选 C 5C × 1 4C × 2 5. 已知双曲线 2 x 2 2 y 2  的准线经过椭圆 1 2 x 4  2 2 y b  （b＞0）的焦点，则 b= 1 A.3 【答案】C B. 5 C. 3 D. 2 【解析】可得双曲线的准线为 x   2 a c   ,又因为椭圆焦点为 1 (  4  2 b ,0) 所以有 4 2 b  .即 b2=3 故 b= 3 .故 C. 1 6. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱 CC1 的长为 1，则该三棱柱的高等于 A. 1 2 C. 3 2 【答案】A 7. 函数 y  cos( 2 x  6 2)  B. D. 2 2 3 3 的图像 F 按向量 a 平移到 F/，F/的解析式 y=f(x),当 y=f(x)为奇函数时，向量 a 可以等于  6 , 2)  B.( A. (  6 【答案】D ,2) C.(   6 , 2)  D.(   6 ,2) 8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元【答案】B 【解析】设甲型货车使用 x辆，已型货车 y辆.则 0 4 x       8 0 y   10 20   x y  100 ,求 Z=400x+300y最小值.可求出最优解为（4，2）故 min   2200 故选 B. 9. 设 ,Rx  记不超过 x 的最大整数为 [ x ], 令 { x }= x -[ x ] ，则 { 15  2 } ，

[ 15  2 ], 15  2 A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B 【解析】可分别求得比数列       5 1    2   5 1  2 ， [ 5 1  2 ] 1  .则等比数列性质易得三者构成等 10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数; 类似地，称图 2 中的 1，4，9，16，…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 【答案】C B.1024 C.1225 D.1378 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 n a  n 2 ( n  ，同理可得正方形数构成的数列 1) 通项 nb 2 n ，则由 nb 2 n ( n N  ) 可排除 A、D，又由 n a  n 2 ( n 1)  知 na 必为奇数，故选 C. 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。 11. 已知 (1  5 ax ) 1 10   x bx  2 ...   5 5 a x ,则 b= . 【答案】40 rT 【解析】因为 1   C r 5  r ( ax ) ∴ 1 5 C a  1  10 2 3C 2 a  .解得 2,  b a b  40 12. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是 0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。

【答案】0.24 【解析】三人均达标为 0.8×0.6×0.5=0.24,三人都不达标的概率为（1-0.8）×（1-0.6） 0.96 ×（1-0.5）=0.04，所以，三人中至少有一人达标的概率为 1-0.04=0.96 13. 设集合 A=(x∣log2x<1), B=(X∣ 【答案】 x | 0 x   1 X X   1 2 <1), 则 A B = . 【解析】易得 A= x | 0 x   2 B= x | 2    x  1 ∴A∩B= x | 0 x   1 . 14. 过原点 O 作圆 2 x  y 2 6  x  8 y  20 0  的两条切线，设切点分别为 P、Q，则线段 PQ 的长为。【答案】4 【解析】可得圆方程是 ( x  2 3)  ( y  2 4)  又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定 5 理得 PQ  4 15. 下图是样本容量为 200 的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为，数据落在[2， 10）内的概率约为。【答案】64 【解析】观察直方图易得两个频率为 200 0.08 4    0.1 4   0.4 64 ,频率为三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分）在锐角△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且 3  a 2 c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小；（Ⅱ）若 c＝ 7 ,且△ABC 的面积为 33 2 ,求 a＋b 的值。本小题主要考查正弦定理和余弦定理等基础知识及解三角形的方法，考查基本运算能力。（满分 12 分）（Ⅰ）解：由 3 a  2 sin c A 及正弦定理得， a c  2sin 3 A  sin sin A C

Q sin A   0, sin C  3 2 ABCQ 是锐角三角形，   C  3 （Ⅱ）解法 1： Q c  7, C 1 2 ab sin  3    . 3 3 3 2 由面积公式得 , 即 ab 6 　　　　　　　　① 由余弦定理得 2 a  2 b  2 ab cos 由②变形得 ( a b   3 2 )  7, a 即 2  2 b  ab  7 　　　②  3 ab  7 ③ 将①代入③得 ( a b ) 2  ，故 25 a b  5 解法 2：前同解法 1，联立①、②得    2 a ab   2 b 6  ab  7 =13  　    2 a ab   2 b 6 消去 b 并整理得 4 a 13 a 2  36 0  解得 2 a  所以 a   b    2 3 或 a   b    3 2 故 a b  5 17. （本小题满分 12 分） 4 或 a 2 9 围建一个面积为 360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y（单位：元)。（Ⅰ）将 y 表示为 x 的函数：（Ⅱ）试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 17. 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用平均不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力。（满分 12 分）解：（Ⅰ）如图，设矩形的另一边长为 a m，则 2y -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360

由已知 xa=360,得 a= 360 x , 所以 y=225x+ 2 360 x  360( x  0) (Ⅱ)  x   0, 225 x  2 360 x  2 225 360  2  10800  y 225 x  2 360 x  360  10440 .当且仅当 225x= 2 360 x 时，等号成立. 即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元. 18.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S ABCD  的底面是正方形，SD ⊥平  ，点 E 是 SD 上的点，且面 ABCD , SD AD a  DE  a (0    1) (Ⅰ)求证：对任意的（0、1]，都有 AC BE ； (Ⅱ)若二面角 D AE D  的大小为 600，求的值。  18. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分 12 分）（Ⅰ）证法 1：连接 BD ，由底面 ABCD 是正方形可得 AC  BD。 SD  平面 ABCD ，BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影，由三垂线定理得 AC BE (Ⅱ) 解法 1：SD  平面 ABCD ，CD  平面 ABCD ， SD  CD. 又底面 ABCD 是正方形， CD AD ，又 SD AD D  ，CD  平面 SAD 过点 D 在平面 SAD 内做 DF  AE 于 F，连接 CF，则 CF  AE，故  CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角，即  CFD=60° 在 Rt△ADE 中，AD= a , DE= a ， AE= a 12  。于是， DF  AD DE  AE  a  2 1  

在 Rt△CDF 中，由 cot60°= DF CD   12   得  12   3 3 ，即 3 2  3 =3  (0,1] ，解得= 2 2    (Ⅰ)证法 2：以 D 为原点， DA DC DS 、、的方向分别作为 x z、、的正方向建立如图所示的 y ( ,0,0), A a ( , B a a ,0), E (0,0, a ， ) , a a a EA a     ( ,0, ), ,  (0, a ,  a  ) ， , ( a a     AC BE  ∴ D 空间直角坐标系，则 (0,0,0),  AC  BE ,0), (  ,0), (0, C a  ), a EC   (   , a a ,0) (   , a a a  , )  a 2 2  a   0 a   0 即对任意的 （0，1]，都有 AC BE  DC 为平面 ADE 的一个法向量 ,0) (0,  a (Ⅱ)解法 2：设平面 ACE 的一个法向量为 ( , , ) x y z  n ，   n EA n EC  , 则 ∴   n EA   n EC        0 0 即 x     y  z  z    0 0 ,1) n  取 1z  ，得 ( ,  | | DC n   | | DC n  cos60 ∴  |   | | |  2 2   1  2 2  1   2 | | 

由 （0，1]，解得  2 2 19.（本小题满分 12 分）已知{ na }是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 3 6 a a  55, a 2  a 7  16 （Ⅰ）求数列{ na }的通项公式：（Ⅱ）若数列{ na }和数列{ nb }满足等式： na ＝ b 1 2  b 2 2 2  b 3 3 2  ... b 2 n n ( n 为正整数 ) ，求数列{ nb }的前 n 项和 nS （Ⅰ）解法一：设等差数列 na 的公差为 d，则依题设 d>0 a 由 2 a 7  ，得 12 16 a 7 d  16 由 3 a a 6 a  得 1 55, (  2 )( d a 1  5 ) 55 d  ① ② 由①得 12 a  16 7  将其代入②得 (16 3 )(16 3 ) d   d d  220 ，即 256 9 d 2  220 2 4, 0, d d      又 1 ( 1) 2 2 n n       d a n 2, 代入得a① 1   1 1 a 解法二：由等差数列的性质得： 2  a 7  a 3 a a   ，∴ 3 6   a  3 a 6  a 6 55  16 由韦达定理知， 3 6 ,a a 是方程 2 16  x x  55 0  的根，解方程得 5 x  或 11 x  a 设公差为 d ，则由 6  3 3 a d  ，得 ∵ a d  ，∴ 3 0  5, a 6  11, d  故 na 2 n  1 a 6   2,  3 a 1 a 3  a 3  2 d 5 4 1    d 11 5  3 （Ⅱ）解法一：当 1n  时，当 2 n  时， b 1 2 b 1 2 a  ，∴ 1 1 a ＝ n  b 2 2 2 2 b  b 3 3 2   ... b n-1 1 n 2   b n n 2

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