2002内蒙古考研数学三真题及答案.doc-资料库

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2002 内蒙古考研数学三真题及答案一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上) (1) 设常数 a  ，则 1 2 lim ln n     2 1 n na   (1 2 ) n a     n  . (2) 交换积分次序： 1 4 0  y dy  y ( , f x y dx )  dy 1 2 y   1 2 1 4 ( , f x y dx )  . (3) 设三阶矩阵 a  2 1 0 2  2 4      A       1 2 3 . ，三维列向量  a  ,1,1 T .已知 A与线性相关，则 (4) 设随机变量 X 和Y 的联合概率分布为 Y X 0 1 -1 0.07 0.08 则 2X 和 2Y 的协方差 cov( 2 , X Y 2 )  (5) 设总体 X 的概率密度为 0 0.18 0.32 . 1 0.15 0.20 ( ; f x )      ),  ( xe   0, x 若 x 若 ,     X X 而 1 , , 2 X 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为 , n 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数 ( ) f x 在闭区间[ , ]a b 上有定义，在开区间 ( , )a b 内可导，则 ( ) (A)当 ( ) f a f b  时，存在 ( , )a b ( ) 0  ，使 ( ) 0 f   . (B)对任何 ( , )a b  ，有 lim[   x ( ) f x  f ( )] 0   . (C)当 ( ) f a  ( ) f b 时，存在 ( , )a b  ，使 ( ) 0  . f  (D)存在 ( , )a b  ，使 ( ) f b  ( ) f a  f  ( )( b a  ) .

(2) 设幂级数   n 1  n a x n 与  的收敛半径分别为 b x n n  n 1  5 3 与 1 3 ，则幂级数   i 1  2 2 a b n n n x 的收敛半径为 ( ) (A) 5 (B) 5 3 (C) 1 3 (D) 1 5 (3) 设 A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则线性方程组 AB x   0 ( ) (A)当 n m 时仅有零解 (C)当 m n 时仅有零解 (B)当 n m 时必有非零解 (D)当 m n 时必有非零解 (4) 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量是 A 的属于特征值的特征向量，则矩阵 1 P AP T  (A) 1P  (B) 属于特征值的特征向量是 ( (D) TP  (C) P 1 TP  ) (5) 设随机变量 X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( ) (A) X Y 服从正态分布 (B) 2 X 2 Y 服从 2 分布 (C) 2X 和 2Y 都服从 2 分布 (D) 三、(本题满分 5 分) 2 /X Y 服从 F 分布 2 x  0    求极限 lim 0 x  2 u  0 arctan(1  ) t dt du    x (1 cos ) x  四、(本题满分 7 分) 设函数 u  ( , , ) f x y z 有连续偏导数，且 z  ( , ) z x y 由方程 x xe  y ye du . 五、(本题满分 6 分) 设 f 2 (sin x )  x sin x , 求  x x 1 ( ) f x dx . z  所确定，求 ze 六、(本题满分 7 分) 设 1D 是由抛物线 y 22 x 和直线 x  , a x  及 0 y  所围成的平面区域； 2D 是由抛物 2 线 y 22 x 和直线 0 y  , x a 所围成的平面区域，其中 0 2 a  . (1)试求 1D 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 1V ； 2D 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 2V ；

(2)问当 a 为何值时， 1 V V 取得最大值？试求此最大值. 2 七、(本题满分 7 分) (1)验证函数 ( ) 1 y x   3 x 3!   6 x 6!  9 x 9!    3 n x   3 ! n        x  满足微分方程  y  y   y e x n   (2)利用(1)的结果求幂级数   0 3 ! x n  n 3 的和函数. 八、(本题满分 6 分) 设函数 ( ), f x g x 在[ , ]a b 上连续，且 ( ) 0 g x  .利用闭区间上连续函数性质，证明存 ( ) 在一点 [ , ]a b  ，使 b  a ( ) ( ) f x g x dx ( )  f b  a ( ) g x dx . 九、(本题满分 8 分) 设齐次线性方程组 ax  1  bx  1     bx  1    bx  2 ax  2   bx 2 bx 3 bx 3 bx 3          bx bx  ax n   n   n 0, 0, 0, 其中 0,  a b  0, n  ，试讨论 ,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷 2 多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解. 十、(本题满分 8 分) 设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 2 A (1)求 A 的全部特征值 (2)当 k 为何值时，矩阵 A kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵.  ，已知 A 的秩 ( A r A  2 0 ) 2 十一、(本题满分 8 分) 假设随机变量U 在区间 2,2 上服从均匀分布，随机变量 X     1,  1, 若若 U U 1   1;   Y  -1,   1,  U 若 U 若   1 1; 试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2) D X Y ( ) . 十二、(本题满分 8 分) 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间 ( E X ) 为 5 小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机. 试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数 ( )F y .

参考答案一、填空题 (1)【答案】 1 1 2a 【详解】 ln“ ”里面为 1“ ”型，通过凑成重要极限形式来求极限， lim ln n     2 1 n na   (1 2 ) n a     n  n (1 2 ) a   1 1 2  a 1  (1 2 ) a     n  lim ln 1  n   n (1 2 ) a   lim n  1 1 2  a  ln 1   n 1  (1 2 ) a     1 1 2  a ln e  1 1 2  a ． (2)【答案】 1 2 0  dx x 2 x  ( , f x y dy ) 【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域 1D 与 2D ，将它们的并集记为 D ．于是 1 4 0  y dy  y ( , f x y dx )  dy 1 2 y   1 2 1 4 ( , f x y dx )   D ( , f x y d ) ．再将后者根据积分定义化为如下形式，即 x 从 0  1 2 x ，从 y 2  x ，所以 ) ( , f x y d  1 2 0  dx x 2 x  . ( , f x y dy )  D (3)【答案】 1 【详解】 A   1 2 3      2 1 0 2  2 4      a 1 1            a   3 , 2 a    4 3 a  由于 A与线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有 a a  3  2 a  1 4 3 a  1 ，得 2 a   3 3 a  4, a   1.

或 ,( A k   k  0) (两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出) a   即 2 a    3 a        3 4  k      a 1 1      a   ，得 2 a   3 a  ka 3   4   k k ，得 a   1.( k  1)  (4)【答案】 0.02 【详解】 2X 、 2Y 和 2X ． 2Y 都是 0 1 分布，而 0 1 分布的期望值恰为取1时的概率 p ．由离散型随机变量 X 和Y 的联合概率分布表可得 2X 的可能取值为 0 和 1，且 2Y 的可能取值也为 0 和 1，且 X 和Y 的边缘分布为  P X  0  0.07 0.18 0.15 0.4  ；  P X    1  0.08 0.32 0.20 0.6  ；   1  P Y    0.07 0.08 0.15   ；  P Y  0  0.18 0.32 0.5  ；   P Y  1  0.15 0.20 0.35   ；故有 X 0 0.4 1 0.6 Y 1 0.15 0 0.5 1 0.35  P X  P X  P X  P X 2 2 2 2 而边缘分布律：  20, Y  20, Y    21, Y   21, Y   0  1  0  1   P X  0, Y  0   0.18,   P X  0, Y  1     P X  0, Y  1     P X  1, Y  0   0.32, 0.07 0.15 0.22,     P X  1, Y  1     P X  1, Y  1   0.08 0.20 0.28,    P X  P Y  P Y 2 2 2   0  0  1     P X   0  ，  0.4 P X 2   1   P X   1  ， 0.6    P Y   0  ， 0.5  P Y  1     P Y   1  0.15 0.35 0.5   所以， 2 X Y 的联合分布及其边缘分布为 ( 2 ) , 2Y 2X 0 1

0 1 0．18 0．32 0．50 0．22 0．28 0．50 0．40 0．60 1 由上表同理可求得 2 2X Y 的分布律为 2 2X Y P 0 1 0．72 0．28 所以由 0 1 分布的期望值恰为取 1 时的概率 p 得到： 2 ( ) 0.5 ) 0.60, ( E Y E X   ， 2 2 2 2 cov X Y E X Y   ）（，）（ 2 0.28 E X Y  ） 2 ) 0.28 0.6 0.5 ( ( ) E X E Y    ( 2 2 2   0.02 (5)【答案】 1X  ．【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望   xf x dx ( )     xe ( x   ) dx    1 E X ( )   1 n   n  1 i 样本均值 X X i 用样本均值估计期望有 EX X ，即解得未知参数的矩估计量为 ˆ   1 n 二、选择题 (1)【答案】(B)    ， 1  X i 1 n n i 1  n  i 1  X i 1   X  1 ．【详解】方法 1：论证法．由题设 ( ) f x 在开区间 ( , )a b 内可导，所以 ( ) f x 在( , )a b 内连续，因此，对于 ( , )a b 内的任意一点，必有lim ( ) f x x    f ( ).  即有 lim[   x ( ) f x  f ( )] 0   ．故选(B)．方法 2：排除法． (A)的反例： ( ) f x 1     1 x  x ( , ] a b a  但 ( ) f x 在 ( , )a b 内无零点．，有 ( ) f a 1,   ( ) 1, f b  ( ) ( ) f a f b    ， 1 0

(C)与(D)的反例， ( ) f x x    1  x x ( 1,1]   1   f ( 1)   f (1) 1  ，但 ( ) 1 f x  (当 x   ( 1,1) )，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)． (2)【答案】(D) 【详解】方法 1： A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则 AB 是 m 阶方阵，因 ( r AB ) min( (  ), ( r A r B )) ．当 m n 时，有 ( r AB ) min( (  ), ( r A r B ))   ．(系数矩阵的秩小于未知数的 n m 个数)方程组 AB x  必有非零解，故应选(D)． 0  方法 2： B 是 n m 矩阵, 当 m n 时,，则 ( r B ) n ，(系数矩阵的秩小于未知数的个数) 方程组 Bx  必有非零解，即存在 0 x  ，使得 0 0 0 Bx  ，两边左乘 A ，得 0 ABx  ， 0 0 即 ABx  有非零解，故选(D)． 0 (3)【答案】(B) 【详解】方法 1：由题设根据特征值和特征向量的定义， A  ， A 是 n 阶实对称矩阵，故 TA A ．设 1  P AP T   ，则 B B P A P  T T T  1  T P AP  T 1  T ( P A P T 1 )  上式左乘 1TP  ，右乘 TP ，得 T ( P )  1 T BP  T ( P )  1 T ( P A P T )  1 T P ，即 A P BP 1T  T ，所以 A   (  1 T P BP T )    两边左乘 TP ，得 (  1 T T P P BP T ) P  T ( )  得 ( B P T P   ) T 根据特征值和特征向量的定义，知 B  ( 1 P AP )T 的对应于特征值的特征向量为 TP ，即应选(B)．方法 2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义， A  ， A 是 n 阶实对称矩阵，故 TA 向量为，即  ，其中 P AP    T 1 1   P AP A ．设   T T 1 P AP T  属于特征值的特征 T P A P T  1  T P AP  T 1 对(A)，即令 1P  ，代入 TP AP  T 1  ( P 1 P    ) 1 

对(B)， T P AP T 1 ( ) P  T  T P A P P  ( ) T T 1  T [( P A P T ) T 1 P  )] TP A TP  ) ( 成立．故应选(B)． (4)【答案】C 【分析】(i) 2 变量的典型模式是： 2   X 2 1  X 2 2   X 2 n ，其中 iX 要求满足： iX 相互独立， iX N (0,1) ．称 2 为参数为 n 的 2 变量． (ii) F 变量的典型模式是： F  / X n 1 / Y n 2 ，其中 ,X Y 要求满足： X 与Y 相互独立， X  2  ( ), n Y 1  2  ( n ) 2 ，称 F 为参数为 ,n n 的 F 变量． 1 2  【详解】方法 1：根据题设条件， X 和Y 均服从 (0,1) N ．故 2X 和 2Y 都服从 2(1) 分布，答案应选(C)．方法 2：题设条件只有 X 和Y 服从 (0,1) N ，没有 X 与Y 的相互独立条件．因此， 2X 与 2Y 的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确．题中条件既没有 X 与Y 独立，也没有 ( )X Y 正态，这样就不能推出 X Y 服从正 , 态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)．三【详解】 lim 0 x  x  0    2 u  0 arctan(1  ) t dt du    x (1 cos ) x  x  0    等 lim 0 x  2 u  0 ) t dt du    arctan(1  1 2 3 x 2 x 洛 lim 0 x  0 arctan(1  ) t dt 3 2 2 x 洛 lim 0 x  arctan(1  3 x 2 x ) 2  x 2   3 4   6  ．四【详解】方法 1：用一阶微分形式不变性求全微分． du   f dx 1   f dy 2   f dz 3 z  ( , z x y ) 由 x xe  y ye  所确定，两边求全微分，有 z ze ( d xe x  y ye )  ( d ze z )  ( d xe x )  ( d ye y )  ( d ze z )  x xe dx  x e dx  y ye dy  y e dy  z ze dz  z e dz ，解出 x ( e x  dz  1) dx e  z ( e z  y ( 1) y  1) dy ,( z 设   1 0).

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