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1993年广东高考文科数学真题及答案.doc
1993 年广东高考文科数学真题及答案
一．选择题：本题共 18 个小题;每小题 3 分，共 54 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。
（1）若双曲线实半轴长为 2，焦距为 6，那么离心率是 （ C ）
（A）
3
2
（B）
6
2
（C）
3
2
（D）2
（2）函数
y
1
1
tg
tg
2
2
2
2
（A）
4
x
x
2
的最小正周期是
（ B ）
（B）
（C）
（D） 2
（3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是 2 时，圆锥的轴截面顶角是
（A）450
（B）600
（C）900
（D）1200 （ C ）
（4）当
z
1 i
2
时，
100
z
50
z
1
的值等于
（ D ）
（A）1
（B）-1
（C）i
（D）-i
（5）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是．．
（A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥
（ D ）
（6）在直角三角形中两锐角为 A 和 B，则 sinAsinB
（ B ）
（A）有最大值
1
2
和最小值 0 （B）有最大值
1
2
，但无最小值
（C）即无最大值也无最小值 （D）有最大值 1，但无最小值
（7）在各项均为正数的等比数列 }{ na 中，若
aa
5
6
9
，则
log
3
a
1
log
3
a
2
log a
10
3
（ B ）
（A）12
（B）10
（C）8
（D）
2
log
5
3
（8）
)(
xF
1(
2
1
x
2
（ A ）
)
)(
(
xxf
)0
是偶函数，且 )(xf 不恒等于零，则 )(xf
（A）是奇函数
（B）是偶函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数
（9）设直线
2
x
y
3
0
与 y 轴的交点为 P，点 P 把圆
(
x
)1
2
2
y
25
的直径分为
两段，则其长度之比为
（ A ）
（A）
7 或
3
3
7
（B）
7 或
4
4
7
（10）若 ba, 是任意实数，且 b
（C）
7 或
5
a ，则
5
7
（D）
7 或
6
6
7
（ D ）
（A）
2
a
2
b
（C）
lg(
ba
)
0
（D）
a
)
1(
2
tg
b
)
1(
2
}
sin
，那么
E 为区
F
1
（B）
b
a
|{
cos
（11）已知集合
E
间
（A）
(
2
,
)
sin
0,
},2
F
|{
（ A ）
（B）
(
4
3,
4
)
（C）
3,(
2
)
（D）
3(
4
5,
4
)
（12）一动圆与两圆：x2+y2=1 和 x2+y2-8x+12=0 都外切，则动圆圆心的轨迹为
（ C ）
（A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆
（13）若直线 ax+by+c=0 在第一、二、三象限，则
（ D ）
（A）ab>0,bc>0（B）ab>0,bc<0（C）ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<0
（14）如果圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是
（ A ）
（A）
( l
6
3)
（B）
( l
3
3)
（C）
( l
4
3)
（D）
1 l
(
4
4
3)
（15）由
3(
x
3
)2
100
展开所得的 x 的多项式中，系数为有理数的共有
（ B ）
（A）50 项
（B）17 项
（C）16 项
（D）15 项
（16）设
（A）
1
c
cba ,
, 都是正数，且
1
1
a
b
（B）
2
c
a
3
2
a
4
1
b
b
c
6
，那么
（ B ）
（C）
1
c
2
a
2
b
（D）
2
c
1
a
2
b
（17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则
四张贺年卡不同的分配方式有 （ B ）
（A）6 种
（B）9 种
（C）11 种
（D）23 种
（18）在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中，M、N 分别为棱 A1A 和 B1B 的中点（如图）。若 为直线 CM
与 D1N 所成的角，则
sin
（ D ）
（A）
（C）
1
9
52
9
（B）
（D）
2
3
54
9
二．填空题：本大题共 6 小题;每小题 3 分，共 18 分。
把答案填在题中横线上。
（19）抛物线 y2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为
34 ，则焦点到 AB 的距离为________________.
[答]：2
D1
C1
A1
M
A
D
B1
N
C
B
（20）在半径为 30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且
其轴截面顶角为 1200。若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为________m（精确到）.
[答]：
（21）在 50 件产品中有 4 件是次品，从中任意抽出 5 件，至少有 3 件是次品的抽法共_________
种（用数字作答）.
[答]：4186
（22）建造一个容积为 8m3，深为 2m 的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别
为 120 元和 80 元，那么水池的最低造价为_______元.
[答]：1760
（23）设
)(
xf
x
4
12
x
，则
)0(1f
=__________
[答]：1
（24）设
[答]：-1
a 则
,1
lim
n
1
1
a
a
n
1
n
1
____________
三．解答题：本大题共 5 小题;共 48 分.解答应写出文字说明、演算步骤。
（25）（本小题满分 8 分）
解方程
lg( 2
x
4
x
)26
lg(
x
.1)3
解：原方程可化为
2
x
lg
26
4
x
3
x
lg
,10
2
x
26
4
x
3
x
10
解得
x
1
3
;5
x
2
3
5
,5
时
3
,5
时
:
x
检验
3
x
所以原方程的根是
满足方程
x
x
3
,
3
5
0
所以是增根
5
（26）（本小题满分 8 分）
18
2
2
31
24
25
S
,
3
2
28,
3
5
48
49
,
,
2
S
4
已知数列
S
1
8
9
,
S
2
法加以证明。
8
2
n
2()1
,
n
)1
2
Sn 为其前 n 项和，计算得
观察上述结果，推测出计算 Sn 的公式，并用数学归纳
2(
n
80
81
.
解：
S n
2(
n
2(
n
2
)1
)1
2
1
(
Nn
)
证明如下：
（1）当 n=1 时，
S
1
1
2
2
3
3
8
9
,
等式成立。
（2）设 n=k 时等式成立，即
S k
2(
k
2(
k
2
)1
)1
2
1
S
k则
1
S
k
)1
k
k
2
(8
2()1
2
1
2
2
k
2
2(
)3
k
)1
2(
(8
)1
k
2(
2()1
2(
)1
k
k
k
2
2
(8
2[(
)3
)1
2](1
k
k
2
2
2()1
)3
2(
k
k
2
2
2()1
2(
)3
)3
k
k
2
2
2(
)3
2()1
k
k
2(
k
2
)3
)1
k
2
(8
k
)1
2
2)1
)3
k
2
2()1
2(
k
2
)3
1
2
)3
]1)1
]1)1
k
2
2
1
2
k
)1
2(
k
2
)3
2(
k
2(
k
2(
k
(2[
k
(2[
由此可知，当 n=k+1 时等式也成立
根据（1），（2）可知，等式对任何 Nn 都成立。
（27）（本小题满分 10 分）
如图，A1B1C1-ABC 是直三棱柱，过点 A1、B、C1 的平面和平面 ABC 的交线记作 L。
（Ⅰ）判定直线 A1C1 和 L 的位置关系，并加以证明;
（Ⅱ）若 A1A=1，AB=4，BC=3，∠ABC=900，求顶点 A1 到直线 L 的距离。
解：（Ⅰ）L∥A1C1 证明如下：
根据棱柱的定义知
A1
平面 A1B1C1 和平面 ABC 平行。
由题设知直线
A1C1=平面 A1B1C1∩平面 A1BC1，
直线 L=平面 A1B1C1∩平面 A1BC1，根
E
据两平面平行的性质定理
有 L∥A1C1
（Ⅱ）过点 A1 作 A1E⊥L 于 E，则 A1E
A
L
C1
C
B1
D
B
的长为点 A1 到 L 的距离。连接 AE，由直棱柱的定义知 A1A⊥平面 ABC
∴直线 AE 是直线 A1E 在平面 ABC 上的射影。
又 L 在平面 ABC 上，根据三垂线定理的逆定理有 AE⊥L
由棱柱的定义质 A1C1∥AC，又 L∥A1C1，∴L∥AC
作 BD⊥AC 于 D，
则 BD 是 Rt△ABC 斜边 AC 上的高，且 BD=AE，
从而
AE
BD
AB
BC
AC
12
5
在 Rt△A1AE 中，∵A1A=1，∠A1AE=900，
.
2
2
∴
AE
EA
1
AA
1
13
5
13
故点 A1 到直线 L 的距离为 .
5
（28）（本小题满分 10 分）
在面积为 1 的△PMN 中，
tgM
1
2
,
tgN
2
.建立适当的坐标系，求出以 M，N 为焦
点且过点 P 的椭圆方程。
解：建立直角坐标系如图：
以 MN 所在直线为 x 轴，线段 MN 的垂直平分线为 y 轴
设所求的椭圆方程为
2
2
x
a
2
2
y
b
1
分别记 M、N、P 点的坐标为
（-c,0),(c,0)和(x0,y0)
∵tgα=tg(π-∠N）=2
∴由题设知
1
(
x
2
(2
x
0
0
)
c
)
c
解得
c
即
c
5(
cP
3
4,
3
c
)
y
0
y
0
x
0
y
0
5
3
4
3
4
在△PMN 中，MN=2c MN 上的高为 c
3
3
2
∴S△PMN=
1
2
4
3
1
2
c
c
c
,
即
|
PM
|
(
x
0
2
c
)
2
y
0
|
PN
|
(
x
0
2
c
)
2
y
0
2
15
3
15
3
Y
P
α
M
O
N
X
P
35(
6
32,
3
)
a
1
2
(|
PM
|
|
PN
)
15
2
从而
2
b
2
a
2
c
3
故所求椭圆方程为
2
4
x
15
2
y
3
1
（29）（本小题满分 12 分）
设复数
z
cos
i
sin
0(
),
4
)(1
z
4
1
z
,
已知
|
|
3
3
arg,
2
,
求 。
1
解：
[cos(
1
[cos
)
4
i
i
sin(
)]
4
sin
]
1
1
cos(
cos
)4(
)4
4
i
4sin
sin2
cos
2
2
2
2
2
2
i
2
i
2sin
2sin
cos
cos
2
2
tg
2
(sin
4
i
cos
)4
0
,
故有
得时
,
12
或
7
12
,
|
|
|
tg
|2
)1(
当
tg
2
3
3
3
3
这时都有
)2(
当
tg
2
3
3
3
3
11
6
(cos
6
i
sin
6
),
得
arg
6
2
,
适合题意
得时
,
5
12
或
1
12
,
这时都有
综合
)2(),1(
可知
或
(cos
3
3
12
i
sin
7
12
),
得
arg
11
6
2
,
不适合题意
,
舍去
11
6
.
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