2 1 1 2 2 1 倒立摆系统的建模及 MA TL AB 仿真 华南理工大学机械工程学院 (510640) 　曾志新 　邹海明 　李伟光 　周建辉 【摘要】通过建立倒立摆系统的数学模型 ,应用状态反馈控制配置系统极点设计倒立摆系统的 控制器 ,实现其状态反馈 ,从而使倒立摆系统稳定工作 。之后通过 MA TL AB 软件中 Simulink 工具对倒立摆的运动进行计算机仿真 ,仿真结果表明 ,所设计方法可使系统稳定工作并具有良 好的动静态性能 。 关键词 　倒立摆 　建模 　MA TL AB 仿真 The Model Building of Inverted Pendulum System and Simulation under the MATLAB Enviroment Abstract 　The mathematical model of inverted pendulum system is built , and a controller is designed based on the pole placement method with f ull state feedback to make the inverted pendulum system work stably. Then computer simulation for the movement of inverted pendulum is done by the Simulink tool of the MA T L AB software . The result of simulation shows that this method can make the system work stably and have good dynamic 、static qualities. Therefore , it is effective. Keywords 　inverted pendulum , model building , simulation under the MA TL AB environment 中图分类号 : TP273 　　文献标识码 :A 　　倒立摆系统是 1 个经典的快速 、多变量 、非线 性 、绝对不稳定系统 ,是用来检验某种控制理论或方 法的典型方案 。倒立摆控制理论产生的方法和技术 在半导体及精密仪器加工 、机器人技术 、导弹拦截控 制系统和航空器对接控制技术等方面具有广阔的开 发利用前景 。因此研究倒立摆系统具有重要的实践 意义 ,一直受到国内外学者的广泛关注 。 本文就一级倒立摆系统进行分析和研究 ,建立 倒立摆系统的数学模型 ,采用状态反馈极点配置的 方法设计控制器 ,并应用 MA TL AB 软件进行仿真 。 1 　一级倒立摆系统的建模 1. 1 　系统的物理模型 如图 1 所示 ,在惯性参考系下 ,设小车的质量为 练样本 ,对系统进行重新训练 。实际加工中 ,上述学 习和决策过程均是在事前或加工间隙进行的 ,对其 算法的实时性 (快速性) 并未提出特别苛刻的要求 , 所以上述思想是切实可行的 。图 3 是基于知识的曲 面磨削系统结构图[ 3 ] 。 究前景 。如何提高曲面的制造精度一直是行业研究 的重要课题 。将磨削过程的数值计算 、图形处理 、优 化设计 、误差分析和实践经验等知识结合起来 ,研究 曲面磨削中的定量计算和定性推理等计算制造问 题 ,为轮槽铣刀前 、后刀面的精密磨削和复杂刀具的 设计加工提供了保障 。对其他曲面的磨削及复杂曲 面的精密加工提供了借鉴经验 。 [参考文献 ] [ 1 ] Lee Y. S. Manufacturing drive geometric analysis and prototyping : An investigation of comp utational manufactur ing , Proc. of 1999 NSF Design and Manufacturing Grantees Conference , 1999 :230. [2 ] 王沉培 ,周艳红 ,周云飞. 复杂形状刀具磨削运动三维图 形仿真的研究. 中国机械工程 ,1998 ,10 (2) :123 [ 3 ] (美) 马尔金 北大学出版社 ,2002 S 著. 磨削技术理论与应用 [ M ] 126. 沈阳 :东 图 3 　基于知识的曲面磨削系统结构图 3 　结语 计算制造作为新兴的研究领域 ,具有广泛的研 责任编辑 　吕 　菁 ·61· 《新技术新工艺》·数字技术与数字制造 　2005 年 　第 10 期 

¾ ¾ ¾ ¾ M ,摆杆的质量为 m , 摆杆长度为 l ,在某一 瞬间时刻摆角 (即摆 杆与竖直线的夹角) 为θ,作用在小车上的 水平控制力为 f 。这 样 ,整个倒立摆系统 就受到重力 ,水平控 制力和摩擦力的 3 外 力的共同作用。 1. 2 　系统的数学模型[ 1 ] 图 1 　一级倒立摆物理模型 在系统数学模型中 ,本文首先假设 : (1) 摆杆为 刚体 。(2) 忽略摆杆与支点之间的摩擦 。(3) 忽略小 车与导轨之间的摩擦 。 然后根据牛顿第二运动定律 ,求得系统的运动 方程为 : M d2 x dt2 + m mlco sθ d2 d2 dt2 ( x + lsinθ) = f dt2 ( x + lsinθ) = mgl sinθ (1) (2) 方程 (1) , (2) 是非线性方程 ,由于控制的目的是 保持倒立摆直立 ,在施加合适的外力条件下 ,假定θ 很小 ,接近于零是合理的 。则 sinθ≈θ,co sθ≈1 。在 以上假设条件下 ,对方程线性化处理后 ,得倒立摆系 统的数学模型 : (3) (4) x 为状 ( M + m) ¨x + ml¨θ = f ml 2 ¨θ+ ml¨x = mglθ 1. 3 　系统的状态方程 以摆角θ,角速度 θ,小车的位移 x ,速度 态变量 ,输出为 y 。即令 : x = x1 x2 x3 x4 = θ θ x θ 　　　y = y1 y2 y3 y4 = x1 x2 x3 x4 则一级倒立摆系统的状态方程为 : x1 = x2 ; x2 = M + m M l g x 1 - 1 Ml f ; x3 = x4 ; x4 = - m M g x 1 + 1 M f 即 x1 x2 x3 x4 = 0 g M + m M l 0 m M - g 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 x1 x2 x3 x4 + 0 - 0 1 M 1 Ml f ¾ 0 0 0 1 x1 x2 x3 x4 + 0 ×f y = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 　控制器设计及 MA TL AB 仿真 2. 1 　极点配置状态反馈的基本原理 极点配置的方法就是通过一个适当的状态反馈 增益矩阵的状态反馈方法 ,将闭环系统的极点配置 到任意期望的位置 。考虑控制系统 : (5) x = A x + B u 其中 x 是状态向量 ( n 维向量) , u 是控制信号 (纯量) ,选取控制信号为 : u = - K x 这 样 控 制 信 号 是由瞬时状态确定 , 此方法称为极点配 置状态反馈法。图 2 为具有 u = - Kx 的 闭环控制系统。 将式 (6) 代入式 (6) 图 2 　状态反馈闭环控制系统 (5) 得 : x ( t) = ( A - B K) x ( t) ,该方程的解为 : x ( t) = e( A - B K) t x (0) 式中 x (0) 是外部干扰引起的初始状态 。系统 的稳态响应和瞬态响应特性由矩阵 A - B K 的特征 决定 。如果矩阵 K 选取适当 , 则可使矩阵 A - B K 构成 1 个渐近稳定矩阵 ,并且对所有的 x (0) ≠0 ,当 t 趋于无穷时 ,都可使 x ( t) 趋于 0 。称矩阵 A - B K 的特征值为调节器极点 。如果这些调节器极点均位 于 s 的左半平面内 ,则当 t 趋于无穷时 , x ( t) 趋于 0 。 将闭环极点配置到所期望的位置 , 称为极点配置问 题 。因而极点配置状态反馈控制器的设计最主要就 是 K 值的计算 。 2. 2 　极点配置状态反馈控制器的设计 一级倒立摆系统是一个不稳定的系统 。控制器 的目的是使倒立摆系统动态稳定 ,即保持倒立摆在 垂直的位置 ,使小车在外力作用下其位移以较小的 误差跟随输入的变化 。由于系统的动态响应主要是 由他的极点位置决定的 ,同时容易证明一级倒立摆 系统是一个能控而且能观的系统 。因此本文通过极 点配置状态反馈控制器来使系统保持稳定 。 状态反馈控制方程为 : f = - K x = - [ K1 　K2 　K3 　K4 ] x 闭环系统的方程为 : 选取所期望的闭环极点位置 :μ1 ,μ2 ,μ3 ,μ4 x = A x + B f = ( A - B K) x 《新技术新工艺》·数字技术与数字制造 　2005 年 　第 10 期 ·71· 

1 稳定在平衡状态 ,即所有的状态变量都可以稳定在 零状态 。这就意味着即使在初始状态或因存在外界 干扰时 ,摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置导轨中 心 ,依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立 ,并 使小车保持在基准位置 。相对平衡状态的偏移 ,得 到迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的位置 。 一般来说 ,将指定的特征根配置在原点的左侧 , 离原点越远 ,控制动作就越迅速 ,但相应地需要更大 的控制力和快速的灵敏度 。 图 4a、图 4b 分别是配置极点为 : u1 = - 2 - j2 3 , u2 = - 2 + j2 3 , u3 = - 10 , u4 = - 10 和 u1 = - 1 - j 3 , u2 = - 1 + j 3 , u3 = - 10 , v4 = - 10 (其中 u1 , u2 是主导闭环极点) 一级倒立摆系统的仿真结果图 : 图 4 　用极点配置控制的 　一级倒立摆系统的仿真结果 从图 4a 和图 4b 比较可知 ,配置极点离原点越 远 ,虽然需要相对大的控制力 ,但是系统达到稳定的 时间越短 ,即控制动作就越迅速 ,灵敏度高 。 比较两图可知 ,配置极点为 : u1 = - 2 - j2 3 , u2 = - 2 + j2 3 , u3 = - 10 , u4 = - 10 的仿真图 ,倒 立摆系统的动静态性能较好 。系统大约在 2 s 内即 可达到稳定 ,过渡过程时间较短 ,超调量也不大 ,各 控制量的大小都比较合理 。 3 　结语 本文以倒立摆为研究对象 ,讨论了将极点配置 在期望的区域内的状态反馈控制方法 。从仿真结果 可以看出 ,该方法可以保证系统具有一定的动态和 稳态性能 ,不仅满足闭环系统的内部动态特性要求 , 也兼顾了抑制外部扰动对系统的影响 。由此可知 , 极点配置控制方法可以实现摆杆的倒立平衡控制 。 从本文的研究结果还可看出 ,倒立摆系统是研究各 种控制理论的一个理想实验装置 。 [参考文献 ] 现代控制工程. 卢伯英等译. 北 [ 1 ] (美) Kat suhio Ogata 著 京 :电子工业出版社 ,2000. [ 2 ] 唐新宇. 倒摆问题的研究及控制器设计. 微计算机信息 , 2003 ,19. 责任编辑 　吕 　菁 根据如下 MA TL AB 程序可求得状态反馈增益 K(假设小车的质量为 3 kg ,摆杆的质量为 0. 1 kg , 摆杆的长度为 0. 5 m) ,程序如下 : g ; g ; M = 3 ; 　m = 0. 1 ; 　l = 0. 5 ; 　g = 9. 81 ; A21 = (M + m) / M/ l A41 = - m/ M B21 = - 1/ M/ l ; B41 = 1/ M ; A = [ 0 1 0 0 ;A21 0 0 0 ;0 0 0 1 ;A41 0 0 0 ] ; B = [ 0 ;B21 ;0 ;B41 ] ; C = [ 1 0 0 0 ;0 1 0 0 ;0 0 1 0 ;0 0 0 1 ] ; D = 0 ; M = [B A J = [μ1 0 0 0 ;0 μ2 0 0 ;0 0 μ3 0 ;0 0 0 μ4 ] ; jj = poly (J ) ; Phi = polyvalm (poly (J ) ,A) ; K = [ 0 0 0 1 ] 求得 : A = [ 0 1 0 0 ;20. 4048 0 0 0 ;0 0 0 1 ; - 0. 3924 0 0 0 ] ,B = [ 0 ; - 0. 6667 ;0 ;0. 3333 ] ,C = [ 1 0 0 0 ;0 1 0 0 ;0 0 1 0 ;0 0 0 1 ] ,D = 0 (inv (M) ) B A^2 B A^3 B ] ; Phi ; 2. 3 　MA TL AB 仿真 MATLAB 软件是目前国际上最流行、应用最广 泛的科学与工程计算软件 ,具有高级的数学分析和运 算能力 ,可以如上编写 MATLAB 程序计算倒立摆系 统的状态反馈增益 K;同时还具有强大的动态系统的 分析和仿 真能 力[2 ] 。以 下是 用 MATLAB 软件 中 Simulink 工具箱来设计仿真一级倒立摆系统。 应用 MA TL AB 中的 Simulink 设计用极点配 置控制的一级倒立摆系统的仿真模型如图 3 所示 。 图中 State - Space 模块填入了上面程序计算所得 的 A , B , C , D 值 。然后用 1 个 Bus Selector 输出转 角 、角速度 、位移和速度 4 个量 ,之后用 4 个 Gain (分别输出参数 K (1) K (2) K (3) K ( 4) ) 和 1 个 Sum 构成状态反馈 ,同时用示波器输出转角 、角速 度 、位移和速度 4 个量 。输出结果如图 4 所示 。 图 3 　用极点配置控制的一级倒立摆系统的仿真模型 上述状态反馈可以使处于任意初始状态的系统 ·81· 《新技术新工艺》·数字技术与数字制造 　2005 年 　第 10 期