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最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x = (0) 1 ， x = (1) J = 2 ∫ ft t 0 + x 2( 1) dt ，使下列性能指标为极值的曲线：解：由已知条件知： 0 ， ft = 1 = x 0 由欧拉方程得： (2 ) t = 0 d dt x C= 1 = + x C t C 2 1 将 x (0) x= ， = (1) 1 2 代入，有： C 2 C= 1 =， 1 1 x t 得极值轨线： *( ) t= + 1 习题 2 求性能指标： J = ∫ 1 0 ( + t x d 2 1) 在边界条件 x = (0) 0 ， (1)x 是自由情况下的极值曲线。 x t *( ) 0x 0 t 1 解：由上题得： * x t ( ) = + 2 C t C 1 由 x = (0) 0 得：C 0= 2 由 ∂ L ∂ x t = t f = x t 2 ( ) = C 2 1 f = 0 t = t f 于是： x t = *( ) 0 【分析讨论】对于任意的 (0)x x= 0 (1)x，自由。 62

有： C 2 x= 0 ， C = 1 0 ，即： x t ( ) * x= 0 其几何意义： (1)x 自由意味着终点在虚线上任意点。习题 3 已知系统的状态方程为： x t= x t ( ) ( ) 1 2 x t ， 2( ) = u t ( ) 边界条件为： x 1 (0) x= 2 (0) = 1 ， x 1 (3) x= 2 (3) = 0 ，试求使性能指标 J = 取极小值的最优控制 0 3 1 ∫ 2 u t *( ) u t dt 2 ( ) 以及最优轨线 x t 。 *( ) 解：由已知条件知： f ⎡ ⎤ 2x ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ u ⎣ ⎦ Hamiton 函数： H L fλ= + T H = 1 2 2 u + x u λ λ 1 2 2 + 0λ ⎧ = 由协态方程： 1 ⎨ λ λ = − ⎩ 2 1 得：由控制方程： + C λ =⎧ 1 1 ⎨ C t C = − λ ⎩ 2 2 1 H u ∂ = + u ∂ 得：u λ= − 2 λ 2 = = 0 ……① ……② C t C 1 − ……③ 2 x 由状态方程： 2 = = u C t C − 1 2 得： x t ( ) 2 = x= x 由状态方程： 1 2 得： x t ( ) 1 = 1 2 1 6 2 C t 1 − C t 2 + C ……④ 3 3 C t 1 − 1 2 2 C t 2 + C t C 3 + 4 ……⑤ 63

将 x (0) 1 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦ ， x (3) 代入④，⑤, 0 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦ 10 9 联立解得： 1 C = ， C = 2 2 ， C 3 C= = 4 1 由③、④、⑤式得： u t ( ) * x t ( ) * 1 x t ( ) * 2 = 10 t= 9 5 27 5 t 9 = 2 t − 2 3 2 − + + 1 t t − + 1 t 2 习题 4 已知系统状态方程及初始条件为 x = u ， x = (0) 1 试确定最优控制使下列性能指标取极小值。 J = ∫ 1 0 2 ( x + 解： H x e 2 2 = t + u e 2 2 t + uλ u e d t 2 ) 2 t 列方程：由③得， t 2 x u =⎧ ⎪ = − xe 2 λ ⎨ ⎪ e u 2 t 2 + = λ ⎩ 1 2 = − u t 2 e λ− ……① ……② ……③ 0 ……④ 代入①得， x = − x = − 1 2 1 2 2 − t e λ λ λ + e − 2 t 2 − t e 将②，③代入，并考虑到 1 2 − = x x 整理可得： 2 = − x e 0 x + u 2 − x= xe ( 2 t − 2 t ) + e − 2 t ( 2 − e 2 t x ) 64

s 特征方程： 2 s+ 2 1 0 − = s 1 1 = − + s 2 ， 2 1 = − − 2 于是得： x t ( ) * = s t 1 C e 1 + C e 2 s t 2 * λ ③ t ( ) = − 2 = −① e u t 2 2 e 2 x t * λ = − t ( ) 2 t e C s e 2 1 1 ( s t 1 + C s e 2 2 s 2 t ) 由 (0) 1 = ，得：C C1 + x = ……⑤ 1 2 ftλ 由 ( ) λ= (1) = 得： 0 C s e 1 1 s 1 + C s e 2 2 s 2 = ……⑥ 0 ⑤、⑥联立，可得 C C、 1 2 x 代回原方程可得 * 求导 u→ * （略）， 2x u= x= x 习题 5 求使系统： 1 2 由初始状态 x 1 (0) x= 2 (0) = 0 出发，在 ft = 1 时转移到目标集 x 1 (1) x+ 2 (1) = 1 ，并使性能指标 J = 1 2 ∫ 1 0 u t dt 2 ( ) 为最小值的最优控制 u t *( ) 及相应的最优轨线 x t 。 *( ) 解：本题 f i ， i ( ) ( ) L 与习题 3 同，故 ( )H i 相同→方程同→通解同有： 2 C t C 3 + 4 − 2 + C t C 1 C t 2 = − 1 2 C t C 3 + + 2 − 3 λ= 2 C ， 1 1 C t 1 6 1 2 λ ⎧ 1 ⎪ ⎪ = x 1 ⎪ ⎨ ⎪ x = 2 ⎪ ⎪ = u C t C ⎩ C t 1 − 2 1 2 65

x (0) 0 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦ 由，有： 3 C C= = ……① 0 4 x 由 1 (1) x+ 2 (1) 1 = ，有： 1 6 2 3 1 2 3 2 1 2 1 C 1 − C 2 + C C 1 − 2 1 = C 1 C− 2 = ……② 由 (1) λ = T ∂ ϕ ψ ∂ x x ∂ ∂ + ⋅ = γ 0 ， ψ= x 1 + x 2 1 − 有： λ (1) ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ 1 ⎦ ⎣ γ = ⇒ 0 λ 1 (1) = λ 2 (1) 于是：C 1 C = − 1 + 2C 2C C 1 = 2 … …③ ②、③联立，得： u 于是： * = − t =- 、 C = 2 - 3 7 6 7 C 1 6 + 7 3 t + 2 t + 3 7 6 7 2 t t 3 7 1 14 3 14 x * 1 = − * x 2 = − x t 习题 6 已知一阶系统： ( ) = − x t ( ) + u t ( ) ， x = (0) 3 （１）试确定最优控制u ，使系统在 t *( ) ft = 2 时转移到 x = (2) 0 ，并使性能泛函 J = 2 ∫ 0 (1 + u dt 2 ) = min 66

（２）如果使系统转移到 fx t = ( ) 0 的终端时间 ft 自由，问 u t *( ) 应如何确定？解： 1H = + u 2 + u xλ λ − 列方程： x u = − + x ⎧ ⎪ =⎨ λ λ ⎪ u 2 λ + = ⎩ 0 由协态方程得： tC eλ= 1 ……① 由控制方程： u = − C e ……② t 1 1 2 = − − x 1 2 t C e 1 ⇒ x t ( ) = − t C e 2 − 1 4 t C e 1 代入状态方程： x ① ft = 2 =， (2) x 0 − 1 4 2 − 2 ⎧ C ⎪⎪ ⎨ ⎪ C e 2 ⎪⎩ C 1 1 4 − = 3 2 C e 1 = 0 C 解得： 1 = 12 − ， 1 4 e C 2 = e 3 4 − e 4 1 代入②得： * u t ( ) = − t 6 e − 1 4 e ② x t ( f ) = 2 自由， t f = 3 t f C e 1 = 0 1 4 C 1 1 4 ) 0 = − f − 2 ⎧ C ⎪ ⎪ ⎪ C e ⎨ 2 ⎪ H t ( ⎪ ⎪⎩ − t f C 解得： 1 = 40 − = 6 0.325 67

u t *( ) = − e 0.162 t 习题 7 设系统状态方程及初始条件为 u t= x t ( ) ( ) ， x = (0) 1 试确定最优控制 u t *( ) ，使性能指标 J = t f 1 + ∫ 2 fx t = ( 0 ) 0 ft u dt 2 。为极小，其中终端时间 ft 未定，解： H = 21 u 2 + uλ 由协态方程得： λ λ = → = 0 C 1 ……① 由控制方程： u 由状态方程： λ+ = → = − ……② 0 u C 1 x u = = − ⇒ = − x t ( ) C 1 C t C 1 + ……③ 2 由始端： x (0) 1 = → = C 1 2 由末端： x t ( f ) = → − 0 C t 1 f 1 0 + = ……④ H t 考虑到： ( ) = − f ϕ ψ ∂ t ∂ ∂ t ∂ − f f 1 γ ⋅ = − 有： 21 u uλ+ 1 = − − C 2 1 2 1 2 C = ± ……⑤ 1 2 = − ⇒ = C 2 1 C 2 1 2 1 C = 时，代入④ 2 当 1 有： ft = = 1 C 1 1 2 68

C =− 时，代入④ 2 当 1 有： ft = = − ，不合题意，故有 1 C = 2 1 C 1 1 2 最优控制 u =− 2 * 习题 8 设系统状态方程及初始条件为 = x t ( ) 1 x t ( ) 2 ， x 1(0) = 2 x t 2( ) = u t ( ) ， x 2(0) = 1 性能指标为 J = ft ∫ u dt 2 1 2 ，试求：（1） 0 要求达到 fx t = ( ) 0 ft = 5 时的最优控制 u t *( ) ；解：本题 f i ( ) i，， i ( ) ( ) H L （2） ft 自由时的最优控制 u t *( ) ；与前同，故有 2 C t 2 + C t C 3 + 4 + ⎧ C ⎪ = λ 1 1 ⎪ C t C = − λ ⎪ 2 1 2 ⎪⎪ = 1 1 x C t ⎨ 1 1 2 6 ⎪ 1 ⎪ x ⎪ 2 2 ⎪ u C t C ⎪⎩ − = = − 3 1 2 2 C t C t C 1 3 − + 2 ① 由 x (0) 2 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦ x (5) 0 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦ ，得： 2 1 4 C = ⎧ ⎪ C = ⎪ 3 ⎪ 125 ⎨ 6 ⎪ ⎪ 25 ⎪ 2 ⎩ 2 + C 25 2 C C 5 3 + 2 C 1 − C 1 − C C 5 3 + 4 = 0 = 0 69

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