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2007年天津高考文科数学真题及答案.doc
2007 年天津高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试用时 120
分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页．第Ⅱ卷 3 至 10 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
注意事项：
第Ⅰ卷
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位
置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．
3．本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．
参考公式：
如果事件 A B， 互斥，那么
(
P A B
如果事件 A B， 相互独立，那么
(
P A B
(
(
P A P B
)
(
P A
(
P B
)
)
)
)
)
球的表面积公式
2
4π
R
S
其中 R 表示球的半径
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合
S
x
R
x
1
≥ ，
T ， ，，， ，则 S T
1 0 1 2
2
2
（
）
A． 2
B．
1 2，
C．
0 1 2，，
D．
1 0 1 2
，，，
（2）设变量 x y， 满足约束条件
则目标函数 2
z
x
的最大值为（
4
y
）
≥ ，
4
1
x
y
y
x
≤ ，
2
y
≥
Ｃ．13
Ｄ．14
Ａ．10
Ｂ．12
（3） “ 2
a ”是“直线
ax
2
y
平行于直线
0
x
y ”的（
1
）
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
（4）设
a
log 3
A． a b c
y
（5）函数
log (
2
1
2
，
1
b
3
B． c b
4)(
x
x
0.2
1
32
c ，则（
，
）
a
C． c
0)
的反函数是（
a b
）
A． 2
y
C． 2
y
x
x
4(
x
2)
4(
x
2)
B． 2
y
D． 2
y
x
x
4(
x
0)
4(
x
0)
D．b
a
c
（6）设 a b， 为两条直线， ， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（
）
A．若 a b， 与所成的角相等，则 a
B．若 a ∥ ，b ∥ ， ∥ ，则 a
b∥
b∥
C．若 a ，b ， a
b∥ ，则 ∥
D．若 a ，b ， ，则 a
b
（ 7 ） 设 双 曲 线
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0
，
b
0)
的 离 心 率 为 3 ， 且 它 的 一 条 准 线 与 抛 物 线
2
y
x 的准线重合，则此双曲线的方程为（
4
）
Ａ．
2
x
12
2
y
24
1
Ｃ．
2
x
3
22
y
3
1
Ｂ．
2
x
48
2
y
96
1
Ｄ．
2
x
3
2
y
6
1
（8）设等差数列 na 的公差 d 不为 0， 1
a
（
Ａ．2
Ｂ．4
Ｃ．6
）
Ｄ．8
d ．若 ka 是 1a 与 2ka 的等比中项，则 k
9
（9）设函数 ( )
f x
sin
x
3
(
x
R ，则 ( )
f x （
)
）
A．在区间
2
3
7
， 上是增函数
6
B．在区间
， 上是减函数
2
C．在区间
， 上是增函数
8 4
D．在区间
5
， 上是减函数
3 6
（ 10 ） 设 ( )
f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当
x ≥ 时 ，
0
( )
f x
2
x ， 若 对 任 意 的
x
A．
t
t
，
2
，不等式 (
2
， ∞
B．
f x t
≥
)
2 ( )
f x
恒成立，则实数t 的取值范围是（
）
2 ， ∞
C．
0 2，
D．
2
，
1
2 0
，
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共 12 小题，共 100 分．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在题中横线上．
（11）从一堆苹果中任取了 20 只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组
频数
90 100，
100 110，
110 120，
120 130，
130 140，
140 150，
1
2
3
10
1
则这堆苹果中，质量不小于．．．120 克的苹果数约占苹果总数的
％．
（12）
x
9
1
2
x
的二项展开式中常数项是
（用数字作答）．
（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2 ，
3 ，则此球的表面积为
（14）已知两圆 2
y
x
相交于 A B， 两点，则直线 AB 的方
和
10
20
3)
1)
．
y
x
(
2
2
(
2
程是
．
（15）在 ABC△
中，
AB ，
2
AC ， D 是边 BC 的中点，则 AD BC
3
．
（16）如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子
涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色
也不同，则不同的涂色方法共有
三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分 12 分）
种（用数字作答）．
AC ，
2
BC ，
3
cos
A ．
4
5
中，已知
在 ABC△
（Ⅰ）求sin B 的值；
6
（Ⅱ）求sin 2
B
的值．
（18）（本小题满分 12 分）
已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球，乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑球．现
从甲、乙两个盒内各任取 2 个球．
（Ⅰ）求取出的 4 个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；
（19）（本小题满分 12 分）
中， PA 底面 ABCD ， AB AD AC CD
如图，在四棱锥 P ABCD
ABC
（Ⅰ）求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小；
（Ⅱ）证明 AE 平面 PCD ；
（Ⅲ）求二面角 A PD C
°， PA AB BC
， E 是 PC 的中点．
，
P
的大小．
60
，
E
A
D
B
C
（20）（本小题满分 12 分）
在数列 na 中， 1
a ， 1
n
2
a
4
a
n
3
n
， n *N ．
1
（Ⅰ）证明数列
na
n 是等比数列；
（Ⅱ）求数列 na 的前 n 项和 nS ；
（Ⅲ）证明不等式 1
n
S
≤ ，对任意 n *N 皆成立．
4
S
n
（21）（本小题满分 14 分）
设函数
( )
f x
(
x x a
（ x R ），其中 a R ．
)
2
（Ⅰ）当 1a 时，求曲线
y
( )
f x
在点 (2
f，
(2))
处的切线方程；
（Ⅱ）当 0
a 时，求函数 ( )
f x 的极大值和极小值；
a 时，证明存在
（Ⅲ）当 3
的 x R 恒成立．
（22）（本小题满分 14 分）
k ， ，使得不等式
1 0
(
f k
cos )
x
≥
2
(
f k
cos
2
x
)
对任意
设 椭 圆
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1
0)
b
F F A， ， 是 椭 圆 上 的 一 点 ，
2
AF
2
F F
1 2
，原点O 到直线 1AF 的距离为
1
3
OF ．
1
（Ⅰ）证明
a
2
b
；
（Ⅱ）求 (0
， 使得下述命题成立：设圆 2
x
b
)
t
2
y
2
上任意点
t
(
M x
y， 处的切线交
0
)
0
椭圆于 1Q ， 2Q 两点，则 1
OQ OQ
2
．
参考答案
（2）C
（7）D
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 50 分．
（1）B
（6）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 24 分．
（11） 70
（14） 3
x
y
（13）14
（16） 630
（5）C
（10）A
（3）C
（8）B
（4）A
（9）A
0
（12）84
5
2
（15）
三、解答题
（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，
考查基本运算能力．满分 12 分．
（Ⅰ）解：在 ABC△
中，
sin
A
1 cos
2
A
1
2
4
5
3
5
，由正弦定理，
BC
sin
A
sin
所以
．
AC
sin
B
AC
B
BC
sin
A
2 3
3 5
4
5
．
2
5
（Ⅱ）解：因为
cos
A ，所以角 A 为钝角，从而角 B 为锐角，于是
cos
B
1 sin
2
B
1
cos 2
B
2cos
2
B
1 2
2
2
5
21
5
，
21
5
1
，
17
25
sin 2
B
2sin cos
B
B
2
5
2
21
5
4 21
15
．
sin 2
B
6
sin 2 cos
B
6
cos 2 sin
B
6
4 21
25
3
2
17 1
25 2
12 7 17
50
．
（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决
实际问题的能力．满分 12 分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 A ，“从乙盒内取出的 2 个球均为
红球”为事件 B ．由于事件 A B， 相互独立，且
(
P A
)
C
C
2
3
2
7
，
1
7
(
P B
)
C
C
2
3
2
9
，
5
18
故取出的 4 个球均为红球的概率是
(
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
5
1
7 18
5
126
．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个
红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中，1
个是红球，1 个是黑球”为事件 D ．由于事件C D， 互斥，且
(
P C
)
1
4
1
C C C
3
C
C
2
7
2
4
2
9
2
21
，
(
P D
)
C
C
2
4
2
7
1
1
C C
5
2
2
C
5
10
63
．
故取出的 4 个红球中恰有 4 个红球的概率为
(
(
P C D P C
)
)
(
P D
)
2
10
21 63
．
16
63
（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想
象能力、记忆能力和推理论证能力．满分 12 分．
（Ⅰ）解：在四棱锥 P ABCD
又 AB AD
，PA AD A
为 PB 和平面 PAD 所成的角．
从而 APB∠
中，因 PA 底面 ABCD ，AB 平面 ABCD ，故 PA AB
．
，从而 AB 平面 PAD ．故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA ，
在 Rt PAB△
中， AB PA ，故
∠
APB
45
．
所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45 ．
（Ⅱ）证明：在四棱锥 P ABCD
因 PA 底面 ABCD ，CD 平面 ABCD ，故CD PA ．
由条件CD PC
又 AE 面 PAC ， AE CD
， PA AC A
．
， CD 面 PAC ．
中，
P
M
E
A
B
D
C
，
∠
，可得 AC PA ．
PC CD C
ABC
，
60
由 PA AB BC
E 是 PC 的中点， AE PC
（Ⅲ）解：过点 E 作 EM PD
AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ，则 AM PD
因此 AME∠
．综上得 AE 平面 PCD ．
是二面角 A PD C
的平面角．
．
，垂足为 M ，连结 AM ．由（Ⅱ）知， AE 平面 PCD ，
由已知，可得
∠
CAD
30
．设 AC a ，可得
PA a ，
AD
a
，
PD
2 3
3
a
，
AE
2
2
a
．
21
3
在 Rt ADP△
中， AM PD
， AM PD PA AD
，则
a
AM
PA AD
PD
a
2 3
3
21
3
a
2 7
7
a
．
在 Rt AEM△
中，
sin
AME
所以二面角 A PD C
的大小
AE
AM
14
4
．
arcsin
14
4
．
（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式
及前 n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分 12 分．
（Ⅰ）证明：由题设 1
n
a
4
a
n
3
n
1
，得
a
1
n
(
n
1)
4(
a
n
， n *N ．
n
)
又 1 1 1
a ，所以数列
na
n 是首项为1，且公比为 4 的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知
na
n
14n
，于是数列 na 的通项公式为
na
14n
．
n
所以数列 na 的前 n 项和
S
n
1
4
n
3
(
n n
2
1)
．
（Ⅲ）证明：对任意的 n *N ，
S
n
1
4
S
n
1 (
n
n
4
1
3
n
2)
1)(
2
4
n
4
1
3
1)
(
n n
2
2
1 (3
n
2
≤ ．
4)
0
n
所以不等式 1
n
S
≤ ，对任意 n *N 皆成立．
4
S
n
（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式
等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分 14 分．
（Ⅰ）解：当 1a 时，
( )
f x
(
x x
1)
2
( )
f x
3
x
2
4
x
1
， (2)
f
．
5
x
3
2
2
x
，得 (2)
x
f
，且
2
所以，曲线
y
(
x x
5
x
y ．
8 0
2
1)
在点 (2
2)， 处的切线方程是 2
y
5(
x
，整理得
2)
（Ⅱ）解：
( )
f x
(
x x a
)
2
( )
f x
3
x
2
4
ax a
2
(3
x
3
2
2
ax
2
a x
x a x a
．
)(
)
，解得
x 或 x a ．
a
3
f x
令 ( ) 0
由于 0
（1）若 0
a ，以下分两种情况讨论．
a ，当 x 变化时， ( )
f x 的正负如下表：
x
a
∞，
3
f x
( )
a
3
0
a
3
，
a
a
0
(
)
a ， ∞
因此，函数 ( )
f x 在
x 处取得极小值
a
3
af
3
，且
af
3
4
27
3
a
；
函数 ( )
f x 在 x a 处取得极大值 ( )
f a ，且
( ) 0
f a ．
（2）若 0
a ，当 x 变化时， ( )
f x 的正负如下表：
x
∞，
a
f x
( )
a
0
aa
，
3
a
3
0
a
3
， ∞
因此，函数 ( )
f x 在 x a 处取得极小值 ( )
f a ，且
( ) 0
f a ；
函数 ( )
f x 在
x 处取得极大值
a
3
af
3
，且
af
3
4
27
3
a
．
（Ⅲ）证明：由 3
a ，得
k ， 时，
1 0
1
a ，当
3
x
≤ ．
1
k
cos
x
≤ ， 2
k
1
2
cos
由（Ⅱ）知， ( )
f x 在
∞， 上是减函数，要使
1
(
f k
cos )
x
≥
2
(
f k
cos
2
x
)
， x R
只要
k
cos
x
≤
2
k
cos
2
(
x x
R
)
即
2
cos
x
cos
x
≤
2
k
(
k x
R
)
①
设
( )
g x
2
cos
x
cos
x
cos
x
2
1
2
1
4
，则函数 ( )g x 在 R 上的最大值为 2 ．
要使①式恒成立，必须 2
k
k ≥ ，即
2
k ≥ 或
2
k
≤ ．
1
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