2010年福建高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2010年福建高考文科数学真题及答案第 I 卷（选择题共 60 分） 1. 若集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则 A∩B 等于 A {x | 2＜x≤3} B {x | x≥1} C {x | 2≤x＜3} D {x | x＞2} 2. 计算 1－2sin222.5°的结果等于 A.1/2 B. /2 C /3 D /2 3. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积．．．等于 A. C.2 B.2 D.6 4. i 是虚数单位，（（1+i）/(1-i)）4 等于 A.i B.-i C.1 D.-1 5. 若 x，y∈R，且，则 z=x+2y 的最小值等于 A.2 B.3 C.5 D.9 6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 i 值等于 A.2 D.5 B.3 C.4 7. 函数 f（x）= 的零点个数为 A.2 B.2 C.1 D.0 8.若向量 a=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“| a |=5”的 A.充分而不必要 C 充要条件 B.必要而不充分 D.既不充分也不必要条件 9.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A.91.5 和 91.5 C 91 和 91.5 B.91.5 和 92 D.92 和 92 10.将函数 f（x）=sin（ωx+φ）的图像向左平移π/2 个单位，若所得图像与原图像重合，

则ω的值不可能．．．等于 A.4 B.6 C.8 D.12 11.若点 O 和点 F 分别为椭圆 x2/4 +y2/3 =1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上点的任意一点，则 A.2 的最大值为 B.3 C.6 D.8 12.设非空集合 S=={x | m≤x≤l}满足：当 x∈S 时，有 x2∈S . 给出如下三个命题： ①若 m=1，则 S={1}；②若 m=－1/2 ，则 1/4 ≤ l ≤ 1；③ l=1/2，则－ /2≤m≤0 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 第 II 卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13.若双曲线 x2 / 4－y2 / b2=1 (b＞0) 的渐近线方程为 y=±1/2 x ，则 b 等于 . 14.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为 2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频率之和等于 27，则 n 等于 . 15. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上 4 个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）. 16.观察下列等式： ① cos2α=2 cos2 α－1； ② cos 4α=8 cos4 α－8 cos2 α+1； ③ cos 6α=32 cos6 α－48 cos4 α＋18 cos2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos8α－256cos6 α＋160 cos4 α－32 cos2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos10α－1280 cos8α＋1120cos6 α＋ncos4 α＋p cos2 α－1；

可以推测，m－n+p= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） . 数列{a n}中，a 1 =1/3，前 n 项和 S n 满足 S n+1 －S n =（1 / 3）n + 1 (n∈)N *. （I）求数列{a n}的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n （II）若 S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列，求实数 t 的值. 18.（本小题满分 12 分）设平面向量 a m =（m，1），b n =（2，n），其中 m，n∈{1,2,3,4}. （I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得 a m ⊥（a m－b n）成立的（m，n）”为事件 A，求事件 A 发生的概率. 19.（本小题满分 12 分）已知抛物线 C 的方程 C：y 2 =2 p x（p＞0）过点 A（1，-2）. （I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 l，使得直线 l与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由。 20.（本小题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，H 分别是棱 A1B1，D1C1 上的点（点 E 与 B1 不重合），且 EH∥A1 D1. 过 EH 的平面与棱 BB1 ，CC1 相交，交点分别为 F，G。（I）证明：AD∥平面 EFGH；（II）设 AB=2AA1 =2 a .在长方体 ABCD－A1B1C1D1 内随机选取一点。记该点取自几何体 A1ABFE-D1DCGH 内的概率为 p，当点 E，F 分别在棱 A1B1 上运动且满足 EF=a 时，求 p 的最小值. 21. （本小题满分 12 分）某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇. （I）（II）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？为保证小艇在 30 分钟内（含 30 分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（III）是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行

方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分 14 分）已知函数 ( ) f x   1 3 2 x  ax b  的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为 3 x y 2  . （Ⅰ）求实数 a，b 的值；（Ⅱ）设 2 y  4 ( 2) x  2  2 p 2,  x   1 ( ) g x  ( ) f x  m  x 1 是[2, ) 上的增函数. （ⅰ）求实数 m 的最大值；（ⅱ）当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线能与曲线 y  ( ) g x 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由.

参考答案选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分. 1.A 7.B 5.B 11.C 6.C 12.D 4.C 10.B 2.B 8.A 3.D 9.A 填空题：本大题考查基础知识和基本运算. 每小题 4 分，满分 16 分. 13.1 14.60 15.②③ 16.962 三、解答题：本大题共 6 小题；共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解：(Ⅰ)由 S n+1 －S n =（ 1 3 ）n + 1 得 na   1 n 1  1( ) 3 (n∈N *)； a  1 又 1 3 na  n 1( ) 3 ，故 (n∈N *) 1 3 ns  从而 n [1 ( ) ]   1 3 1 3 1   1 2 n [1 ( ) ]  1 3 (n∈N *). (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S  1 1 3 ， S  2 4 9 ， S  3 13 27 从而由 S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列可得： 1 3 3 (   4 9  13 27 ) 2 (   1 3  4 9 ) t ，解得 t=2. 18.本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想.满分 12 分. 解：(Ⅰ)有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共 16 个. (Ⅱ)由 a m  ( a m b  得 n ) 2 m  2 m 1    ，即 n o n m (  1) 2 . 由于 ,m n ｛1,2,3,4｝，故事件 A 包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共 2 个. 又基本事件的总数为 16，故所求的概率 ( P A  ) 2 16  1 8 . 19.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分 12 分. 解：（Ⅰ）将（1,-2）代入 2 y  2 px ，所以 2 p  . 故所求的抛物线 C 的方程为 2 y 4 x ，其准线方程为 1 x   .

（Ⅱ）假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 y=－2x + t ，由因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以得Δ=4+8 t，解得 t ≥－1/2 . ，得 y2 ＋2 y －2 t=0. 另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d= ，可得 = ，解得 t=±1. 因为－1∉[- 2x+y-1 =0. ,＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分 12 分解法一：（I）证明：在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥A1 D1 又∵EH∥A1 D1 ，∴AD∥EH. ∵AD￠平面 EFGH EH 平面 EFGH ∴AD//平面 EFGH. （II）设 BC=b，则长方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积 V=AB·AD·AA1 =2a2b，几何体 EB1F-HC1G 的体积 V1 =（1/2EB1 ·B1F）·B1C1 =b/2·EB1 ·B1 F ∵EB1 2 + B1 F2=a2 ∴EB1 2 + B1 F2 ≤ （EB1 2 + B1 F2 ）/2 = a2 / 2,当且仅当 EB1 =B1 F= /2 a 时等号成立从而 V1 ≤ a2b /4 . 故 p=1-V1/V ≥ 7/8 解法二：（I）同解法一（II）设 BC=b，则长方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积 V=AB·AD·AA1 =2a2b ，几何体 EB1F-HC1G 的体积 V1=（1/2 EB1 ·B1 F）·B1C1 =b/2 EB1 ·B1 F 设∠B1EF=θ（0°≤θ≤90°），则 EB1 = a cosθ，B1 F =a sinθ 故 EB1 ·B1 F = a2 sinθcosθ= 等号成立. 从而，当且仅当 sin 2θ=1 即θ=45°时 ∴p=1- V1/V≥ =7/8，当且仅当 sin 2θ=1 即θ=45°时等号成立.

所以，p 的最小值等于 7/8 21.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考察推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解法一：（I）设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S= = = 故 t=1/3 时，S min = ，v= =30 即，小艇以 30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小（Ⅱ）设小艇与轮船在 B 处相遇由题意可知，（vt）2 =202 +（30 t）2-2·20·30t·cos（90°-30°），化简得：v2= 由于 0＜t≤1/2，即 1/t ≥2, +900 =400 +675 所以当 1 t =2 时， v 取得最小值10 13 ，即小艇航行速度的最小值为10 13 海里/小时。（Ⅲ）由（Ⅱ）知 2 v 于是 400 u 2  2 v  400 2 t 600 u    ，设 600 900 t 900  1 u  ( t  。（*） 0 u  ， 0) 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：  600   900  2 1600(900  2 v  0.   2 v ) 0,  解得15 3 v  。 30 所以 v 的取值范围是 (15 3,30) 。解法二：（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东

方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在 C 处相遇。在 Rt OAC 中， OC  20cos30  10 3 ， AC  20sin 30  10 。又 AC  30 t ,OC vt 此时，轮船航行时间 t  10 30  ， 1 3 v  10 3 1 3  30 3 。即，小艇以30 3 海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。（Ⅱ）同解法一（Ⅲ）同解法一 22. 本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。满分 14 分。解法一：（Ⅰ）由 f '( ) x  2 x  2 x a  及题设得 f f    （Ⅱ）（ⅰ）由 ( ) g x  1 3 3 x  2 x  3 x   2 得 '( ) g x  2 x  2 x   3 m 1)  2 ( x 。即 3 a     b  2 。 '(0) 3  (0) 2   m 1 x  ( )g x 是[2, ) 上的增函数， '( ) g x 0 在[2, ) 上恒成立，即 2 x  2 x 3   m 1)  2 ( x  0 在[2, ) 上恒成立。设 ( x  1) 2  。 t  x      [2, ), ) ，即不等式 2   t  在[1, [1, t 0m t ) 上恒成立 0m t  在[1, 当 0m  时，不等式 2   t ) 上恒成立。

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