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数值分析第五版课后答案.doc
第一章 绪论
1．设 0
解：近似值 *x 的相对误差为
x , x 的相对误差为，求 ln x 的误差。
*
x
*
x
*
e
而 ln x 的误差为
e
*
e
*
x
x
ln * ln
ln *
x
*
e
r
x
x
=
1
*
x
进而有 (ln *)x
2．设 x 的相对误差为 2%，求 nx 的相对误差。
解：设 ( )
f x
n
x ，则函数的条件数为
C
|
p
'( )
xf x
( )
f x
|
又
'( )
f x
1
n
nx
,
|
C
p
n
1
x nx
n
|
n
又
r
(( *) )
x n C
r
( *)
x
p
且 ( *)
re x 为 2
(( *) ) 0.02
r x
n
n
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
7 1.0.
出它们是几位有效数字： *
x
1
*
x
5
1.1021
56.430
0.031
385.6
*
x
4
*
x
2
*
x
3
,
,
,
,
解： *
x
1
1.1021
是五位有效数字；
*
x
2
0.031
是二位有效数字；
*
x
3
385.6
是四位有效数字；
*
x
4
56.430
是五位有效数字；
*
x 是二位有效数字。
5
7 1.0.
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)
*
x
1
*
x
2
*
x
4
,(2)
* * *
x x x ,(3)
1 2 3
*
/x
2
*
x .
4
其中 *
x x x x 均为第 3 题所给的数。
1
*
3
*
2
*
4
,
,
,
解：
*
)
x
4
)
(
*
x
4
)
1
2
3
10
3
10
*
x
1
)
* *
x x
1 3
(
*
x
2
)
10
1
0.031 385.6
1
2
4
10
1.1021 385.6
1
2
3
10
(
*
x
1
)
(
*
x
2
)
(
*
x
3
)
(
*
x
4
)
(
*
x
5
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
10
3
10
1
10
3
10
1
10
*
x
2
1
2
4
10
*
x
2
(
*
(1) (
x
1
*
)
(
x
1
1
2
1.05 10
* * *
(2) (
)
x x x
1 2 3
* *
*
(
)
x x
x
1 2
3
3
1.1021 0.031
0.215
(3) (
*
x
2
*
*
)
/
x
x
2
4
*
*
)
(
x
x
4
4
2*
x
4
1
2
* *
(
x x
2 3
1
2
(
*
x
2
)
0.031
3
10
56.430
56.430 56.430
3
10
1
2
5
10
5 计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少？
解：球体体积为
4
3
则何种函数的条件数为
V
R
3
C
p
'
R V
V
r
( *)
V
C
p
2
3
4
R
3
R
R
4
3
( *) 3 ( *)
R
r
r
R
又
r V
( *) 1
故度量半径 R 时允许的相对误差限为
1 0.33
6．设 0
Y ，按递推公式
28
Y
n
Y
1
n
（n=1,2,…）
1
3
783
( *)
r R
1
100
计算到 100Y 。若取 783
27.982
（5 位有效数字），试问计算 100Y 将有多大误差？
解：
Y
n
Y
100
Y
99
1
100
783
783
Y
1
n
1
100
Y
99
Y
98
Y
98
Y
97
1
100
1
100
783
783
……
Y
Y
1
0
1
100
783
依次代入后，有 100
Y
Y
0
100
1
100
783
Y
即 100
Y
0
783
，
若取 783
27.982
,
*
(
Y
100
)
(
Y
0
)
100Y 的误差限为
Y
100
27.982
Y
0
1
2
3
10
(27.982)
1 10
2
x
。
3
7．求方程 2 56
x
1 0
的两个根，使它至少具有 4 位有效数字（ 783
27.982
）。
解： 2 56
x
x
1 0
，
故方程的根应为 1,2
x
28
783
故 1
x
28
783
28 27.982 55.982
1x 具有 5 位有效数字
x
2
28
783
1
28
783
1
28 27.982
1
55.982
0.017863
2x 具有 5 位有效数字
8．当 N 充分大时，怎样求
N
1
N
1
x
2
1
dx
？
解
设
N
N
1
2
1
1
x
arctan(
dx
arctan(
N
1) arctan
N
N
1),
arctan
N
。
则 tan
N
1,tan
N
.
2
N
1
dx
1
1
x
N
))
arctan(tan(
tan
tan
tan
1 tan
1
N
N
1 (
1)
N
N
1
N
arctan
arctan
arctan
N
1
2
9．正方形的边长大约为了 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 2
1cm ？
解：正方形的面积函数为
( )A x
2
x
( *)
A
2 * ( *)
A
x
.
当 * 100
x 时，若 ( *) 1
,
A
则
( *)
x
1
2
2
10
故测量中边长误差限不超过 0.005cm 时，才能使其面积误差不超过 2
1cm
10．设
S
1
2
2
gt
，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有 0.1 秒的误差，证明当 t 增加时 S 的
绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：
S
1
2
( *)
S
gt
2
,
t
0
2
gt
( *)
t
当 *t 增加时， *S 的绝对误差增加
r
2
( *)
S
( *)
S
*
S
( *)
gt
t
1 (
* 2
)
g t
2
( *)
t
2
*
t
当 *t 增加时， ( *)t 保持不变，则 *S 的相对误差减少。
11．序列 ny 满足递推关系
y
n
10
y
1
n
1
(n=1,2,…),
y
若 0
2 1.41
（三位有效数字），计算到 10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
解： 0
y
2 1.41
( *)
y
0
又
y
n
1
2
10
y
1
n
2
10
1
y
1
10
y
0
1
( *) 10 ( *)
y
1
y
0
y
又 2
110
y
1
( *) 10 ( *)
y
y
1
2
( *) 10 ( *)
y
......
2
y
2
0
0
10
*) 10
( *)
y
1
2
8
10
2
(
y
10
10
10
1 10
2
计算到 10y 时误差为
8
1 10
，这个计算过程不稳定。
2
( 2 1)
6
12．计算
f
，取 2 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
1
( 2 1)
6
,
(3 2 2)
3
,
1
(3 2 2)
3
， 99 70 2
。
解：设
y
(
x
6
1)
，
若
x ， * 1.4
x ，则 *
x
2
1 10
2
1
。
若通过
1
( 2 1)
6
计算 y 值，则
*
y
1
7
1)
*
(
x
*
x
6
1)
*
y
x
(
*
7
y
*
*
x
*
x
若通过
(3 2 2)
3
计算 y 值，则
*
y
* 2
(3 2 )
x
*
x
*
x
6
3 2
*
y
*
y
*
x
*
x
若通过
1
(3 2 2)
3
计算 y 值，则
*
y
*
x
1
x
* 4
(3 2 )
1
* 7
(3 2 )
x
x
y
*
*
y
*
x
*
通过
1
(3 2 2)
3
计算后得到的结果最好。
13．
( )
f x
ln(
x
2
x
,求 (30)
1)
f
的值。若开平方用 6 位函数表，问求对数时误差有多
大？若改用另一等价公式。
ln(
x
2
x
1)
ln(
x
2
x
1)
计算，求对数时误差有多大？
解
( )
f x
ln(
x
2
x
1)
,
f
(30)
ln(30
899)
设
u
899,
y
f
(30)
则 *u
1
2
4
u
*
故
1
*
u
*
u
u
*
*
y
0.0167
3
若改用等价公式
ln(
x
2
x
1)
ln(
x
2
x
1)
则 (30)
f
ln(30
899)
此时，
*
y
1
59.9833
7
u
*
u
*
*
u
第二章 插值法
1．当 1, 1,2
x 时， ( ) 0, 3,4
f x
,求 ( )
f x 的二次插值多项式。
解：
x
0
(
f x
0
( )
l x
0
( )
l x
1
( )
l x
2
2,
1,
1,
x
x
2
1
(
3,
)
) 0,
f x
1
)(
(
x
x
x
x
1
2
)(
(
x
x
x
x
0
2
1
0
)
)(
(
x
x
x
x
0
2
)
)(
(
x
x
x
x
1
0
2
1
)(
)
(
x
x
x
x
1
0
)(
x
x
x
x
2
0
1
2
(
)
2
(
f x
)
)
4;
(
x
1)(
x
2)
1
2
1
6
1
3
)
(
x
1)(
x
2)
(
x
1)(
x
1)
则二次拉格朗日插值多项式为
( )
L x
2
2
k
0
( )
y l x
k k
5
6
(
x
3 ( ) 4 ( )
l x
l x
2
0
1
2
x
1)(
x
x
2
2)
7
3
3
2
4
3
(
x
1)(
x
1)
2．给出 ( )
f x
ln
x
的数值表
0.7
-0.356675
0.8
-0.223144
0.6
-0.510826
0.4
-0.916291
0.5
-0.693147
X
lnx
用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值。
解：由表格知，
0.5,
x
0
(
f x
0
(
f x
(
f x
0.4,
x
x
2
1
0.916291,
)
0.510826,
)
0.223144
)
0.7,
x
3
0.693147
0.356675
0.6,
(
)
f x
1
(
)
f x
3
0.8;
x
4
2
4
若采用线性插值法计算 ln 0.54 即 (0.54)
f
，
则 0.5 0.54 0.6
( )
l x
1
( )
l x
2
( )
L x
1
x
x
2
x
x
1
2
x
x
1
x
x
2
1
(
) ( )
f x l x
1
1
10(
x
0.6)
10(
x
0.5)
(
) ( )
f x l x
2
2
6.93147(
x
0.6) 5.10826(
x
0.5)
L
1(0.54)
0.6202186
0.620219
若采用二次插值法计算 ln 0.54 时，
x
0.5)(
x
0.6)
100(
x
0.4)(
x
0.6)
( )
l x
0
( )
l x
1
( )
l x
2
( )
L x
2
)
)
50(
)(
(
x
x
x
x
1
2
)(
(
x
x
x
x
0
1
0
2
)(
(
)
x
x
x
x
0
2
)(
(
)
x
x
x
x
1
0
1
2
)(
(
)
x
x
x
x
0
1
)(
)
x
x
x
x
2
0
2
1
(
) ( )
(
) ( )
f x l x
f x l x
0
1
50(
(
0
1
x
0.4)(
x
0.5)
) ( )
(
f x l x
2
2
50 0.916291(
x
0.5)(
x
0.6) 69.3147(
x
0.4)(
x
L
2(0.54)
0.61531984
0.615320
0.6) 0.5 10826 50(
x
0.4)(
x
0.5)
x
90
x
(1/ 60) ,
的函数表，步长 1
3．给全 cos ,0
h
究用线性插值求 cos x 近似值时的总误差界。
解：求解 cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有 5 位有效数
字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 cos x 的近似
值时，采用的线性插值法插值余项不为 0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综
合以上两方面的因素。
若函数表具有 5 位有效数字，研
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