2007年福建高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年福建高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 1．复数 1 (1 i) 2 等于（） A． 1 2 B．  1 2 C． 1 i 2 D．  1 i 2 2．数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 na ，则 5S 等于（） 1)  1 ( n n  1 6   2} x C． A．1 B． 3．已知集合 {  A x x 5 6  } B a ，  { 1 x D． 1 30 ) B  ，且 A (  ð R R ，则实数 a 的取值范围是（） 1 a ≤ C． a ≥ B． 1a  a  A． 4．对于向量，，a b c 和实数，下列命题中真命题是（ A．若  0 a b ，则 0 C．若 2 2a a = 或 0 b 或 a = b b ，则 a B．若 0 a = ，则 D． 2 b = 2 D．若  a b = a c ，则 b = c  ） 0 或  0 a 5．已知函数 ( ) f x  sin x         (   0) 的最小正周期为  ，则该函数的图象（） A．关于点 0      ，对称 C．关于点 0      ，对称 B．关于直线 x  D．关于直线 x      对称对称 6．以双曲线 2 x 9 2 y 16  的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ 1 ） A． 2 x  y 2 10  x   9 0 B． 2 x  y 2 10  x  16 0  C． 2 x  y 2 10  x  16 0  D． 2 x  y 2 10  x   9 0 7．已知 ( ) f x 为 R 上的减函数，则满足 f    1 x     f (1) 的实数 x 的取值范围是（） A．( 11) ， B．(0 1)， C．( 1 0) (0 1) ，，  D．(   ， 1) (1   ， )

8．已知 m n，为两条不同的直线， ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A． m   n ，   ， ∥ ， ∥  m n     ∥ B．   ∥ ， m   n ，    m n ∥  m n ⊥ ， ⊥ ∥ ， ⊥ C． m D． n m n 1 (1 x   n  m   (1 ) x   ∥ ⊥ 9．把  ) 2 (1   x ) n 展开成关于 x 的多项式，其各项系数和为 na ，则 lim n → A． n n 2 a a 1 4 1  1  等于（） B． 1 2 C．1 D．2  10．顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD A B C D     中， AB  1 ， AA 2 ，则 A C，两点间的球面距离为（） A．   B．   C． 2 4  D． 2 2  11 ．已知对任意实数 x ，有 ( f  x )   ( ) f x g ， (  x )  ( ) g x ，且 x  时， 0  ( ) 0 f x  ，  ( ) 0 g x  ，则 0 x  时（） A． ( ) 0  f x  ，  ( ) 0 g x  B． ( ) 0  f x  ，  ( ) 0 g x  C． ( ) 0  f x  ，  ( ) 0 g x  D． ( ) 0  f x  ，  ( ) 0 g x  12．如图，三行三列的方阵中有 9 个数 ( ija i  有两个数位于同行或同列的概率是（） A． C． 3 7 1 14 B． D． 4 7 13 14 1 2 3 ，，；，，，从中任取三个数，则至少 1 2 3) j      a 11 a a 31 21 a 12 a a 32 22 a 13 a a 33 23      二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置．第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 13．已知实数 x y，满足 x    x  0  ≥ ， 2 y 2 y ≤ ， 3 y ≤ ≤ ，则 2  z x  的取值范围是________． y 14．已知正方形 ABCD ，则以 A B，为焦点，且过C D，两点的椭圆的离心率为______． 15 ．两封信随机投入 A B C，，三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数  的数学期望

E ．，若 a b ，则有b a ； 16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合 A 中元素之间的一个关系“  ”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意 a A ，都有 a a ；（2）对称性：对于 a b A，（3）传递性：对于 a b c A，，则称“  ”是集合 A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行” 不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 1 4 ，若 a b ，b c ，则有 a c ．在 ABC△ A  ， B  ． tan tan 中， 3 5 （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若 ABC△ 最大边的边长为 17 ，求最小边的边长． 18．（本小题满分 12 分）如图，正三棱柱 ABC A B C 1 1 1  的所有棱长都为 2 ， D 为 1CC 中点．（Ⅰ）求证： 1AB ⊥平面 1A BD ；（Ⅱ）求二面角 A A D B  的大小；  1 （Ⅲ）求点C 到平面 1A BD 的距离． B A C 1A 1C D 1B 19．（本小题满分 12 分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a 元（3 x≤ ≤ ）时，一年的销售 a≤ ≤ ）的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元（ 9 (12 )x 万件． 5 2 量为 11 （Ⅰ）求分公司一年的利润 L （万元）与每件产品的售价 x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大，并求出 L 的最大值 ( )Q a ． 20．（本小题满分 12 分）如图，已知点 (1 0) F ，， y l 直线 : l x   ， P 为平面上的动点，过 P 作直线 1   l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ （Ⅰ）求动点 P 的轨迹C 的方程；      ． F 1 1 O x

（Ⅱ）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A B，两点，交直线 l 于点 M ，已知  MB  BF 2  的值；，求 1 2  MA  AF 1 ， 21．（本小题满分 12 分）等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS a ， 1 1   2 S ， 3   9 3 2 ．（Ⅰ）求数列{ }na 的通项 na 与前 n 项和 nS ；（Ⅱ）设 b n  S n n ( n   N ，求证：数列{ }nb 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． ) 22．（本小题满分 14 分）已知函数 ( ) f x  e x  kx  R， x （Ⅰ）若 e k  ，试确定函数 ( ) f x 的单调区间；（Ⅱ）若 0 k  ，且对于任意 x R ， ( f x  恒成立，试确定实数 k 的取值范围； ) 0 （Ⅲ）设函数 ( ) F x  ( ) f x  f ( x  ，求证： ) (1) F F (2)  ( ) F n  (e n 1  n 2) ( 2  n  N  ) ．参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分． 1．D 11．B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分． 2．B 12．D 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B 3．C 4．B 13．[ 5 7]  ， 14． 2 1 15． 2 3

16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件” 等等．三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分 12 分．解：（Ⅰ）  C π (   A B  ) ，   1 ． 3 1  4 5 1 3   4 5 1 ．  tan C   tan( A B  )   C  3 π 4 又 0  ，  πC 3 4  C   （Ⅱ）， AB 边最大，即 AB  17 ．又 tan  A  tan B A B ，，   0   ，，    角 A 最小， BC 边为最小边．由 tan     sin  A  2 A   sin cos cos A A 2 A 1 ， 4 且 1  ， A    π0 ，， 2    得 sin A  17 17 ．由 AB sin C  BC sin A 得： BC AB   sin sin A C  2 ．所以，最小边 BC  ． 2 18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分 12 分．解法一：（Ⅰ）取 BC 中点O ，连结 AO ． △ 正三棱柱为正三角形， AO BC 中，平面 ABC ⊥平面  ⊥ ． ABC A B C 1 1 1 BCC B ， ABC 1 1  A F 1A AO ⊥ 平面 BCC B ． 1 1 连结 1B O ，在正方形 1 BB C C 中，O D，分别为 1 BC CC，的中点， 1  ⊥ ， 1B O BD O B C D 1C 1B

 ⊥ ． BD 1AB 在正方形 ABB A 中， 1 AB 1 1 A B⊥ ， 1 1AB ⊥平面 1A BD ．（Ⅱ）设 1AB 与 1A B 交于点G ，在平面 1A BD 中，作 GF A D⊥ 于 F ，连结 AF ，由（Ⅰ） 1 得 1AB ⊥平面 1A BD ．  ⊥ ， AF A D 1 ∠ AFG 为二面角 A A D B  的平面角．  1 在 1AA D△ 中，由等面积法可求得 AF  4 5 5 ，又  AG  1 2 AB 1  2 ，  sin ∠ AFG  AG AF   2 4 5 5 10 4 ．所以二面角 A A D B  的大小为  1 arcsin 10 4 ．（Ⅲ） 1A BD△ 中， BD A D  1  5 ， A B 1  2 2  ， S △ A BD 1  6 ， S △ BCD  1 ．在正三棱柱中， 1A 到平面 BCC B 的距离为 3 ． 1 1 设点C 到平面 1A BD 的距离为 d ．由 V A BCD 1   V C A BD  1   d S 3 S △ △ BCD  A BD 1  3  △ BCD 1 3 S d  ， △ A BD 1 得 1 3 S 2 2 ． 点C 到平面 1A BD 的距离为 2 2 ． ABC 解法二：（Ⅰ）取 BC 中点O ，连结 AO ． △ 在正三棱柱为正三角形， AO BC  ⊥ ． ABC A B C 1 1 1  中，平面 ABC ⊥平面 BCC B ， 1 1

AD ⊥ 平面 BCC B ． 1 1  1B C 中点 1O ，以O 为原点，OB 取 1  ， 1OO  ，OA 的方向为 x z，，轴的正方向建立空间直 y 角坐标系，则 (1 0 0) B ，，， ( 11 0) D  ，，， 1(0 2 3) A ，，， 1(1 2 0) B ，，，  AB 1  (1 2 ，，， 3)   BD     AB BD        1  1AB 2 2 0 0   BA AB ⊥ ， 1 1  BD  ⊥ ． 1AB ⊥平面 1A BD ． A ，，， (0 0 3)  BA   ，，， 1 ( 1 2 3) ，，． ( 2 1 0)   AB BA      1 1 4 3 0  ， 1 ， z A 1A 1C y F 1B z  ，， x y ) ． C O D ，，．  n 3) (0 2 0)  AA  ，，， 1 （Ⅱ）设平面 1A AD 的法向量为 (  ( 11 AD    AD  AD  AA 1 0    y ，  0 2 0  ，，     ⊥n  1AA ⊥n   n n x y   ，， 3   z B x z ． 0 ， 0 y  ， 3 x    令 1z  得 ( 3 0 1)   ，， n 为平面 1A AD 的一个法向量．由（Ⅰ）知 1AB ⊥平面 1A BD ，  1AB 为平面 1A BD 的法向量． cos  n ，  AB 1   AB   1 AB  1 n n  3  3  2 2 2    6 4 ． 二面角 A A D B  的大小为  1 arccos 6 4 ．  （Ⅲ）由（Ⅱ）， 1AB 为平面 1A BD 法向量，  AB ，，， 1 (1 2 ，，．     ( 2 0 0)  BC  点C 到平面 1A BD 的距离 d  3)   BC AB  1  AB 1  2  2 2  2 2 ． 19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分 12 分．

解：（Ⅰ）分公司一年的利润 L （万元）与售价 x 的函数关系式为： L  ( x 3   a )(12  x ) 2 ， x [9 11] ，．（Ⅱ）  ( ) L x  (12  2 x )  2( x   3 a )(12  x ) 令 L  得 0 x  (12  ． 3 ) x a  )(18 2 x  26   或 12 3 ≤ a x  （不合题意，舍去）． 2 3 ≤ ． 28 3 a  ≤ ≤ ， 3 6 8  5 a 26   两侧 L 的值由正变负． 3 a 在 x 所以（1）当 8 L max  L (9)  3 a ≤ 2  9(6 时， 9 2  ． a ) ≤  9 6 即 a 2 3 (9 3 )(12 9) a   9 28 3 2 ≤ 即 2 3  （2）当 9 a≤ 6 a≤ ≤ 时， 5 L max  L (6  2 3 a )  6     2 3 a 3   a     12       6  2  2 3 a        4 3    1 3 a    3 ，所以 ( ) Q a a ) ， ≤ 3 a  9 2 ， 1 3 a 3    ， ≤ ≤ a 9 2 5   9(6     4 3     9 2 答：若 3 a ≤ ，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润 L 最大，最大值 Q a ( ) 9(6   （万元）；若 a ) 9 2 a≤ ≤ ，则当每件售价为 5 26   3  a    元时，分公司一年的利润 L 最大，最大值 ( ) Q a   4 3   1 3 a 3    （万元）． 20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分 14 分．解法一：（Ⅰ）设点 ( P x y，，则 ( 1 Q )    ，，由QP QF FP FQ    y )  得：   ( ) x y    1 0) (2  ，， ( 1 ) ( 2 y x   ，（Ⅱ）设直线 AB 的方程为： x my  ． 0) 1( m   ，，化简得 y ) C y : 2 x ． 4 Q M y B P FO A x

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