矢量化的电力系统潮流计算.doc

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.31M 资料格式：doc 举报版权申诉

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基于矢量化运算模式的电力系统潮流计算 POWER FLOW CALCULATION BASED ON VECTORIZATION MODE , Abstract: Converting the calculation of power flow equation of power system into the solution of a new nonlinear programming model. The divergence problem of ill-condition system calculation is settled. It is also a new way to judge whether the general load flow has feasible solutions or not. Getting the correction equations by Newton method, LDLT decomposition method will be used to solve it. The indefinite coefficient matrix of correct equation is reordered using AMD reordering algorithm, in LDLT decomposition is reduced significantly, which improves the calculation speed considerably. Proposed module and algorithm possess significant simplifying structure and can be implement or program easily with vectorization expression. The adaptability and maintainability are improved greatly, too. Numerical simulations on test systems ranging in size from 118 to 703 buses validate the correctness of the proposed method. thus the fill-in elements Keyword: calculation; Nonlinear programming system; Power Power flow; Vectorization 摘要：通过把电力系统潮流方程的求解计算转化为对一个新的非线性规划模型的求解，解决了病态系统潮流计算发散的问题，为给定条件下的潮流问题是否有解提供了一个新的判断途径。利用牛顿法获得具有对称不定系数矩阵的修正方程后，采用 AMD 算法对系数矩阵进行排序，并采用 LDLT 算法进行求解，使修正方程的求解速度获得提升。整个潮流计算模型以矢量化形式表达，简洁，高效，大大简化了程序复杂度，提高了代码的通用性和易维护性。对节点数从 118 到 1047 共 4 个测试系统进行了仿真计算，仿真结果验证了本文方法的正确性。关键词：电力系统；潮流计算；矢量化计算；非线性规划１引言潮流计算是电力系统最基础的一种电气计算。在数学上，它可以归结为一个多元非线性代数方程组的求解问题，必须采用迭代的计算方法[1]。在过去研究中，许多快速、高效的直接迭代求解方法，如高斯-塞德尔法、牛顿-拉弗逊法、快速解耦法以及保留非线性潮流算法等等的提出[2]，为潮流计算的广泛应用和发展做出了卓越的贡献。特别是牛顿 -拉弗逊法，作为一种最为成功的基础算法，至今仍在电力系统的各种潮流计算中普遍采用。但是，对于病态潮流的计算，上述方法常常出现振荡和不收敛的现象。因此，研究人员又提出了基于非线性规划模型的算法[3]。该类算法在数学上可表示为求一个由潮流方程构成的目标函数最小值问题。在给定运行条件下，若潮流问题有解，则目标值为零；若潮流问题无解，则目标值为一不为零的正值。因此，即使是在病态系统的情况下，计算过程也不会发散。国内专家学者对解决此问题也进行了许多有益的探讨[4-6]。利用节点不平衡功率，本文建立了潮流计算的非线性规划模型[7]。该模型可保证无论潮流问题有无可行解，其迭代过程均可有效收敛。求解方法为牛顿法。但此时所得到的修正方程不同于传统牛顿拉夫逊法潮流计算的修正方程。传统牛拉法潮流计算修正方程系数矩阵为潮流方程求导后所得的雅克比矩阵，为非对称方阵，只能采用求解不对称矩阵的算法如 LU 分解法、高斯消去法等求解[8-10] 。而非线性规划模型的修正方程系数矩阵为对称不定矩阵，可利用近似最小度 AMD[11]算法或节点优化编号加 4×4 结构[13-15]对系数矩阵进行节点优化排序，并采用 LDLT[12]算法进行求解。而 AMD 算法的优化排序，在减少注入元方面比节点优化编号加 4×4 结构效果更好[16]。目前对电力系统潮流方程的求解还有一些其他方法，如文献[17]提出符号分析方法；文献[18] 提出预处理 CG 法等等，但仍处于研究阶段。 Matlab 作为一种强大的矩阵运算工具，内建丰富高效的矩阵运算函数库。它是 MathWorks 公司开发的功能强大的科学及工程计算软件，而且以矩阵运算为代表的基本运算功能一直是 Matlab 引以为自豪的核心和基础。因此，在 Matlab 编程过程中，强调对矩阵的整体运算和操作，要尽可能将循环运

算转换为矩阵运算，这就是 Matlab 矩阵运算及矢量化方式编程的核心思想。在 Matlab 环境下实现潮流计算时，若能充分利用其提供的矩阵运算功能，采用 Matlab 所提供的稀疏技术进行基于矢量化与矩阵运算方式的编程，不仅可以很容易地获取简洁高效的程序代码，提高了编程效率，而且可令潮流计算速度大为提高，使得编制高质量的潮流计算程序的复杂度大为降低。同时，也大大提高了代码的通用性和易维护性。这种利用矩阵运算函数库的开发模式在许多开源数值计算库/优化工具包以及商用软件上已有广泛应用[11,12,19,20]。因此，本文提出基于矩阵和矢量化运算方式的潮流计算模型，并用 Matlab 语言实现，取得了很好的效果。２潮流计算的数学规划模型电力系统潮流方程为： j j j j i j j i j n n ri f f            0 e i 1  n 1  n (1) eB ij   fG ij   fBeG ij ij   fBeG ij ij  PP   Di Gi    QQ  Di  Gi QP , 、式中 Di QP , 分别为节点 i 处有功、无功电源输出和有 e , 为节点 i 电压的实部与虚部；功、无功负荷； i BG , 为系统导纳矩阵实部和虚部。 i  ， nS 为系统中所有节点集合；   fG ij eB ij nS e i 0     1  1  Di f ri j j j j j i 为叙述方便，以来表示(1)所示方程组。因此，对潮流方程（1）的求解可归结为对如下形式的规划模型[7]的求解： ( xh 0 )  ε )(xh ε  n ) R  min . .s t eεx , , ( 这里未考虑潮流计算中的自动调整和各种安全约束，仅是求取潮流方程的可行解，因此不含不等式约束。 (2) (3) xh (  :) R R , n n 为便于计算，可将（2）、（3）所示非线性规划模型表示为：  2 ε xh )( ) ,  min . .s t eεx ( , , （4）、（5）所示模型为仅含等式约束的非线性 0 xh ( (4) (5)  :) R R R n n n 规划模型，可采用牛顿法直接求解，如下：首先，定义与之相联系的 Lagrange 函数： T )(( L xhy 其最优性条件为：   )  2    (6) x y y       0 0 0 L L 2   )( xh    )( yxh  L  L     L    x   L    y   2/y 显然有 )( 0 L yxh     )( 2/ L y xh    采用牛顿法求解上式，可得：    )( )( xh x yxh     T )( 2/ x y xh     0yL )为(8)式的残余量； 0xL , 式中( 森矩阵。 y  L L 0  0 0 2 y x y x ,则（7）式化为： (7) (8) (9) )(2 xh 为 )(xh 的海 y 0 T T T x 2 2 L    (10) )( xh )( xh )( xh  x  )(2 yxh   2 x  由（9）式可得： )( xh y  将（8）、（10）代入（9）式，可得：   (11) )( )( xhxh  上式的求解维数常规牛顿拉弗逊法的求解维数完全一致。常规牛顿拉弗逊法的修正方程如下： (12) )( xh  相较于（12）式，（11）式的系数矩阵显然是一对称方阵，可以采用求解对称不定矩阵的 LDLT[12]算法求解，而（12）式只能采用针对非对称方阵的算法如 LU 分解法、高斯消去法等求解[8-10]。 LDLT 算法计算速度可比 LU 分解快一倍以上[21]。收  e 敛判据为；潮流方程有解与否仍以 ε 是否为零来判断。３基于矢量化运算的计算公式 max{ L L } , 5 0 0 y x 3.1 潮流方程的矢量化表达电力系统潮流方程（1）即为节点功率方程，由节点注入复功率公式按实、虚部展开而成，节点注入复功率公式如下： Q    ) Di P Gi  I i  ( Qj Gi  VY ij ， j P Di n  j 1  其中 ˆ  IV i i    , YIV i i ij , i  ， nS 均为复数。将上述公式按矢量化方式表示可得：   ( ( VYVQQj PPS    G D  0) Re( S P     Im( 0) S Q    * ) 0    ) D G (11) 3.2 一阶导数矩阵的矢量化表达 )(xh 式（7）~（10）中的即为常规牛顿法潮流计算中雅克比矩阵的转置矩阵，即：

 ( xh T )  P       P  e  Q  e         为例，当 j   f  Q  f  i  时，矩阵非对角元为 NH L J (12)        P e T ( eG  i ij  fB ij i ) ；当 j i  时，矩阵对角元以 H ij  P  i e  j P  i e  i n ii   为 H ( eG  ii i  1  两式可按矢量化方式统一表示为： diag fB ii Ge Bf    ) ( ) j i H e diag diag (13)  , 表示以 fe, 的元素作为对角元素的对 f diag diag 表示将矢量转换为对角矩阵。 Ge Bf  ( ) 式中 diag 角矩阵； ( eG ij  fB ij j ) j 。 )( 同理可得： N J L ( Be ( Be ( Ge )  )  )  3.3 海森矩阵的矢量化表达 Gf Gf Bf       diag diag diag diag diag diag diag diag diag ( ( ( Gf Gf Ge    Be Be Bf ) ) ) (14) (15) (16) y pi  n  i 1  2 P  i fe  i j 2 P  ee  2 P  fe  2 P  ff  2 Q  ee  2 Q  fe  2 Q  ff                       y p  y p  y p  y q  y q  y q  j 2 i n p n 2 1  y   P  i ee  1 i  i P  ef  2 P  i f f  j i 2 Q  ee  1 i  i Q  ef  2 Q  f f    y 1  2 n q n i i j j y pi i y qi  n  i 1  i y qi y pi ， i y qi 2 Q  fe  i j 2 各二阶求导项元素均有统一排列，如 i 节点处有：         P  i ff  P  i ee  0 0 ... 0 0 0 0 G 0 0             1 i in ni ii 2 0 0 G 0 0 0 0 B 1 i 0 0         0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0   G 1 i ... 2 G .... G  B 1 i ... 2 B ii .... B ni 0 0 ... 0 0 0 0 B in 0 0         （8）式中的 Lx 的数学表达式为：       Q  e  Q  f  P  e  P  f  )( yxh        L    y y y y q p q p x  0 2 Q  ee  i  2 Q  ff  i  其中 yp 为（6）中有功潮流方程的拉格朗日乘子；yq 为（6）中无功潮流方程的拉格朗日乘子。以牛顿法求解上式得（9）中 )(2 yxh 项如下：       2 P  ee  2 P  fe  y p  y p  2 Q  ee  2 Q  fe  y q y q 2 P  ef  2 P  ff  y p  y p  2 Q  ef  2 Q  ff  y q y q       2  )( yxh  其中：  2 P  i fe  0   0   0  B  1 i  0  0   0  2 Q  fe  0   0   0  G  1 i  0  0   0   0 0 0 ... 0 0 0 i  ( 0 0 0 ... 0 0 0  ( T ) 2 P  i ef  0 0 0     B 1 i ... B )1( i 0 B )1( i  ... B ni i i      G 1 i ... G )1( i 0 G )1( i ... G  ni  0 0 0 B )1( ii  0 0 0 0 0 0 G )1( ii  0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 B in 0 0 0            0 0 0 G in 0 0 0            i i B 2 )1( ii  0 0 0 Q  ef  0 0 0 i T ) G )1( ii  0 0 0

式（9）~（10）中的 )(2 yxh 项同样可按矢量化方式统一表示为：  1)(2 yxh  2)(2 yxh  2 ( ) yxh ) p ) ) ( ( diag Gdiag Gy y   p ) ( ( diag By Bdiag y   q ( ( ) diag Gdiag Gy y   q q ( ) ) ( diag Bdiag By y   p p    2 2) ( ( 1) yxh yxh    2 2) 1) ( ( yxh yxh     q ) 2 2 T (17)     3.4 Matlab 代码形式以上（11）~（17）式均为矢量化数学表达。利用 Matlab 软件的数学函数，即可写出程序代码。如关于（11）~（17）式的计算代码如下：（1）潮流方程 delt=Y*V; delt1=V.*conj(delt); deltP=PG-PD-real(delt1); deltQ=QG-QD-imag(delt1); hx=[deltP;deltQ]; （2）一阶导数矩阵 H=-(G*diag(e)+B*diag(f))-diag(G*e-B*f); N=(B*diag(e)-G*diag(f))-diag(G*f+B*e); J=(B*diag(e)-G*diag(f))+diag(G*f+B*e); L=(G*diag(e)+B*diag(f))-diag(G*e-B*f); dhx=[H N;J L].'; （3）海森矩阵 tmp1=-diag(yp)*G-G*diag(yp) +diag(yq)*B+B*diag(yq); tmp2=diag(yq)*G-G*diag(yq) +diag(yp)*B-B*diag(yp); d2hx=[tmp1 tmp2.';tmp2 tmp1]; 平衡节点和 PV 节点按潮流计算原则作相应处理。可以看到，充分利用矢量化和矩阵运算功能，进行基于矢量与矩阵运算方式的编程，可轻易地获取简洁高效的程序代码，提高编程效率，使得编制高质量的潮流计算程序的如同书写公式一般简单。 4 仿真研究及算例分析选取 IEEE118 系统、IEEE300 系统、华南 C703 系统作仿真算例，并与传统牛顿-拉弗逊法作比较。所用计算机是 IBM 兼容机，CPU 为 1.6G, 内存为 512MB。，编程软件 Matlab6.5。 1) 系统正常运行状态求解。表 1 正常状态下各个系统测试结果 Tab.1 Test results of each system in normal status IEEE300 3.1919e-12 2.9579e-13 C703 5 5 0.213 秒 5 0.433 秒 5 0.14 秒 5 0.27 秒 5 0.059 秒 0.122 秒计算结果对比显示本文模型及算法和传统牛顿-拉弗逊法对各个系统正常状态进行计算所得解及迭代次数完全一致，各节点电压和支路潮流等均无越限情况，但计算时间稍长。这是因为本文模型及算法除了要计算雅克比矩阵以外，还须计算海森矩阵。同时修正方程（10）的求解维数也大于牛顿 -拉弗逊法的修正方程维数。同时可看到，采用 AMD+LDLT 分解法解修正方程在解大系统时可比常规 LU 分解节约 30%以上的 CPU 时间，计算速度大幅提升。以下给出正常状态下的迭代收敛曲线： ∑|ε| IEEE118 IEEE300 C703 1.00E-01 1.00E-03 1.00E-05 1.00E-07 1.00E-09 1.00E-11 1.00E-13 1 2 3 4 5 6 迭代次数 k 图 1 正常状态下各系统目标值迭代收敛曲线 Fig.1 Objective functions with iterations in normal status Max{|Lx0|,|Ly0|} IEEE118 IEEE300 C703 1.00E+02 1.00E+00 1.00E-02 1.00E-04 1.00E-06 1.00E-08 1.00E-10 1 2 3 4 5 6 迭代次数 k 图 2 正常状态下各系统收敛判据迭代收敛曲线 Fig.2 Convergence criterion with iterations in normal status 2）病态系统的求解。可取各系统中某一负荷节点，将其负荷调高至牛顿-拉弗逊法完全无法收敛求解。之后，用本文模型及算法进行计算，结果如下：表 2 病态系统测试结果 Tab.2 Test results of ill-conditioned system 算法系统名称本文模型和算法 ∑|ε| LU 分解 AMD+LDLT 分解迭代运行迭代运行次数时间次数时间牛顿拉弗逊法迭代运行次数时间算法系统名称本文模型和算法牛顿拉弗逊法 IEEE118 ∑|ε| LU 分解 AMD+LDLT 分解迭代次数运行时间迭代次数运行时间迭代次数运行时间节点 118 有功负荷 4.5352e-1 22 0.373 秒 22 33.0→933.0 0.322 秒不收敛 IEEE118 2.8470e-13 4 0.0861 秒 4 0.074 秒 4 0.035 秒

IEEE300 节点 300 有功负荷 9.0178e-2 13 0.494 秒 13 2.71→62.71 C-703 节点 703 有功负荷 1.6593 23 1.68 秒 23 0.314 秒不收敛 1.045 秒不收敛 55.0→755.0 可以看到，在潮流无解,常规直接迭代求解算法无法收敛时，本文模型及算法仍然可以进行迭代收敛，但目标值收敛于不为零的正值上，即潮流方程无解。AMD+LDLT 分解法解修正方程体现出其高效的求解能力，其计算结果与 LU 分解完全一致，但计算时间大为减少，系统规模越大，效果越明显。以下给出病态系统求解时的迭代收敛曲线： ∑|ε| 1.00E+01 1.00E+00 1.00E-01 1.00E-02 1.00E-03 1.00E-04 1.00E-05 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 IEEE118 IEEE300 C703 23 21 迭代次数 k 图 3 病态系统目标值迭代收敛曲线 Fig.3 Objective functions with iterations in ill-conditioned Max{|Lx0|,|Ly0|} IEEE118 IEEE300 C703 1.00E+04 1.00E+02 1.00E+00 1.00E-02 1.00E-04 1.00E-06 1.00E-08 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 迭代次数 k 图 4 病态系统迭代收敛曲线(KKT 条件) Fig.4 KKT conditions with iterations in ill-conditioned 6 结论与展望本文建立了可完全保证迭代过程收敛的电力系统潮流计算非线性规划模型，推导了完整的矢量化公式，并采用 AMD 优化排序加 LDLT 分解算法来求解修正方程。通过对 IEEE118、IEEE300，C703 等系统的 Matlab 编程仿真计算，充分显示出新模型的简洁、直观、易用等特点，可以在电力系统的各种状态下进行计算，适应范围广泛。新算法收敛性良好，适于处理大规模约束和变量，可求解大规模系统，是高效和成功的。矢量化方法则可以大大缩短建立数学模型与开发程序的周期，加速了算法的实用化进程。该数学规划模型仍有扩展空间。将传统电力系统潮流的直接迭代求解转化为对一简单规划问题的求解后，对系统运行中各部分的控制可更加简便。增加适当的不等式约束和相关控制变量，即可获得近似于最优潮流的计算模型，可方便的进行潮流计算中的各种调整。如何将新模型和新算法进一步的应用至电力系统的分析计算中，是未来研究的目标。参考文献 [1] Sasson A M, et al，Improved Newton’s Load Flow Through a Minimization Technique[J]. IEEE Trans in Power Apparatus and Systems, 1971, PAS-90: 1974-1981. [2] 诸骏伟，电力系统分析[M].中国电力出版社, 1995。 Zhu Junwei, Power Flow Analysis [M]. Chinese Power Publishing Company, 1995. [3] Iwamoto S, Tamura Y, A load flow calculation method for ill conditioned power systems [J]. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, 1981, PAS2100 (4): 1736-1743. [4] 周佃民,廖培金,电力系统病态潮流的同伦方法求解 [J].电力系统 Dianmin, 及其自动化学报,1999,11(5-6):68-71。 Zhou for ill-conditioned power system load flow caculation [J]. Proceedings of the EPSA, 1999,11(5-6):68-71 (in Chinese). [5] 程改红,韩肖清,一种电流型最小化潮流算法的尝试[J].电力系统 Homotopy Peijin, method Liao 及其自动化学报,2001,13(4): 53-57。 Cheng Gaihong, Han Xiaoqing, A current injections based load flow method with minimization technique [J]. Proceedings of the EPSA, 2001, 13(4): 53-57 (in Chinese). [6] 杜正春,周佃民,董继民, 考虑负荷电压静特性的最佳乘子牛顿潮流算法[J].中国电机工程学报, 2002,22(1):102-105。 Du Zhengchun, Zhou Dianmin, Dong Jimin, Optimal multiplier Newton method of load flow with static load characteristics [J]. Proceedings of the CSEE, 2002, 22(1): 102-105 (in Chinese). [7] 王承民,蒋传文,侯志俭,基于节点不平衡功率的病态潮流算法[J]. Chengmin, 上海交通大学学报, 2004,38(8): 1283-1286。 Wang The Hou Ill-conditioned Load Flow Algorithm Based on Node Lopsided Powers [J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2004, 38(8): 1283-1286 (in Chinese). Chuanwen, Zhijian, Jiang [8] 蔡中勤，郭志忠, 基于逆流编号法的辐射型配电网牛顿法潮流 [J]．中国电机工程学报，2000，20(6)：13-16。 Cai Zhongqin ， Guo Zhizhong ． Newton load flow for radial distribution network based on upstream labeling technique [J]. Proceedings of the CSEE，2000，20(6)：13-16(in Chinese)． [9] 魏文辉，袁启海等，类型扩展潮流计算的研究及应用[J]．电网技术，2003，27(11)：25-29。 Wei Wenhui，Yuan Qihai，et al．Research and application of extended-type load flow calculation[J] ． Power System Technology, 2003，27(11)：25-29(in Chinese)． [10]朱凌志，安宁，基于二维链表的稀疏矩阵在潮流计算中的应用 [J]．电网技术，2005，29(8)：51-55。 Zhu Lingzhi，An Ning，Application of two-dimensional chain table based sparse matrix in power flow calculation [J]．Power System Technology, 2005，29(8)：51-55(in Chinese)． [11]Amestoy P, Davis T.A, Duff I.S., Algorithm 837: AMD, An approximate minimum degree ordering algorithm [J]. ACM Transactions on Mathematical Software，2004，30(3)：381-388. [12]Davis T.A. Algorithm 849: A concise sparse Cholesky factorization package [J]. ACM Transactions on Mathematical Software，2005，31(4)：587-591. [13]Hua Wei，Sasaki H，Kubokawa J. An interior point nonlinear programming for optimal power flow problems with a novel data structure[J]. IEEE Trans on Power System ， 1998 ， 13(3) ：

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