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326线性系统理论参考答案.doc
电子科技大学
2006年（春）攻读博士学位研究生入学试题
考试科目： 326 线性系统理论参考答案
1、（3 分）一个系统可以用下列输入－输出矩阵方程来描述
( )
y t
1
( )
y t
2
3
1
4 2
0
t
f
1
f
f
2
3
( )
t
( )
t
( )
t
（1）该系统是线性的吗？为什么？
（2）该系统是时不变的吗？为什么？
（3）该系统是因果的吗？为什么？
解：
（1）
3
a
2
a
2
4
a
2
a t
2
a f
1 31
ta f
1 21
( ) 3
t
( )
t
a f
2 21
a f
2 21
2
a
0
2
22
( )
f
t
12
( )
f
t
( )
f
t
32
( ) 4
a f
t
2 22
( )
t
ta f
2 22
( ) 2
t
( )
t
a f
2 32
( )
t
21
( )
f
t
11
( )
f
t
( )
f
t
31
( ) 2
t
( )
t
( )
t
( )
t
21
( ) 4
t
3
a f
1 11
2
a
1
0
4
a
1
a t
1
3
a
1
a
1
a f
1 21
a f
1 11
y
11
y
所以系统是线性的
（2）
( )
y t
1
1
( )
y t
1
2
( )
t
( )
t
y
11
y
a
1
a
21
2
(
y t
1
2
(
y t
2
2
)
)
f
1
f
f
2
3
( )
t
1
( )
t
1
( )
t
1
f
1
f
f
2
3
3
1
4 2
0
t
1
3
1
4
t
2
t
1
2
0
(
t
1
(
t
1
(
t
1
(
t
2
(
t
(
t
2
2
)
)
)
3
1
4
t
2
2
0
f
1
f
f
2
3
t
2
t
t
2
2
)
)
)
所以系统是时变的
（3）根据因果 的定义可知，系统是因果的
2. （6 分）已知
)(
tA
a
11
a
21
)(
t
)(
t
a
12
a
22
)(
t
)(
t
，
,(
0tt
)
为其状态转移矩阵，试证明下列等式成立：
《线性系统理论》试题参考答案 共 7页 第 1页
det
,(
tt
0
)
exp
证明：
t
,(
tt
)
0
t
det
,(
tt
0 )
作简单的替换后可得
因此可证：
det
,(
tt
0
0
t
t
t
)(
12
22
0
0
)
)
22
a
)(
,(
tt
,(
tt
11
21
d
t
t
a
11
t
t
21
t
)
,(
tt
t
a
11
exp
det
12
22
)
11
0
)(
t
0
a
11
,(
tt
0
)
,(
tt
0
)
a
11
a
21
)(
t
)(
t
a
12
a
22
)(
t
)(
t
11
21
,(
tt
,(
tt
0
0
)
)
12
22
,(
tt
,(
tt
0
0
)
)
t
12
21
t
21
12
t
)(
t
22
11
11
22
)(
t
det
t
,(
tt
)
0
a
22
a
22
d
)(
3. （16 分）如图所示的双水槽控制系统，图中 u1，u2 分别是水槽 I 和水槽 II 的单位时间输
入流量，R1，R2 分别是水槽 I 和水槽 II 的流阻（即，单位时间流出的流量 Q=h/R，其中 h 为
液面高度 ），h1 和 h2 分别是水槽 I 和水槽 II 的液面高度，C1，C2 是两个水槽的截面积。请
研究该系统的平衡点动态特性：
（1）如果只有一个调节阀，我们能不能实现对整个系统的流量控制，如果不能，请说明理由，
如果能，请给出方案。
（2）如果只有一个流量计，我们能不能实现对整个系统的流量测量，如果不能，请说明理由，
如果能，请给出方案。
解：对于题中系统首先建立其数学模型：
对于容器 I 有：
对于容器 II 有：
设状态变量
1
2
QQu
1
1
dhC
1
dt
dhC
2
2
dt
x ，
h
x 并代入其它参数上面的方程可化为：
2
1
1
Qu
2
2
h
2
(利用单位时间容器内液体体积关系建立方程)
《线性系统理论》试题参考答案 共 7页 第 2页
1
dxC
1
dt
dxC
2
dt
2
x
1
x
2
1
R
1
1
R
2
1
CR
11
0
x
2
u
1
x
1
1
R
2
x
2
u
2
写 成 矩 阵 形 式 即 得 状 态 方 程 ：
1
CR
1
2
1
CR
2
2
x
1
x
2
1
C
1
0
0
1
C
2
u
1
u
2
（1） ①若只有一个调节阀，如果放在 u1 则 u2=0，上面状态方程对应的能控性矩
阵为：
1
C
1
0
1
CR
11
0
2
显然其秩为 1，系统不可控，不满足要求。
如果放在 u2 则 u1=0，上面状态方程对应的能控性矩阵为：
为 2，系统可控，即可以用一个调节阀放在 u2 实现对两容器液位调节。
②若只有一个测量元件，如果放在容器 I 中，则有
CCR
11
1
CR
1
0
1
C
01
y
2
2
2
2
1
显然其秩
x
1
x
2
。对应系统的能
观测性判别阵为：
1
1
C
11
R
0
1
C
1
2
R
，显然其秩为 2，系统可观测，可以用一个测量
元件放在容器 I 中实现对两容器液位的观测。
如果放在容器 II 中，则有
10
y
x
1
x
2
。对应的能观测判别阵为：
0
0
1
1
2R
C
4. （8 分）试讨论如下系统的稳定性（BIBO 稳定和渐进稳定讨论）
显然其秩为 1，系统不能观测，故不满足要求。
2
s
s
1
2
1
2 s
1
由图可得：
传递函数为：
1
G(s)=
(s+2)(s+1)
由于极点都是负的，所以系统 BIBO 稳定
《线性系统理论》试题参考答案 共 7页 第 3页
1
状态方程为：
x '=-2x +3u
1
x '=-x +x +u
2
2
x '=x -x
3
建立状态空间方程：
1
2
3
-2 0
x'= -1 1
0
0
1 -1
0
x
，容易计算特征值：-1，1，-2
显然系统不是渐进稳定的。
5. （14 分）一个开环三阶系统由下式描述：
x
'
1
0
1
0
2
2 1
0
3
x
2
0
1
u
求出一个合适的增益向量，使闭环系统的阻尼比为 0.707，有间常数为 0.5rad/s 的一对主导极
点，并且另外一极点配置在-5。
解：
能控性矩阵：
TC
2 0 10
0 1
3
1 5 15
，其秩为 3，系统能控
系统的特征多项式：
sI A s
而：
3 9
s
10 0
W
1
0
0
构造：
a
1
1
0
a
2
a
1
1
1 0
0 1
0 0
9
0
1
TC W
2 0
0 1
1 5
T
其逆矩阵：
期望特征多项式：
s
s
从而：增益向量
29
s
28
3
8
3
6
0.9
0.3
0.1
40 0
4.0
2.0
1.0
0.8
0.6
0.2
《线性系统理论》试题参考答案 共 7页 第 4页
a
1
g T a
2
a
3
'
a
1
a
a
3
2
'
'
'
2
12
5
6. （6 分）已知线性系统的若当规范形为：
2
1
2
x
'
2
2
3 1
3
3
x
0 0 0
1 0 0
0 4 0
0 0 7
0 0 0
1 1 0
0 4 1
u
12
21
11
b
r
b
r
1 1 0
0 4 1
1 0 0
0 4 0 ,
0 0 7
容易定出：
b
r
b
r
b
13
r
控。
7. （15 分）设系统 '
0
x
为一致有界，正定的矩阵，则积分 ( )
P t
( ) ,
A t x t
'( )
P t
22
t
0
T
A t
( ) ( )
( )
( )
j t A t
,
( )
t
t
0
( , )
t d
k e
1
( , )
t Q
)
( ,
t t
( )
P t
下面是验证矩阵微分方程解的唯一性：
设 ( )
j t 为方程的任意一个解，则有
( ),
( )'
j t Q t
j t
从而
( )
P t
d
[
d
t
( )
j t
t
( , )[ ( )
t
( , ) ( )
( , )
t Q
( )
A
从而证明了解的唯一性。
( ) ( )
( , )]
t d
( , )
t d
( )
t j
T
A
[
j
j
T
T
T
t
对于任何 t>0 收敛。
t
t
0
j
'( )]
( , )
t d
( , ) ( )
( , )]
t
j
t
t
，显然它们是行线性无关的，所以可知系统完全能
是一致渐进稳定的，
为它的状态转移矩阵， ( )Q t
( ,
)
t t
0
( , )
( , )
( )
t Q
t d
T
( )
( ),
( )
A t P t Q t
( )
( )
P t A t
t
对于任何 t>0 收敛，且为下
t
t
述矩阵微分方程的唯一解：
证明：由于系统是一致渐进稳定的，因而可以知道存在与 0t 无关的正常数 1
,k k ，使得
， 再 注 意 到 ( )Q t 为 为 一 致 有 界 ， 正 定 ， 因 而 积 分
0
2
k
(
)
t
t
2
0
8 、（8 分）求下面1 2 传递矩阵 ( )G s 的能观型实现
《线性系统理论》试题参考答案 共 7页 第 5页
( )
G s
解：
(
( )
G s
3
s
1)(
s
s
3
s
4
s
2)
1
2
能观 I 型实现
( )
x t
( )
y t
能观 II 型实现
( )
x t
( )
y t
s
s
4
1)
(
2
2
s
4
s
( )
x t
5
2
s
2
0 0
5
1 0
4
0 1
0 0 1 ( )
x t
0
0
1
0
2
4
1 0 0 ( )
x t
1
0
5
3
2
s
6
s
8
3 8
4 6
1 1
( )
u t
( )
x t
1
0
2
1
2
5
( )
u t
9、（8 分）确定下面有理矩阵的特征多项式和极点
( )
G s
1
s
s
1
1
1
1
( )
G s
4
s
1
s
1
1
s
1
1
1
1
s
s
，
1
1)(
s
1
1)(
s
(
s
(
s
1
1
s
3
2)
s
2)
(
s
，极点： 1
1)
解： 1( )G s 的二阶子式为零，由一阶子式判定
1( )
G s
4( )G s 的一阶子式最小公分母为 (
s s
(
s
s
s
1
s
2)
(
s
1
1)(
(
s
s
3)
s
(
2)
4
s
1)(
s
3)
1)(
s
1
1)(
s
2)
1
2
1) (
s
s
2
1) (
1
s
1
1)(
(
s s
所以
4( )
G s
2)(
s
，它的二阶子式有三个，分别为
3)
s
2)
(
s
1)(
s
2)(
s
3)
(
s s
1)(
s
3
2)(
s
3)
(
s
1
(
s s
1)(
s
2)(
s
，极点： 0, 1, 2, 3
3)
10、（8 分）判定下面多项式矩阵 ( )D s 和 ( )N s 是否右互质
《线性系统理论》试题参考答案 共 7页 第 6页
( )
D s
1
s
2)
1)(
(
s
s
(
1)(
解： det
( )
s
D s
1
s ，
对于 0
s
，
( )
N s
0
1
s
1)
， ( )D s 非奇异。由 det
s
1
0
D s 解出 0{ } { 1,1}
s
( ) 0
(
D s
0
(
N s
0
)
)
对于 0
s
1
(
D s
0
(
N s
0
)
)
0
2
1
0
2
1
2
m
2 0
0 0
1 1
2
m
结论： ( )D s 和 ( )N s 右互质。
11. （8 分）给定一单输入单输出系统
'x
y
Ax bu
cx d
，
A R
n n
,
b R
n
1
,
c R
1
n
,
d R
1 1
。
证明：该系统的传递函数为：
(
sIc
1
)
bA
d
det
sI
c
det(
sI
bA
d
)
A
。
答案：利用公式：
det
P
11
P
21
P
12
P
22
det
sI
c
det(
sI
bA
d
)
A
det(
sI
det
)
A
det(
d
sI
det
P
11
det(
P
22
PP
11
21
1
P
12
)
。
1
)
bA
(
sIc
)
A
(
sIc
1
)
bA
d
《线性系统理论》试题参考答案 共 7页 第 7页
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