2020年江苏高考数学试题及答案.doc-资料库

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2020 年江苏高考数学试题及答案数学Ⅰ 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合 { 1,0,1,2},   A B  {0,2,3} ，则 A B  ▲ ． 2．已知i 是虚数单位，则复数 (1 i)(2 i) z    的实部是▲ ． 3．已知一组数据 4,2 ,3 a a ,5,6 的平均数为 4，则 a 的值是▲ ． 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是▲ ． 5．如图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 2 ，则输入 x 的值是▲ ． 6．在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 2 2 x a  2 y 5  1 ( a  的一条渐近线方程为 0 ) y  5 2 x ，则该双曲线的离

心率是▲ ． 7．已知 y=f(x)是奇函数，当 x≥0 时，   f x 2 3 x ，则  f  的值是▲ ． 8 8．已知 2 sin (  4  )  = 2 3 ，则 sin 2的值是▲ ． 9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2cm，高为 2cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是▲ cm. 10．将函数 y  3 sin( 2 ▲ ． x ﹢ 的图象向右平移 ) π 4 π 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y轴最近的对称轴的方程是 11．设{an}是公差为 d的等差数列，{bn}是公比为 q的等比数列．已知数列{an+bn}的前 n项和 nS  2 n   n n 2  1( n  N ，则 d+q的值是▲ ． ) 12．已知 2 x y 5 2  4 y  1( , x y R ，则 2 x ) 2 y 的最小值是▲ ． 13．在△ABC中， AB  4 ， AC  3 ，∠ BAC =90  ，D在边 BC上，延长 AD到 P，使得 AP=9，若   PA mPB    m PC )  3( 2 （m为常数），则 CD的长度是▲ ． 14．在平面直角坐标系 xOy中，已知 3( 2 P ，，A，B是圆 C： 2 x 0) ( y  21 ) 2  上的两个动点，满足 PA PB ， 36 则△PAB面积的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F分别是 AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面 AB1C1；

（2）求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1． 16．（本小题满分 14 分）在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 3,  a c  2, B  45  ．（1）求 sinC 的值；（2）在边 BC上取一点 D，使得 cos ADC   ，求 tan DAC∠ 4 5 的值． 17．（本小题满分 14 分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上，桥 AB与 MN 平行，OO 为铅垂线( O 在 AB上)．经测量，左侧曲线 AO上任一点 D到 MN的距离 1h (米)与 D到 OO 的距离 a(米)之间满足关系式 h 1  1 40 2 a ；右侧曲线 BO上任一点 F到 MN的距离 2h (米)与 F到 OO 的距离 b(米)之间满足关系式 h 2   1 800 （1）求桥 AB的长度； 3 b  6 b .已知点 B到 OO 的距离为 40 米．（2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD和 EF，且 CE为 80 米，其中 C，E在 AB上(不包括端点)．. 桥墩 EF每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 3 2 k (万元)(k>0)，问 O E 为多少米时，桥墩 CD与 EF的总造价最低？

18．（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 E : 2 x 4  2 y 3 1  的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A在椭圆 E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E相交于另一点 B．（1）求 AF F△ 1 2 的周长；   （2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E的右准线相交于点 Q，求OP QP 的最小值；（3）设点 M在椭圆 E上，记 OAB△ 与 MAB△ S 的面积分别为 S1，S2，若 2 S ，求点 M的坐标． 13 19．（本小题满分 16 分）已知关于 x的函数 y  ( ), f x y  ( ) g x 与 ( ) h x  ( , kx b k b  R 在区间 D上恒有 ( ) f x )  ( ) h x  ( ) g x ．（1）若   f x  2 x  2   x g x ，   x 2  2 x D ，  (    ，，求 h(x)的表达式； ) （2）若 ( ) f x  2 x   x 1 g ， ( ) x  k ln x h ， ( ) x  （3）若 kx k D  ,  (0   ，，求 k的取值范围； ) ( ) f x  x 4  2 x 2 ， ( ) g x  4 x 2  8 ， ( ) h x  4  t 3   t x 4  3 t 2  2 t ( 0  t  2 ，  ) D  , m n     2, 2   ，求证： n m  ． 7 20．（本小题满分 16 分）

已知数列 ( na n  *N 的首项 a1=1，前 n项和为 Sn．设λ与 k是常数，若对一切正整数 n，均有 ) S S   1 k n 1 k a 1 n  成立，则称此数列为“λ～k”数列． 1 k 1 n  （1）若等差数列 na 是“λ～1”数列，求λ的值；（2）若数列 na 是“ 3 ~2 3 ”数列，且 na  ，求数列 na 的通项公式； 0 （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 na 为“λ～3”数列，且 na  ？若存在，求λ的取值 0 范围；若不存在，说明理由．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共计 70 分. 1．{0,2} 6． 3 2 11．4 2．3 7． 4 12． 4 5 3．2 8． 1 3 13． 18 5 或 0 4． 1 9 9．12 3   2 5． 3 10． x   5  24 14．10 5 二、解答题 15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分. 证明：因为 ,E F 分别是 ,AC B C 的中点，所以 1 EF AB∥ . 1 又 /EF  平面 1 AB C ， 1AB  平面 1 AB C ， 1 1 所以 EF∥平面 1 AB C . 1 （2）因为 1B C  平面 ABC ， AB  平面 ABC , 所以 1B C AB . 又 AB AC , 1B C  平面 1 AB C , AC  平面 1AB C , 1 B C AC C  1 ,

所以 AB  平面 1AB C . 又因为 AB  平面 1ABB ,所以平面 1AB C  平面 1ABB . 16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力.满分 14 分. 解：（1）在 ABC△ 中，因为 3,  a c  2, B  45  ，由余弦定理 2 b  2 a  2 c  2 ac cos B ，得 2 9 2 2 3 b      2 cos 45   ， 5 所以 b  5 . 在 ABC△ 中，由正弦定理 b sin B  c sin C ，，得 5 sin 45  = 所以 sin C  2 sinC 5 5 . （2）在 ADC△ 中，因为 cos ADC   ,所以 ADC 4 5 为钝角，而  ADC     C CAD 180 故 cos C  1 sin  2 C   2 5 5 ,  ,所以 C 为锐角. 1 2 sin cos C C tan  . C  则因为 cos ADC   ，所以 4 5 从 sin  ADC  1 cos  2  ADC  ， 3 5 tan  ADC  sin cos   ADC ADC   3 4 . tan  ADC  tan(180    ADC     C ) tan(  ADC   C )=  tan(  1 tan   ADC ADC ) C   tan   C =  3 4 1 (     3 4 ) 1 2  而 = 2 11 . 1 2 17．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14 分. 解：（1）设 1 AA BB CD EF 都与 MN 垂直， 1 1 1 1 , , , A B D F 是相应垂足. , , , 1 1 1 由条件知，当 O'B  时， 40 BB   1 1 800  3 40   6 40 160,  则 1 160 AA  . 由 1 40 所以 2 O'A  160, 得 O'A  80. AB O'A O'B    80 40 120  （米）. 

（2）以 O 为原点， OO' 为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy （如图所示）. 设 ( , F x y 2 ), x  (0,40), 则 y 2   1 800 3 x  6 , x EF  160  y 2  160   6 x . 因为 CE  所以 80, O'C  . x 设 ( D x  80, y 1 ), 则 y 1   x 2 ) , 3 x 1 800 80  1 (80 40 所以 CD  160  y 1  160  1 40 (80  2 x )   1 40 2 x  4 . x 记桥墩 CD 和 EF 的总造价为 ( ) 则 ( )= (160 f x k   k ( 1 800 1 800 3 x  3 x  6 ) x  3 80 2 x  k f x ， 3 1 40 2 x    ( x 160)(0 2  4 ) x 40).  ( )= ( f x k 令 ( )=0 f x 2 x  3 3 800 40 ，得 20. x  x  160)  3 k 800 ( x x  ， 20) x  时， ( ) f x 取得最小值. 所以当 20 答：（1）桥 AB 的长度为 120 米；（2）当 O'E 为 20 米时，桥墩 CD 和 EF 的总造价最低. 18．本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 16 分. 解：（1）椭圆 E : 2 x 4  2 y 3 则 2 a  2 4, b  2 3, c 1  . 1  的长轴长为 2a ，短轴长为 2b ，焦距为 2c ，所以 AF F△ 1 2 的周长为 2 a 2 c  . 6

（2）椭圆 E 的右准线为 4 x  . 设 ( ,0), Q y ， (4, P x  OP 则 )  QP  ( ,0), x  ( x 4,   y ) ，   ( OP QP x x    4)  ( x  2 2)    4 4, 在 2 x  时取等号.   所以 OP QP 的最小值为 4 . 1  的左、右焦点分别为 1 ,F F ，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内， 2 AF 2 F F⊥ ， 1 2 （3）因为椭圆 E : 2 x 4 F 则 1 ( 1,0),  F 2 (1,0), (1, A 所以直线 :3 AB x 4 y  2 y 3 3 2 3 0.   . ) 设 ( , M x y ，因为 2 S ) S ，所以点 M 到直线 AB 距离等于点 O 到直线 AB 距离的 3 倍. 13 由此得 | 3 x 3| 3   | 3 0 4 0 3|     ，  4 y 5 12 0 则 3 x 4 y   或 3 x 4 y 5 6 0   . 3 x   由 2  x  4   4 y 2 y 3  12 0,   1 得 27 x  24 x  32 0  ，此方程无解； 3 x 由 2 x 4       4 y 2 y 3   6 0,  1 代入直线 :3 l x 4 y 得 27 x  12 x   ，所以 2 4 0 x  或 x   . 2 7   ，对应分别得 0 6 0 y  或 y   12 7 . 因此点 M 的坐标为 (2,0) 或 2  7 ( ,  12 7 ) . 19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分 16 分.

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