2013年江苏高考数学试题及答案.doc-资料库

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2013 年江苏高考数学试题及答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1．函数 y  3 sin( 2 x   ) 4 【答案】π 的最小正周期为．【解析】T＝| 2π ω |＝| 2π 2 |＝π． 2．设 z  2(  i 2) （i 为虚数单位），则复数 z 的模为．【答案】5 【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝＝5． 3．双曲线  1 的两条渐近线的方程为． 2 2  y x 16 9 3 4 x 【答案】 y 【解析】令： 2 x 16 2  y 9  0 ，得 y  9 2 x 16  3 4 x ． 4．集合 }1,0,1{ 共有个子集．【答案】8 【解析】23＝8． 5．右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是．【答案】3 开始 n  1 a ， 2 1 n n Y a a  3 2 a 20 N 输出 n 结束（第 5 题）【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4． 6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲乙 87 89 91 90 90 91 89 88 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 93 92 ．【答案】2 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为： 89  90  x 91 5  88  92  90 ．

方差为： 2 S 89(  )90 2  90(  )90 2  91( 2  88(  )90 2  92(  )90 2  2 ． )90  5 7．现在某类病毒记作 nmYX ，其中正整数 m ， n （ 7m ， 9n ）可以任意选取，则 nm，都取到奇数的概率为．【答案】 20 63 【解析】m取到奇数的有 1，3，5，7 共 4 种情况；n取到奇数的有 1，3，5，7，9 共 5 种情况，则 nm，都取到奇数的概率为  54  97  ABC ． 20 63 FED ，， 8．如图，在三棱柱 CBA 1 1 1 中，分别是 AB ，， AC 1AA 的中点，设三棱锥 F  ADE 的体积为 1V ，三棱柱体积为 2V ，则 1 :VV 2 ．【答案】1：24 CBA 1 1 1 ABC 的 1A F 1C 1B C D E A B 【解析】三棱锥 F  ADE 与三棱锥 A 1 ABC 的相似比为 1：2，故体积之比为 1：8．又因三棱锥 A 1 ABC 与三棱柱 CBA 1 1 1 ABC 的体积之比为 1：3．所以，三棱锥 F  ADE 与三棱柱 CBA 1 1 1 ABC 的体积之比为 1：24． 9．抛物线 y  在 1x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界) ．若 2x 点 ,( yxP ) 是区域 D 内的任意一点，则 x 2 的取值范围是 y ． 1 【答案】[—2， 2 y  在 1x 处的切线易得为 y＝2x—1，令 z＝【解析】抛物线 2x ] x 2 ，y＝— y 1 2 z x＋ 2 ．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点( 1 2 1 ，0)时，zmax＝ 2 ． y O y＝2x—1 x y＝—1 2 x

10．设 ED，分别是 ABC 的边 AB，上的点， BC AD 1 2 AB ， BE 2 3 BC ，若 DE    1 AB  2 AC （ 1 ，为实数），则 2 1   的值为 2 ．【答案】 1 2 【解析】 DE  DB  BE 所以，  1 1 6 ， 2  2 3 BA  AC )  (  AB 2 1 2 3     2 1 AB AC   1 AB 2 1  6  2 1  AB ， 2 BC 3 2  3 1  2 AC ． 11．已知 )(xf 是定义在 R 上的奇函数。当 0x 时， )( xf  x 2  4 x ，则不等式 )( xf x 的解集用区间表示为．【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 【解析】做出 )( xf  x 2  4 x ( 0x )的图像，如下图所示。由于 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出 x＜0 的图像。不等式 )( xf x ，表示函数 y＝ )(xf 的图像在 y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。 y y＝x P(5,5) y＝x2—4 x x Q(﹣5, ﹣5) 12．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的标准方程为 2 2 x a  2 2 y b  (1 a  ,0 b  )0 ，右焦点为 F ，右准线为l ，短轴的一个端点为 B ，设原点到直线 BF 的距离为 1d ，F 到l 的距离为 2d ，若 d  2 6d 1 ，则椭圆C 的离心率为．【答案】 3 3 y l a c F x B b O

【解析】如图，l：x＝ a 2 c ， 2d ＝ a 2 c －c＝ b 2 c ，由等面积得： 1d ＝ bc a 。若 d  2 6d 1 ，则 b 2 c ＝ 6 bc a ，整理得： 2 6 a  ab  2 6 b  0 ，两边同除以： 2a ，得： 6    b a 2      b a    6  0 ，解之得： b ＝ a 6 3 ，所以，离心率为： e  1    b a 2    3 3 ． 13．在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 ),( aaA ， P 是函数 y 1 （ 0x ）图象上一动点， x 若点 AP，之间的最短距离为 22 ，则满足条件的实数 a 的所有值为．【答案】1 或 10 【解析】 14．在正项等比数列 }{ na 中， 5 a 1 2 ， a 6  a 7  3 ，则满足 a 1  a 2    a n  aa 21  a n 的最大正整数 n 的值为．【答案】12 【解析】设正项等比数列 }{ na 首项为 a1，公比为 q，则：     qa  1 4 1( q  qa 51 1 2 )  3 ，得：a1＝ 1 32 ，q ＝2，an＝26－n．记 T n  a 1  a 2    a n  1 n 2  5 2 ，  n aa 1 2  a n  2 ( n n )1  2 ． nT  ，则 n ( n n )1  2  2 1 2  5 n 2 2 ，化简得： n 21  1 2 n 2  11 2 n  5 ，当 n  1 2 n 2  11 2 n  5 时， n 13  121 2  12 ．当 n＝12 时， 12 T 12 ，当 n＝13 时， 13 T 13 ，故 nmax＝12．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）已知 a ＝ (cos )  ， sin, b (cos )  sin, ， 0    ．（1）若 | |  ba 2 ，求证： a  ； b

（2）设 )1,0(c ，若 cba  ，求 , 的值．解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)， |a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以， a  ． b （2） cos   sin  ，①2＋②2 得：cos(α－β)＝－ 1 2 ．所以，α－β＝  2 ＋β， 3 cos �0     sin �1    2 ，α＝  3 2 ＋β)＋sinβ＝ 3  2  3 ＋β＝．带入②得：sin(  所以，所以，α＝，β＝． 5 6  6 3 2 cosβ＋ 1 2 sinβ＝sin(  3 ＋β)＝1，， AS  AB ，过 A 作 G C 16．（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 ABC AF  ，垂足为 F ，点 S  SB 中，平面 SAB 平面 SBC ， BC  SA，的中点．求证： GE，分别是棱 AB  SC （1）平面 EFG 平面 ABC ； // BC  ． SA （2）证：（1）因为 SA＝AB且 AF⊥SB，所以 F为 SB的中点． A 又 E，G分别为 SA，SC的中点，所以，EF∥AB，EG∥AC．又 AB∩AC＝A，AB 面 SBC，AC 面 ABC，所以，平面 EFG 平面 ABC ． // S E F B （2）因为平面 SAB⊥平面 SBC，平面 SAB∩平面 SBC＝BC， AF 平面 ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面 SBC．又 BC 平面 SBC，所以，AF⊥BC．

又 AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面 SAB．又 SA 平面 SAB，所以， BC  ． SA 17．（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 )3,0(A ，直线 : yl 2  x  4 ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． y A l （1）若圆心C 也在直线 y 1 x 上，过点 A 作圆C 的切线， O x 求切线的方程；（2）若圆C 上存在点 M ，使 MA 2 MO ，求圆心C 的横坐标 a 的取值范围．解：（1）联立： 1 y x  2 4 y x      ，得圆心为：C(3，2)．设切线为： y  kx 3 ， 3| k d＝ |23  2 1 k   r 1 ，得： k  0 or k  3 4 ．故所求切线为： y  0 or y  3 4 x  3 ．（2）设点 M(x，y)，由 MA 2 MO ，知： 2 x  ( y  2 )3  2 2 x  2 y ，化简得： 2 x (  y 2  )1  4 ，即：点 M的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D．又因为点 M 在圆C 上，故圆 C圆 D的关系为相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中 CD  2 a  2( a  2 )3 ．解之得：0≤a≤ 12 5 ． 18．（本小题满分 16 分）如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为．在甲出发 min 后，乙从 2 50m / min

A 乘缆车到 B ，在 B 处停留 min 1 后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为 130m / min ，山路 AC 长为 1260 ，经测量， m cos A 12 13 ， cos C 3 5 ．（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ B D C 解：（1）如图作 BD⊥CA于点 D，设 BD＝20k，则 DC＝25k，AD＝48k， AB＝52k，由 AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．（2）设乙出发 x分钟后到达点 M，此时甲到达 N点，如图所示．则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)， A M N 由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，其中 0≤x≤8，当 x＝ 35 37 (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．（3）由（1）知：BC＝500m，甲到 C用时： 1260 50 若甲等乙 3 分钟，则乙到 C用时： 126 5 ＋3＝＝ 126 5 141 5 (min)． (min)，在 BC 上用时：此时乙的速度最小，且为：500÷ m/min．若乙等甲 3 分钟，则乙到 C用时：－3＝ 111 5 (min)，在 BC 上用时：此时乙的速度最大，且为：500÷ m/min． 1250 43 ＝ 86 5 126 ＝ 625 14 5 56 5 625 14 ， ]范围内． 86 5 56 5 (min) ． (min) ．故乙步行的速度应控制在[ 1250 43 19．（本小题满分 16 分）设 }{ na 是首项为 a ，公差为 d 的等差数列 ( d )0 ， nS 是其前 n 项和．记 b n nS  2 n n  c ， *Nn  ，其中 c 为实数．（1）若 0c ，且 b ，， b 1 4 b 2 成等比数列，证明： S nk 2 Sn k （ , Nnk  ）； * （2）若 }{ nb 是等差数列，证明： 0c ．

证：（1）若 0c ，则 an  a (  n )1 d ， S n  [( nn  )1 d 2  ]2 a ， bn  ( n  )1 d 2  2 a ．当 b ，， b 1 4 b 2 成等比数列， 2 b  2 bb 41 ，即：   a   d 2 2      aa   3 d 2    ，得： d 2  2 ad ，又 0d ，故 d 2 ． a 由此： S n 2 an ， S nk  ( nk 2) a  2 2 akn ， 2 Sn k  2 2 akn ．故： S nk 2 Sn k （ , Nnk  ）． * （2） b n  nS n 2 n  c   ( n 2 n  ( n 2 n  )1 d 2 2 c  )1 d  2 n  2 a ， 2 a  ( n   )1 d 2 若 }{ nb 是等差数列，则  2 a  bn  An  型．  2 ( nca    2 a )1 d 2 2 a ． (※) ( nc  )1 ( d nc 2 2 c n  )1 d  2   c 2 n Bn 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，  ( nc n )1 d 2  2  2 a c 故有：故 0c ．  0 ，即  2 a  ( nc )1 d 2  0 ，而  2 a ( n  )1 d 2 ≠0，经检验，当 0c 时 }{ nb 是等差数列． 20．（本小题满分 16 分）设函数 )( xf  ln x  ax ， )( xg e x  ax ，其中 a 为实数．（1）若 )(xf 在 ,1(  上是单调减函数，且 )(xg 在 ) ,1(  上有最小值，求 a 的取值范围； ) （2）若 )(xg 在 ,1(  ) 上是单调增函数，试求 )(xf 的零点个数，并证明你的结论．解：（1） f  )( x  1 x  a ≤0 在 ,1(  上恒成立，则 a ≥ ) 1 ， x x 故： a ≥1．  )( xg  e x  a ，  ， 1(  ) ．若 1≤ a ≤e，则  )( xg  e x  a ≥0 在 ,1(  上恒成立， )

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