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2008年天津高考文科数学真题及答案.doc
2008 年天津高考文科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120
分钟．第 I 卷至 2 页，第 II 卷 3 至 10 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
注意事项：
第 I 卷
1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位
置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．
参考公式：
·如果事件 A B， 互斥，那么
(
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
·如果事件 A B， 相互独立，那么
2
S
·球的表面积公式
4π
R
4 π
R
3
其中 R 表示球的半径
球的体积公式
V
3
(
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合
U
x
N
0
x
≤ ，
S ，，， ，
1 2 4 5
T ，， ，则
ð
3 5 7
8
S
U
T
（
）
A．
1 2 4，，
B．
1 2 3 4 5 7
，，，，，
C．
1 2，
D．
1 2 4 5 6 8
，，，，，
2．设变量 x
y， 满足约束条件
A．2
B．3
x
x
x
y
y
2
C．4
≥ ，
0
1
≤ ，
1.
y
≥
则目标函数 5
z
x
的最大值为（
y
）
3．函数 1
y
x
(0
x
≤ ≤ 的反函数是（
4)
D．5
）
A．
y
(
x
2
1) (1
≤ ≤
x
3)
B．
y
(
x
2
1) (0
≤ ≤
x
4)
C．
y
x
2 1(1
≤ ≤
x
3)
D．
y
x
2 1(0
≤ ≤
x
4)
4．若等差数列 na 的前 5 项和 5
S ，且 2
25
a ，则 7a （
3
）
A．12
B．13
C．14
D．15
5．设 a b， 是两条直线， ， 是两个平面，则 a
b 的一个充分条件是（
）
A． a
b
， ∥ ，
B． a
b
，
， ∥
C． a
b
，
， ∥
D． a
b
， ∥ ，
6．把函数 sin (
x x
y
R 的图象上所有的点向左平行移动
)
3
个单位长度，再把所得图象
上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
A． sin 2
y
C． sin 2
y
x
x
3
3
R，
x
R，
x
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（
）
B． sin
y
x
2
6
R，
x
D． sin 2
y
x
3
R，
x
7．设椭圆
2
x
m
2
2
2
y
n
1(
m
0
，
n
0)
的右焦点与抛物线 2
y
x 的焦点相同，离心率为
8
1
2
，
则此椭圆的方程为（
）
A．
2
x
12
2
y
16
1
B．
2
x
16
2
y
12
1
C．
2
x
48
2
y
64
1
D．
2
x
64
2
y
48
1
8．已知函数
( )
f x
2
0
x
x
， ≤ ，
2
0
x
， ，
x
则不等式
( )
f x
2
x≥ 的解集为（
）
c
b
a
sin
，
tan
cos
9．设
B．
A．
11 ，
5
7
A． a b c
2 2 ，
2
7
c b
10．设 1a ，若对于任意的
x
， ，都有
这时 a 的取值的集合为（
A．
a
2
a a
2 1 ，
C．
2
7
C．b c
y
C．
a
B．
a a ≥
a ≤
B． a
，则（
2
2
1
，
）
D．
1 2 ，
）
a
D．b
a
c
， 满足方程 log
a a
2
x
log
a
a
y
，
3
2
a≤ ≤
3
D．
2 3，
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共 12 小题，共 100 分．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在题中横线上．
11．一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人．为了
调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取
超过 45 岁的职工
人．
12．
52
x
x
的二项展开式中 3x 的系数为
（用数字作答）．
13．若一个球的体积为 4 3 ，则它的表面积为
．
14．已知平面向量 (2 4)
，a
， ( 1 2)
，
b
，若
c
(
a b b ，则 c
a
)
．
15．已知圆C 的圆心与点 ( 2 1)
P ， 关于直线
y
x 对称．直线3
1
x
4
y
11 0
与圆C 相
交于 A B， 两点，且
AB ，则圆C 的方程为
6
．
16．有 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的蓝色卡
片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行．如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，
则不同的排法共有
三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
种（用数字作答）．
已知函数
( )
f x
2cos
2
x
2sin
x
cos
x
1(
x
R
>，
0)
的最小正周期是
2
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数 ( )
f x 的最大值，并且求使 ( )
f x 取得最大值的 x 的集合．
18．（本小题满分 12 分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
均未命中的概率为
．
1
16
（Ⅰ）求乙投球的命中率 p ；
（Ⅱ）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率．
1
2
与 p ，且乙投球 2 次
19．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD
中，底面 ABCD 是矩形．已知
AB ，
3
AD ，
2
PA ，
2
PD
2 2
，
∠
PAB
60
．
P
A
D
B
C
（Ⅰ）证明 AD 平面 PAB ；
（Ⅱ）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角 P BD A
的大小．
20．（本小题满分 12 分）
已知数列 na 中， 1 1
a ， 2
a ，且 1
n
a
2
(1
)
q a
n
qa
n
1
(
n
≥ ，
2
q
0)
．
（Ⅰ）设
b
n
a
1
n
(
a n
n
*N ，证明 nb 是等比数列；
)
（Ⅱ）求数列 na 的通项公式；
（Ⅲ）若 3a 是 6a 与 9a 的等差中项，求 q 的值，并证明：对任意的 n *N ， na 是 3na 与 6na
的等差中项．
21．（本小题满分 14 分）
(
b x
R ，其中 a b R，
)
．
2
3
4
x
2
ax
( )
f x
设函数
x
10
3
（Ⅱ）若函数 ( )
f x 仅在 0
（Ⅰ）当
a 时，讨论函数 ( )
f x 的单调性；
x 处有极值，求 a 的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的
a ， ，不等式 ( )
f x ≤ 在
1
2 2
11 ， 上恒成立，求b 的取值范围．
22．（本小题满分 14 分）
已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是 1( 3 0)
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若以 (
0)
k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点 M N， ，且线段 MN 的
F ， ，一条渐近线的方程是 5
x
2
y
．
0
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
81
2
，求 k 的取值范围．
参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 50 分．
1．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 24 分．
5．C
6．C
7．B
8．A
2．D
3．A
4．B
9．D
10．B
11．10
12．10
13．12
14．8 2
15． 2
x
(
y
2
1)
18
16．432
三、解答题
17．本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数
y A
sin(
)
x
的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分 12 分．
1 cos 2
x
2
x
cos 2
sin 2
1
x
2
2 sin 2
x
cos
cos 2
x
sin
4
2
2
sin 2
（Ⅰ）解：
( )
f x
2 sin 2
x
x
4
4
2
2
．
，可得
由题设，函数 ( )
f x 的最小正周期是
，所以
2 ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知， ( )
f x
2 sin 4
x
2
2
2
4
2
．
当 4
x
4
2
2
k
，即
x
16
k
2
(
k
Z 时， sin 4
)
x
4
取得最大值 1，所以函数
( )
f x 的最大值是 2
2 ，此时 x 的集合为
x x
16
k
2
Z，
k
．
18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率
知识解决实际问题的能力．满分 12 分．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件 A ，“乙投球一次命中”为事件 B ，由题意得
(1
，
(1
(
P B
)
2
2
解得
p 或
p （舍去），所以乙投球的命中率为
．
3
4
解法二：设“甲投球一次命中”为事件 A ，“乙投球一次命中”为事件 B ，由题意得
(
P B P B ，
)
(
)
1
16
p
5
4
))
3
4
1
16
于是
(
P B 或
)
1
4
(
P B （舍去），故
)
p
1
(
P B
)
．
3
4
1
4
3
4
所以乙投球的命中率为
．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知，
(
P A ，
)
1
2
(
P A A
)
故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为
1
)
(
P A ，
解法二：由题设和（Ⅰ）知，
1
2
故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1
C (
P A P A
2
1
2
（Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，
(
P A ，
)
(
)
(
P A ．
)
．
3
4
3
4
(
P B ．
)
1
4
(
P A ，
)
(
P B ，
)
1
2
)
．
(
P A ．
3
4
1
2
)
(
)
(
)
P A P A
1
2
甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中 2 次，乙 2
次均不中；甲 2 次均不中，乙中 2 次．概率分别为
1
C (
2
P A P A
(
)
)C (
P B P B ，
(
)
1
2
3
16
(
P A A P B B
)
(
)
(
P A A P B B
)
(
)
)
1
64
9
64
，
．
1
64
所以甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次的概率为
3
16
19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相
角能力、运算能力和推理论证能力．满分 12 分．
．
11
32
9
64
2
中，由题设
PA ，
AD ，
（Ⅰ）证明：在 PAD△
于是 AD PA ．在矩形 ABCD 中，AD AB ，又 PA AB A
（Ⅱ）解：由题设， BC
角．
在 PAB△
AD∥ ，所以 PCB∠
PD
中，由余弦定理得
，可得 2
PA
，
，所以 AD 平面 PAB ．
（或其补角）是异面直线 PC 与 AD 所成的
2 2
AD
PD
2
2
2
2
2
AB
PA
2
PA AB
PB
．
由（Ⅰ）知 AD 平面 PAB ， PB 平面 PAB ，
所以 AD PB ，因而 BC PB ，于是 PBC△
PAB
cos
7
是直角三角形，
故
tan
PCB
PB
BC
7
2
．
P
A
H
B
D
E
C
所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为
arctan
7
2
．
（Ⅲ）解：过点 P 作 PH AB 于 H ，过点 H 作 HE BD
于 E ，连结 PE ．
因为 AD 平面 PAB ，PH 平面 PAB ，所以 AD PH
，因而 PH
平面 ABCD ，故 HE 为 PE 在平面 ABCD 内的射影．由三垂线定理可知， BD PE ．从
而 PEH∠
由题设可得，
是二面角 P BD A
．又 AD AB A
的平面角．
PH PA
sin 60
3
，
AH PA
cos60
1
，
BH AB AH
，
2
BD
2
AB
2
AD
13
，
HE
AD
BD
BH
4
13
．
于是在 Rt PHE△
中，
tan
PEH
PH
HE
39
4
．
所以二面角 P BD A
的大小为
arctan
39
4
．
20．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和公式，考
查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分 12 分．
（Ⅰ）证明：由题设 1
n
a
(1
)
q a
n
qa
n
1
(
n
≥ ，得
2)
a
n
1
a
n
(
q a
n
a
n
1
)
，
即
b
n
qb
n
， ≥ ．
1
n
2
b
又 1
a
2
a
1
， 0
q ，所以 nb 是首项为 1，公比为 q 的等比数列．
1
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
a
2
a
1 1
，
a
3
a
2
，
q
……
a
n
a
1
n
q
n
2
(
n
≥ ．
2)
将以上各式相加，得
na
1 1
a
q
…
q
n
2
(
n
≥ ．所以当
2)
n ≥ 时，
2
， ，
1
a
n
n
1
q
1
11
n
q
，
q
q
1.
上式对 1n 显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当 1q 时，显然 3a 不是 6a 与 9a 的等差中项，故 1q ．
a
由 3
a
6
a
9
可得 5
q
a
3
2
q
2
q
3
q
1 1
，
q
6
①
8
，由 0
q 得
q
整理得 3 2
)
q
(
3
q
，解得 3
2 0
q 或 3 1
q （舍去）．于是
2
q ．
3 2
另一方面，
a
n
a
n
3
a
n
6
a
n
由①可得
n
1
n
q
2
1
q
q
n
5
n
q
1
1
q
q
n
q
1
1
q
n
q
1
1
q
3
(
q
1)
，
(1
q
6
)
．
a
n
a
n
3
a
n
6
a
n
*N，
n
．
所以对任意的 n *N ， na 是 3na 与 6na 的等差中项．
21．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知
识，考查综合分析和解决问题的能力．满分 14 分．
（Ⅰ）解：
( )
f x
3
4
x
3
ax
2
4
x
x
(4
x
2
3
ax
．
4)
当
a 时，
10
3
(4
x
( )
f x
2
x
10
x
4)
2 (2
x
x
1)(
x
．
2)
令 ( ) 0
f x
，解得 1
x ， 2
x ， 3
0
x ．
2
1
2
当 x 变化时， ( )
f x ， ( )
f x 的变化情况如下表：
x
(
0)
∞，
f x
( )
( )
f x
↘
0
0
极小值
10
，
2
↗
1
2
0
极大值
1 2
，
2
↘
2
0
极小值
(2
)， ∞
↗
所以 ( )
f x 在
10
， ， (2
2
)， ∞ 内是增函数，在 (
∞， ，
0)
1 2
， 内是减函数．
2
（Ⅱ）解：
( )
f x
x
(4
x
2
3
ax
，显然 0
x 不是方程 24
x
4)
3
ax
的根．
4 0
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