2014年上海高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2014 年上海高考理科数学真题及答案一、填空题（共 14 题，满分 56 分） 1．（4 分）（2014•上海）函数 y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 _________ ． 2．（4 分）（2014•上海）若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则（z+ ）• = _________ ． 3．（4 分）（2014•上海）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _________ ． 4．（4 分）（2014•上海）设 f（x）= ，若 f（2）=4，则 a 的取值范围为 _________ ． 5．（4 分）（2014•上海）若实数 x，y 满足 xy=1，则 x2+2y2 的最小值为 _________ ． 6．（4 分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 _________ （结果用反三角函数值表示）． 7．（4 分）（2014•上海）已知曲线 C 的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则 C 与极轴的交点到极点的距离是 _________ ． 8．（4 分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为 q，若 a1= （a3+a4+…an），则 q= _________ ． 9．（4 分）（2014•上海）若 f（x）= ﹣ ，则满足 f（x）＜0 的 x 的取值范围是 _________ ． 10．（4 分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 _________ （结果用最简分数表示）． 11．（4 分）（2014•上海）已知互异的复数 a，b 满足 ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则 a+b= _________ ． 12．（4 分）（2014•上海）设常数 a 使方程 sinx+ x1，x2，x3，则 x1+x2+x3= _________ ． cosx=a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解

. 13．（4 分）（2014•上海）某游戏的得分为 1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若 E（ξ）=4.2，则小白得 5 分的概率至少为 _________ ． 14．（4 分）（2014•上海）已知曲线 C：x=﹣ ，直线 l：x=6，若对于点 A（m，0），存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得 + = ，则 m 的取值范围为 _________ ．二、选择题（共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否则一律得零分 15．（5 分）（2014•上海）设 a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2 且 b＞2”的（） A．充分非必要条件 C．充要条件 B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 16．（5 分）（2014•上海）如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则 • （i=1，2，…，8）的不同值的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（5 分）（2014•上海）已知 P1（a1，b1）与 P2（a2，b2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组的解的情况是（） A．无论 k，P1，P2 如何，总是无解 C．存在 k，P1，P2，使之恰有两解 B．无论 k，P1，P2 如何，总有唯一解 D．存在 k，P1，P2，使之有无穷多解 18．（5 分）（2014•上海）设 f（x）= ，若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（） A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2] 三、解答题（共 5 题，满分 72 分） 19．（12 分）（2014•上海）底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3，如图，求△P1P2P3 的各边长及此三棱锥的体积 V． ;.

. 20．（14 分）（2014•上海）设常数 a≥0，函数 f（x）= ．（1）若 a=4，求函数 y=f（x）的反函数 y=f﹣1（x）；（2）根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f（x）的奇偶性，并说明理由． 21．（14 分）（2014•上海）如图，某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D 为顶端，AC 长 35 米，CB 长 80 米，设点 A、B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为α和β．（1）设计中 CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问 CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求 CD 的长（结果精确到 0.01 米）． 22．（16 分）（2014•上海）在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 l：ax+by+c=0 和点 P1（x1， y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点 P1，P2 被直线 l 分隔，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1、P2 被直线 l 分隔，则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线．（1）求证：点 A（1，2），B（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0 分隔；（2）若直线 y=kx 是曲线 x2﹣4y2=1 的分隔线，求实数 k 的取值范围；（3）动点 M 到点 Q（0，2）的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为曲线 E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 E 的分隔线． 23．（16 分）（2014•上海）已知数列{an}满足 an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．（1）若 a2=2，a3=x，a4=9，求 x 的取值范围；（2）设{an}是公比为 q 的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若 Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求 q 的取值范围．（3）若 a1，a2，…ak 成等差数列，且 a1+a2+…ak=1000，求正整数 k 的最大值，以及 k 取最大值时相应数列 a1，a2，…ak 的公差． ;.

. 2014 年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共 14 题，满分 56 分） 1．（4 分）（2014•上海）函数 y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．解答：解：y=1﹣2cos2（2x） =﹣[2cos2（2x）﹣1] =﹣cos4x， ∴函数的最小正周期为 T= = 故答案为：点评：本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题． 2．（4 分）（2014•上海）若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则（z+ ）• = 6 ．考点：复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．解答：解：复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则（z+ ）• = =（1+2i）（1﹣2i）+1 =1﹣4i2+1 =2+4 =6．故答案为：6 点评：本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查． 3．（4 分）（2014•上海）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 x=﹣2 ．考点：椭圆的简单性质．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． ;.

. 分析：由题设中的条件 y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出 p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆 + =1，故它的右焦点坐标是（2，0），又 y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，故 p=4， ∴抛物线的准线方程为 x=﹣2．故答案为：x=﹣2 点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题． 4．（4 分）（2014•上海）设 f（x）= ，若 f（2）=4，则 a 的取值范围为（﹣∞，2] ．考点：分段函数的应用；真题集萃．菁优网版权所有专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：可对 a 进行讨论，当 a＞2 时，当 a=2 时，当 a＜2 时，将 a 代入相对应的函数解析式，从而求出 a 的范围．解答：解：当 a＞2 时，f（2）=2≠4，不合题意；当 a=2 时，f（2）=22=4，符合题意；当 a＜2 时，f（2）=22=4，符合题意； ∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题． 5．（4 分）（2014•上海）若实数 x，y 满足 xy=1，则 x2+2y2 的最小值为 2 ．考点：基本不等式．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得 y= ，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y= ∴x2+2y2=x2+ ≥2 =2 ， ;.

. 当且仅当 x2= ，即 x=± 时取等号，故答案为：2 点评：本题考查基本不等式，属基础题． 6．（4 分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 arccos （结果用反三角函数值表示）．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ， ∵圆锥的侧面积是底面积的 3 倍， ∴ = =3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则 cosθ= = ， ∴θ=arccos ，故答案为：arccos 点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，是解答的关键． 7．（4 分）（2014•上海）已知曲线 C 的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则 C 与极轴的交点到极点的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：由题意，θ=0，可得 C 与极轴的交点到极点的距离．解答：解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1， ;.

. ∴C 与极轴的交点到极点的距离是ρ= ．故答案为：．点评：正确理解 C 与极轴的交点到极点的距离是解题的关键． 8．（4 分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为 q，若 a1= （a3+a4+…an），则 q= ．考点：极限及其运算．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出 a1= ，由此能求出 q 的值．解答：解：∵无穷等比数列{an}的公比为 q， a1= （a3+a4+…an） = = （ ﹣a1﹣a1q）， ∴q2+q﹣1=0，解得 q= 或 q= （舍）．故答案为：．点评：本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用． 9．（4 分）（2014•上海）若 f（x）= ﹣ ，则满足 f（x）＜0 的 x 的取值范围是（0， 1）．考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可．解答：解：f（x）= ﹣ ，若满足 f（x）＜0，即＜， ;.

. ∴ ， ∵y= 是增函数， ∴ 的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力． 10．（4 分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：要求在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率，须先求在 10 天中随机选择 3 天的情况，再求选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况，即可得到答案．解答：解：在未来的连续 10 天中随机选择 3 天共有种情况，其中选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况有 8 种， ∴选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是，故答案为：．点评：本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题． 11．（4 分）（2014•上海）已知互异的复数 a，b 满足 ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则 a+b= ﹣1 ．考点：集合的相等．菁优网版权所有专题：集合．分析：根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．解答：解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则 ①或 ②，由①得， ∵ab≠0，∴a≠0 且 b≠0，即 a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若 b=a2，a=b2，则两式相减得 a2﹣b2=b﹣a， ∵互异的复数 a，b， ∴b﹣a≠0，即 a+b=﹣1， ;.

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