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数学建模 自习室问题.doc
六、模型的评价与改进
6.1.2模型的不足：
2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮
件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问
题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他
公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正
文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反
竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员 (打印并签名) ：1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
日
日期：
年
月
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
自习教室开放的优化管理方案
摘要
本文针对大学用电浪费严重的情况，重点讨论了关于晚自习教室如何开放的
问题。首先我们对所给数据进行了预处理，结合自习室开放的条件，建立 0-1
整数规划模型，并采用 LINGO 软件对模型进行求解。
在问题一中，要求在自习室开放最少的前提下，既要达到学生的满意度要求，
又要节约用电，从而设计出最佳的自习室开放方案，这是一个简单优化问题。故
首先我们对所给数据进行预处理，然后根据题意和已知条件，把总用电量最少作
为目标函数，又综合考虑了上自习的学生人数、教室座位以及用电资源等因素，
最终建立出 0-1 规划模型，运用 LINGO 软件进行求解，最终得到最优化的自习室
开放方案（第二类的教室开放一个，第三类教室和第四类教室全部开放）。该方
案每小时的耗电的总功率为：
；具体方案见模型的建立与求解。
P 4736
W
问题二将问题进一步深化，教室开放的次序发生了变化，则我们优先考虑各
个自习区总的教室数是否满足学生上自习的人数，之后把总的自习室用电量作为
目标函数，在满足各项约束条件下，来设计教室的开放问题，具体详解见模型的
建立与求解。
在问题三中，我们运用同问题一相同的方法思路，建立目标函数和约束条件，
从而建立优化模型；最终运用 LINGO 软件编程得到最优方案，具体结果为：第一
类教室开放的个数为 3 个，第二类和第三类教室全部开放，第四类教室开放 1
个；该方案每小时的耗电的总功率为：
。然后由于问题条件的深入，
我们又对模型做了进一步的分析优化。
P 8016
W
最后，本文针对所建立的模型的不足进行了改进说明，使所建立的模型更加
合理、正确，同时也增加了模型的适用性和推广性。
关键词：0-1 整数规划 目标函数 满意度 LINGO 软件
1
一、问题重述
1.1 问题的背景与条件
近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是
去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上
自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最
合理的管理方法。
下面是数计学院的教室相关数据：
教室类
座位数 灯管数 开关数
一个 开关控 制
每 只 灯 管 的
教室个数
的灯管数
功率／W
16
16
24
4
48
82
156
32
别
1
2
3
4
其中前 3 类教室均匀分布在 3 个楼层，第四类在 3 楼；管理人员只需要每天
晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从 7：00—10：00 开放(如果哪个教
室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开)。
1.2 需要解决的问题
40
50
48
60
18
3
3
2
4
4
4
2
4
4
6
2
1）、假如我院有 1000 名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可
能性为 0．6。要使需要上自习的同学满足程度不低于 90％，开放的教室满座率
不低于 4／5，同时尽量不超过 90％．问该安排哪些教室开放，能达到节约用电
的目的。
2）、假设现有的 26 个教室分为 3 个自习区，第一类为第一区，第二类及第
四类为第二区，第三类为第三区。教室的开放次序先开放第一区，在开放第二区，
最后考虑第三区教室。在满足问题 1 条件下，教室开放情况又是如何？
3）、假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增
大为 0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于 99％，开放的教室满座率不
低于 4／5，同时尽量不超过 95％。应该怎样开放教室？
若假设每个教室中每个灯管照亮座位的情况是一致的，开放的教室可以只打
开部分灯管，这时的各种情况的教室开放情况又是如何？
二、模型的假设
1）假设每个教室晚自习开放时间相同，因此我们以一个小时的用电功率来衡量
用电量；
2）假设教室所有的座位完好，且环境相同，不存在同学愿不愿去坐的状况；
3）假设教室的灯管都完好；
4）假设学生去上自习概率不受外界客观因素的影响，如天气，病假等；
5）假设学生到各个教室的意愿相同，无不想去的教室；
6）假设学生上晚自习的时间相同，不存在早退晚回的情况；
7）假设每位同学仅占一个座位；
8）假设仅考虑正常上课的情况，不考虑假期教室空闲、临近考试阶段紧张复习
等因素；
2
三、符号的说明
1） iX :表示第i 个教室是否开放（0 表示不开放，1 则表示为开放）；
2） iP ：表示第i 个教室的用电总功率；
3）Y ：表示上自习的学生数；
4） iZ ：表示第i 个教室的座位数；
5） P ：表示所有开放教室的用电总功率；
6） Z ：表示所有开放教室的总的座位数：
四、问题的分析
根据我们对题目的理解与分析，本题目的问题是在满足每题要求的前提情况
下，设计出教室开放的最节约，最合理的优化方案，从而达到节约用电并且满足
同学们需求度。以下是我们对每一个问题所进行的分析。
4.1 问题一的分析：
经分析，问题一的目标很明确，即以节约用电（总功率最少）为目标，通过
安排是否教室的开放设计出一个最优化的合理方案。因此我们考虑引入 0-1 变
量，运用 0-1 整数规划模型建立目标函数，再以题目中所给满座率要求得出约束
条件，最后用 LINGO 编程求解出教室管理安排的最优方案。
4.2 问题二的分析：
经考虑，首先考虑第一区的教室数是否满足学生上自习的人数，然后再建立
目标函数，求解出最优解，并且我们应该考虑到两个方面，一是对学校来讲，节
约用电是最优目的，即所使用电的总功率最小；而对于学生来说，应该尽可能的
提高学生的满意度，达到学生的需求。
4.3 问题三的分析：
由于临近考试，学生上自习的人数增加，满意程度增大，所以我们还是按照
和问题一相同的思路进行求解，使满意度尽可能地大的情况下，考虑到省电的原
则做适当调整，最后用 LINGO 编程求解选择出教室最优管理安排方案。之后又由
于问题的深化，我们又做了进一步的优化（详细见问题 5.3.4）。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型的建立与求解
5.1.1 约束条件的确立：
根据条件，学院有 1000 名同学，总计四类教室，总共有 26 间，根据题目中
有关数据，我们做了以下的数据预处理，详细见表一，
教室
教室类
座位
灯管
开关
一个开关控制的灯
号
1
2
3
4
5
6
7
8
别
1
1
1
1
1
1
1
1
数
48
48
48
48
48
48
48
48
数
16
16
16
16
16
16
16
16
管数
4
4
4
4
4
4
4
4
数
4
4
4
4
4
4
4
4
3
每只灯管的功率
／W
40
40
40
40
40
40
40
40
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
48
48
48
48
48
48
48
48
48
48
82
82
82
156
156
156
32
32
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
24
24
24
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
6
6
6
2
2
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
50
50
50
48
48
48
60
60
而每个同学是否上自习是相互独立，上自习的可能性为 0.6，且要使需要上
自习的同学满足程度不低于 90％，所以上自习的人数至少为：
表一
Y
1000
6.0
%90
540
人；
因为要求开放的教室满座率不低于 54 ，同时尽量不超过 %90 ，所以我们确立的
约束条件为：
4
5
26
i
1
ZX
i
i
Y
%90
26
i
1
ZX
i
i
5.1.2 目标函数的确立：
根据我们所考虑分析的，我们想引入 0-1 变量的方法代表教室是否开放：
iX
1
0
表示该教室开放
表示教室不开放
4.3.2.1i
......
26
;
则目标函数为：
MinP
26
1i
i PX
i
；
5.1.3 模型的建立：
综合上述，我们得出 0-1 整数规划模型的标准形式如下：
目标函数：
约束条件：
MinP
26
1i
i PX
i
；
4
..
ts
5.1.4 模型的求解：
4
5
26
i
1
X
i
ZX
i
i
Y
%90
26
i
1
ZX
i
i
26
1
i
10
或
X
i
i
26
3,2,1
......
26
；
根据模型，我们利用 LINGO 软件编程（见附录）求解出教室管理的最优方案
如下：开放第二类的教室数量是一个，第三类教室和第四类教室全部开放。该方
案每小时的耗电的总功率为：
5.2 问题二模型的建立与求解
5.2.1 模型的准备：
P 4736
W
。
因为现将的 26 个教室分为 3 个自习区，第一类为第一区，第二类及第四类
为第二区，第三类为第三区。教室的开放次序先开放第一区，再开放第二区，最
后考虑第三区教室。可是经我们计算第一区的所有教室数的总的座位数为：
18
48
864
个；
而又有问题一的条件可知：每个同学是否上自习是相互独立的，上自习的可能性
为 0.6，且要使需要上自习的同学满足程度不低于 90％，所以上自习的人数至少
为：
人，显然我们可得：第一区的座位数就能满足学
生的上自习的要求，所以我们考虑就只开放第一区的教室。
5.2.2 模型的建立：
1000
%90
540
Y
6.0
则在节约用电为目标函数的前提下建立优化模型。我们得出 0-1 整数规划模
型的标准形式如下：
目标函数：
约束条件：
MinP
18
1i
i PX
i
；
..
ts
5.2.3 模型的求解：
4
5
18
i
1
X
i
ZX
i
i
Y
%90
18
i
1
ZX
i
i
18
i
10
或
1
X
i
i
18
3,2,1
......
18
；
根据模型，我们利用 LINGO 软件编程（见附录）求解出教室管理的最优方案
如下：连续开放第一区的教室 13 个，就可以满足条件，达到学生的满意程度，
该方案每小时的耗电的总功率为：
5.3 问题三模型的建立与求解
5.3.1 模型的确立：
P 8320
W
。
由题意可知，由于临近期末，上自习的人数突然增多，则上自习的同学的期
望值为：
而且要使需要上自习的同学的满足程度不低于 %99 ，所以最少来上自习的人
1000
85.0
850
（人）；
数为：
5
又因为要求开放的教室满座率不低于 54 ，同时尽量不超过 %95 ，所以我们
Y
850
99.0
841
5.
842
人；
确立的约束条件为：
则目标函数为：
4
5
26
i
1
ZX
i
i
Y
%95
26
i
1
ZX
i
i
MinP
26
1i
i PX
i
；
5.3.2 模型的建立：
综合上述，我们得出 0-1 整数规划模型的标准形式如下：
目标函数：
约束条件：
MinP
26
1i
i PX
i
；
..
ts
5.3.3 模型的求解：
4
5
26
i
1
X
i
ZX
i
i
Y
%95
26
i
1
ZX
i
i
26
1
i
10
或
X
i
i
26
3,2,1
......
26
根据模型，我们利用 LINGO 软件编程（见附录）求解出教室管理的最优方案
如下：第一类教室开放的个数为 3 个，第二类和第三类教室全部开放，第四类教
室开放 1 个。该方案每小时的耗电的总功率为：
5.3.4 问题三模型的优化：
P 8016
W
。
因为题目中假设每个教室中每个灯管照亮座位的情况是一致的，开放的教室
可以只打开部分灯管，而由问题三模型的求解，并且我们对数据做了一下的处理
（详细见表 2）。我们可得出总的座位数为：
156
（个）；
858
82
3
3
3
48
Z
然而上自习的人数至少为：
842 （其它们的差值为 16）；
858
所以开放的教室会有空位（假设此时开放教室中的全部灯管都是亮着的），则就
会造成用电的浪费。
所以经计算我们得出第四类教室是 8 个座位占用一个灯管，且 1 个开关控制
2 个灯管数，即我们可以关掉 1 个开关，这样就可以满足题目的条件，也不会造
成用电的浪费，而且也达到了学生的满意度。则这种方案下每小时的耗电量为：
P 7896
。
教室类别 总功率/教室(W) 总座位数 座位数/灯管数
W
1
2
3
4
640
800
1152
240
3
5.125
6.5
8
864
246
468
64
表 2
6
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