2017年重庆理工大学高等代数考研真题A卷.doc

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2017 年重庆理工大学高等代数考研真题 A 卷一、填空题(每空 3 分, 共 15 分) 1.已知行列式 D  2 3  3 4 5  7 2 6  1 2 1 4  1 7  1 2 , A 则 31 5  9 M 32  2 A 33  7 M 34 = 代数余子式. ,其中 ,ij M A 分别表示元素 ija 的余子式和 ij 2. 已知线性方程组 2 1 1      +3   1 1 1       x 1 x 2 x 3      = 2   2            无解,则 = . 3.已知三阶方阵 A 的行列式 =9A , A 为 A 的伴随矩阵,则 6 A  A 1   ______ _. 4. 若 n 阶方阵 A 满足 | A I   | 0 ,且 2 3  A A  2 I O ,这里 I 为 n 阶单位矩阵,则 A  的特征值只能是_______ . 5. 若实对称矩阵 A 与 B 为 . 1   = 0   0  0 0 2 0  0 3      合同 , 则二次型 TX AX 的典范形式二、选择题(本题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分. 在每小题给的四个选项中只有一项符合题目要求, 把所选项前面的字母填在题后括号内) 1. 数域 F 上的多项式 ( ) f x 没有重因式的充分必要条件是( ). (A) (B) (C) ( ) f x 没有重根 f x 的导数 ( ) ( ) f x 互素 ( ) f x 与 ( ) f x 没有重因式 (D) f x 在 F 中没有根 ( )

2. 设 A 为 4 5 矩阵, 且秩 A = 4 , 则( ). (A) A 的列向量组线性无关 (B) 方程组 Ax b 的增广矩阵 A 的行向量组线性无关 (C) 方程组 Ax b 有唯一解 (D) 方程组 Ax b 的增广矩阵 A 的任意四个列向量构成的向量组线性无关 3. 设 n 阶可逆矩阵 A 满足 2 =| A A I , 则 A 的伴随矩阵 A 满足( | ). (A) =A A (C) A =| | A A (B)  A =| 1  | A A (D) 1 A A A I   =| |n 4. 已知 1     是实对称矩阵 A 的三个特征值, 且对应于 1 = =6,   的特征 2= =6 3 2 3  向量为 1 =( 1,0,1) ,  T  2  (1, 2,1)  T . 则 A 对应于 3 3  的特征向量为( ). (A) ( 1, 1, 0)  T (C) (0, 1, 1)T (B) (1, 1, 1)  T (D) (1, 1, 1)T 5. 实二次型 1 ( , q x x 2 ,  , x n )  T X AX 为正定的充分必要条件为( ). (A) | |>0A (B) 存在 , X x x =( 1 ,  , x )T n 2  使得 TX AX  0 (C) 存在 n 阶可逆矩阵C 使得  T A C C (D) A 的负惯性指数为零三、(15 分) 设多项式 ( ) f x  4 2 x  3 x  ax   2 [ ], b C x ( ) g x  2 x +2 [ ], x a C x   且 ( )g x 整除 ( ) f x . (1) 求 ,a b 的值；(6 分) (2) 判断 ( ) f x 有无重因式；(4 分) (3) 将 ( ) f x 表示成 +1x 的多项式. (5 分)

四、(12 分)(1) 证明 A B B A  A B A B   , 其中 ,A B 为同阶方阵；(4 分) (2) 计算 2n 阶行列式 2  D n , 其中 nI 为 n 阶单位阵 , A 是如下 n 阶方阵 A I n I A n 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a      1 1 1 a     A          . (8 分)         五、(18 分)设  A 1   = 0   2  2 1 1 1 2 1       ，这里 A 为 A 的伴随矩阵, P 1       1      2 , 且矩阵 B 满足 BA AP . (1) 证明 A 可逆,并求 A 及其逆；(8 分) (2) 求矩阵多项式 ( f B )  3 B  2 2 B  B .(10 分) 六、(15 分)问为何值时, 线性方程组 2) 2 x x  2 1 ( 5) x    2 ( 4 x    2 (      2 x  1  2 x   1 2 1, x    3 4 2, x    3 5) 1, x    3 有唯一解, 无解, 或有无穷解? 并在有无穷解时, 求出其通解.

七、(15 分)设数域 F 上的 3 维向量空间V 的线性变换在基 1 ,   下的矩阵为 , 2 3 A 1 2 0 = 2 4 0 3 6 1           . (1) 求的核空间 ker( ) 及维数；(5 分) (2) 求的像空间的维数；(5 分) (3) 判定 A 能否相似对角化. (5 分) 八、(10 分)设 A 是秩为 r ( 0r  )的 n 阶方阵，且满足 2 A A 2 ,证明: (1) ( ) R A  (2 ) R I A   ；(4 分) n (2) A 可相似对角化；(3 分) (3) 3A I 是可逆的, 这里 I 为 n 阶单位阵. (3 分) 九、(15 分)     ，是 5 维欧氏空间V 的一个规范正交基, , , , 设 1 2 3 4 5 1 3 2  + = = +   , 2 1     4  , 3 2 (1) 求W 的一个基；(6 分) (2) 求W 的一个规范正交基；(6 分)      4 = 2 +5 +3 +2  1 2 3 (3) 求    3 = + 1 在W 中的正投影. (3 分) (    3 , , 1 2 ) , 其中 W L .

十、(20 分)给定 3 阶实对称矩阵 A ,且其特征值为 1= 1  , 2   ,已知 1 3= =1   (0, 1, 1) T 是 A 的属于特征值 1的特征向量. (1) 求 A ；(14 分) ( f x (2) 应用变量的正交变换,将 1 , x 2 , x 3 )= T X AX 化为标准形，其中 X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ， ( f x 并指出方程 1 , x 2 , x 3 )= T X AX 表示何种二次曲面. (6 分) =1

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