2006年河北高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2006 年河北高考理科数学真题及答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）设集合 M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（） A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R 2．（5 分）已知函数 y=ex 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称，则（） A．f（2x）=e2x（x∈R） B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0） C．f（2x）=2ex（x∈R） D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0） 3．（5 分）双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m=（） A． B．﹣4 C．4 D． 4．（5 分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数 m=（） A．1 B．﹣1 C． D． 5．（5 分）函数的单调增区间为（） A． C． B．（kπ，（k+1）π），k∈Z D． 6．（5 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 c=2a，则 cosB=（） A． B． C． D． 7．（5 分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（） A．16π B．20π C．24π D．32π 8．（5 分）抛物线 y=﹣x2 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 距离的最小值是（） A． B． C． D．3 9．（5 分）设平面向量 1、 2、 3 的和 1+ 2+ 3=0．如果向量 1、 2、 3，满足| i|=2| i|，且 i 顺时针旋转 30°后与 i 同向，其中 i=1，2，3，则（） A．﹣ 1+ 2+ 3=0 B． 1﹣ 2+ 3=0 C． 1+ 2﹣ 3=0 D． 1+ 2+ 3=0

10．（5 分）设{an}是公差为正数的等差数列，若 a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则 a11+a12+a13=（） A．120 B．105 C．90 D．75 11．（5 分）用长度分别为 2、3、4、5、6（单位：cm）的 5 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（） A． B． C． D．20cm2 12．（5 分）设集合 I={1，2，3，4，5}．选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有（） A．50 种 B．49 种 C．48 种 D．47 种二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13．（4 分）已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于 °． 14．（4 分）设 z=2y﹣x，式中变量 x、y 满足下列条件：，则 z 的最大值为． 15．（4 分）安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日．不同的安排方法共有种（用数字作答）． 16．（4 分）设函数 φ= ．．若 f（x）+f′（x）是奇函数，则三、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 17．（12 分）ABC 的三个内角为 A、B、C，求当 A 为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 18．（12 分）A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用 A 有效的概率为，服用 B 有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察 3 个试验组，用ξ表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望． 19．（12 分）如图，l1、l2 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点 A、B 在 l1 上， C 在 l2 上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明 AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值． 20．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的交点分别为 A、B，且向量．求：（Ⅰ）点 M 的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值． 21．（14 分）已知函数．（Ⅰ）设 a＞0，讨论 y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意 x∈（0，1）恒有 f（x）＞1，求 a 的取值范围． 22．（12 分）设数列{an}的前 n 项的和，n=1，2，3，… （Ⅰ）求首项 a1 与通项 an；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：． 2006 年河北高考理科数学真题参考答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）设集合 M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（） A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R

【分析】M、N 分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合 M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B． 2．（5 分）已知函数 y=ex 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称，则（） A．f（2x）=e2x（x∈R） B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0） C．f（2x）=2ex（x∈R） D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数 y=ex 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称可知 f（x）是 y=ex 的反函数，由此可得 f（x）的解析式，进而获得 f（2x）．【解答】解：函数 y=ex 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称，所以 f（x）是 y=ex 的反函数，即 f（x）=lnx， ∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选 D． 3．（5 分）双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m=（） A． B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，可求出该双曲线的方程，从而求出 m 的值．【解答】解：双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍， ∴m＜0，且双曲线方程为， ∴m= ，故选：A． 4．（5 分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数 m=（） A．1 B．﹣1 C． D．【分析】注意到复数 a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是 b=0 【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i 是实数，

∴1+m3=0，m=﹣1，选 B． 5．（5 分）函数的单调增区间为（） A． C． B．（kπ，（k+1）π），k∈Z D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时 x+ 的范围 i，进而求得 x 的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足， ∴单调增区间为，故选 C 6．（5 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 c=2a，则 cosB=（） A． B． C． D．【分析】根据等比数列的性质，可得 b= a，将 c、b 与 a 的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC 中，a、b、c 成等比数列，则 b2=ac，由 c=2a，则 b= a， = ，故选 B． 7．（5 分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（） A．16π B．20π C．24π D．32π 【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为 4，体积为 16，底面积为 4，正方形边长为 2，

正四棱柱的对角线长即球的直径为 2 ， ∴球的半径为，球的表面积是 24π，故选 C． 8．（5 分）抛物线 y=﹣x2 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 距离的最小值是（） A． B． C． D．3 【分析】设抛物线 y= ﹣ x2 上一点为（ m ， ﹣ m2 ），该点到直线 4x+3y ﹣ 8=0 的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线 y=﹣x2 上一点为（m，﹣m2），该点到直线 4x+3y﹣8=0 的距离为，分析可得，当 m= 时，取得最小值为，故选 B． 9．（5 分）设平面向量 1、 2、 3 的和 1+ 2+ 3=0．如果向量 1、 2、 3，满足| i|=2| i|，且 i 顺时针旋转 30°后与 i 同向，其中 i=1，2，3，则（） A．﹣ 1+ 2+ 3=0 B． 1﹣ 2+ 3=0 C． 1+ 2﹣ 3=0 D． 1+ 2+ 3=0 【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量 1、 2、 3 的和 1+ 2+ 3=0，向量 1、 2、 3 顺时针旋转 30°后与 1、 2、 3 同向，且| i|=2| i|， ∴ 1+ 2+ 3=0，故选 D．

10．（5 分）设{an}是公差为正数的等差数列，若 a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则 a11+a12+a13=（） A．120 B．105 C．90 D．75 【分析】先由等差数列的性质求得 a2，再由 a1a2a3=80 求得 d 即可．【解答】解：{an}是公差为正数的等差数列， ∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80， ∴a2=5， ∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16， ∴d=3，a12=a2+10d=35 ∴a11+a12+a13=105 故选 B． 11．（5 分）用长度分别为 2、3、4、5、6（单位：cm）的 5 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（） A． B． C． D．20cm2 【分析】设三角形的三边分别为 a ， b ， c ，令 p= ，则 p=10 ．海伦公式 S= ≤ = 故排除 C， D，由于等号成立的条件为 10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当 a，b，c 三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为 a，b，c，令 p= ，则 p=10．由海伦公式 S= 知 S= 3 ≤ = ＜ 20 ＜由于等号成立的条件为 10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立， ∴S＜20＜3 ．排除 C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当 a，b，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为 7，7，6，用 2、5 连接，3、4 连接各为一边，第三边长为 7 组成三角形，此

三角形面积最大，面积为，故选 B． 12．（5 分）设集合 I={1，2，3，4，5}．选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有（） A．50 种 B．49 种 C．48 种 D．47 种【分析】解法一，根据题意，按 A、B 的元素数目不同，分 9 种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B 中最小的数大于 A 中最大的数，则集合 A、B 中没有相同的元素，且都不是空集，按 A、B 中元素数目这和的情况，分 4 种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合 A、B 中分别有一个元素，则选法种数有 C5 2=10 种；若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 C5 3=10 种；若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有 C5 4=5 种；若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有四个元素，则选法种数有 C5 5=1 种；若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 C5 3=10 种；若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 C5 4=5 种；若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有 C5 5=1 种；若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 C5 4=5 种；若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 C5 5=1 种；若集合 A 中有四个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 C5 5=1 种；总计有 49 种，选 B．解法二：集合 A、B 中没有相同的元素，且都不是空集，从 5 个元素中选出 2 个元素，有 C5 2=10 种选法，小的给 A 集合，大的给 B 集合；从 5 个元素中选出 3 个元素，有 C5 3=10 种选法，再分成 1、2 两组，较小元素的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 2×10=20 种方法；从 5 个元素中选出 4 个元素，有 C5 4=5 种选法，再分成 1、3；2、2；3、1 两组，较小元素的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 3×5=15 种方法；

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