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博弈论算法讲义.docx
博弈论算法
1.1博弈的战略式表述
1.2纳什均衡的定义
1.3囚徒困境
2.1纯零和对策
定义1鞍点
定义2赢得矩阵的鞍点
定理1极大极小原理
定理2零和对策解的判定
2.2零和对策的混合策略
定义3混合策略
定义4混合策略对策问题的鞍点
定理3鞍点的判定
定理4鞍点的存在性
定理5加法律
定理6乘法律
定理7对称律
2.3零和对策的线性规划解法
3.1纯策略问题
定义5双矩阵对策的Nash平衡点
3.2混合对策问题
混合对策问题的基本概念
定义6 非合作平衡点
定理8双矩阵对策非合作平衡点的存在性
定理9双矩阵对策非合作平衡点的判定
混合对策问题的求解方法
举例：对抗赛
四、N人合作博弈
5.1博弈论的扩展式表述
5.2博弈树的构造
结（nodes）
枝（branches）
信息集（information sets）
六、主要参考资料
博弈论算法
一、博弈的战略式表述及纳什均衡的定义
在博弈论里，一个博弈可以用两种不同的方式来表述：一种是战略式表述（strategic form
representation），另一种是扩展式表述（或译为“展开式表述”）（extensive form representation）。
从分析的角度看，战略式表述更适合于静态博弈，而扩展式表述更适合于讨论动态博弈。
1.1 博弈的战略式表述
战略式表述又称为标准式表述（normal form representation）。在这种表述中，所参与人同时选择各自
的战略，所有参与人选择的战略一起决定每个参与人的支付。
i
战略式表述给出：
1,2,
,
。
1.博弈的参与人集合：
1,2,
2.每个参与人的战略空间： ,
iS i
。
,
,
(
n
i
u s s
3.每个参与人的支付函数： 1
2
i
,
u
代表战略式表述博弈。
我们用
例如在两个寡头产量博弈里，企业是参与人，产量是战略空间，利润是支付;战略式表述博弈为：
G S
1
。
n
n
),
,
,
s
n
;
S u
1
n
1,2,
,
,
,
,
,
n
0;
1
(
,
q q
1
2
),
2
(
,
q q
1
2
)
(1.1)
,
，战略组合
s
s
1
i
,
u
n
s
1
s
1
i
s
,
,
,
,
i
,
s
i
1 ,
s
是一个纳
,
s
的情况下第 个参与人
n
s
n
,
,
0,
q
2
这里 iq 、 i别表示第 i 个企业的产量和利润。
1.2 纳什均衡的定义
G q
1
有 n 个参与人的战略式表述博弈
;
S u
1
n
什均衡。如果对于每一个i 、 is 是给定其他参与人选择
的最优战略，即
G S
1
,
,
,
u s s
i
i
或者用另一种表述方式， is 是下述最大化问题的解:
(
u s
i
i
s
)
(
,
i
i
),
S
,
s
i
i
i
1, 2,...,
我们用这个定义来检查一个特定的战略组合是否是一个纳什均衡。
argmax
,
s s
1
i
i
(
u s
1
i
,...,
,...,
s
1
i
s
i
),
s
n
i
,
(1.2)
(1.3)
;
n s
i
S
i
1.3 囚徒困境
两个嫌疑犯作案后补警察抓住，被分别关在不同的房间里审讯。警察知道两人有罪，但缺乏足够的证
据定罪，除非两人当中至少有一个人坦白。警察告诉每个人：如果两个都不承认，每个人都以轻微的犯罪
判刑 1 年；如果两人都坦白，各判刑 8 年；如果两人中一个人坦白另一个人抵赖，坦白的释放出去，抵赖
的判刑 10 年。这样，每一个嫌疑犯面临四个可能的后果：获释（自己坦白同伙抵赖）；被判刑 1 年（自己
抵赖同伙也抵赖）；被判刑 8 年（自己坦白同伙也坦白）；被判刑 10 年（自己抵赖但同伙坦白）。
囚徒困境
囚犯 B
表 1
坦白
抵赖
囚犯 A
坦白 (-8,-8)
(0,-10)
抵赖 (-10,0)
(-1,-1)
在这个博弈中，每个囚徒都有两种可选择的战略：坦白或抵赖。显然，不论同伙选择什么战略，每个
囚徒的最优战略是“坦白”，比如说，如果 B 选择坦白，A 选择坦白时支付为-8，选择抵赖时的支付为-10，
因而坦白比抵赖好；如果 B 选择抵赖，A 坦白时的支付为 0，抵赖时的支付为-1，因而坦白还是比抵赖好。
就是说，“坦白”是囚徒 A 的占优战略。类似的，“坦白”也是 B 的占优战略。
在囚徒困境里，（坦白，坦白）是一个纳什均衡，而（抵赖，抵赖）不是一个纳什么均衡，因为给定
同伙选择抵赖，自己选择抵赖时得到-1，选择坦白时得到 0，因而抵赖不是自己的最优战略，类似的，（坦
白，抵赖）和（抵赖，坦白）也不是纳什均衡。
二、矩阵对策
2.1 纯零和对策
矩阵对策也叫零和对策，是一类特殊的对策问题。在这类对策中，只有两名局中人，每个局中人都只
有有限个策略可供选择。在任一纯局势下，两个局中人的赢得之和总是等于零，即双方和利益是激烈对抗
的。
设局中人 I 、 II 的策略集分别为：
S
1
m
,
,
1
,
S
2
1
n
,
,
(2.1)
当局中人 I 选定策略 i和局中人 II 选定策略 j 后，就形成了一个局势 (
j ,可见这样的局势共有
i
)
,
mn 个，对任一局势 (
i
,
)
j ，记局中人 I 的赢得值为 ija ，并称
a
a
1
12
a
a
22
2
a
a
a
11
a
21
a
A
1
m
m
2
n
n
mn
为局中人 I 赢得矩阵（或为局中人 II 的支付矩阵）。由于假定对策为零和的，故局中人 II 的赢得矩阵就是
A 。
当局中人 I 、 II 和策略集 1S 、 2S 及局中人 I 的赢得矩阵 A 确定后，一个零和对策就给定了，零和对
策又可称为矩阵对策，并可简记成：
1
双方都应考虑到对方有使自己损失最大的动机。
G S S A
;
,
2
定义 1 鞍点
)
设 ( ,
y B ，有
f x y 为一个定义在 A y B
及
x
上的实值函数，如果存在
x
,
A y
使得一切 x A 和
B
( ,
f x y
)
(
,
f x y
)
(
,
f x y
)
(2.2)
,
x y
为函数 f 的一个鞍点。
)
则称 (
Mathematica 画图说明鞍点
定义 2 赢得矩阵的鞍点
设
G S S A
;
,
1
2
a
i
j
)
相对应的元素 i
V
成立，记 G
阵中与 (
,
j
定理 1 极大极小原理
，记
G S S A
设
;
,
i
1
2
,
,
S
1
,
1
为矩阵对策，其中
max min
j
2
m
min max
a
a
ij
ij
S
1
2
n
a
i
j
,
，则称 GV 为对策G 的值，使式成立的纯局势 (
j
(2.3)
)
为对策G 鞍点或稳定解，赢得矩
ja 称为赢得矩阵的鞍点， i 和 j 分别称为局中人 I 与 II 的最优纯策略。
,
A
(
)
a
ij n m
。若等式
,
,
,
,
2
j
i
i
i
max min ij
a
，
min max ij
a
i
j
j
i
，则必有
0
定理 2 零和对策解的判定
零和对策G 具有稳定解的充要条件是
0
2.2 零和对策的混合策略
定义 3 混合策略
设局中人 I 用概率 ix 选用策略 ia ，局中人 II 用概率 jy 选用策略 j ，
1(
x
,
x
那么
,
x
m
)T
，
y
1(
y
,
,
y
n
)T
，则局中人 I 的期望赢得为 ( ,
E x y
)
y
j
1
，记
n
m
x
i
1
i
T
x Ay
。
1
j
1 :S 策略
概率
, m
1,
1,
x
, m
x
:S 策略
2
概率
1,
n
,
1,
y
,
y
n
分别称 1S 与 2S 为局中人 I 和 II 的混合策略。一般的记法如下：
,
m
0,
) |
T
{(
1,
i
,
,
S
1
x
m
x
1
x
i
;
S
2
{(
y
1
,
,
y
n
) |
T
y
j
0,
j
1,
,
;
n
m
i
1
n
j
1
x
i
1}
y
j
1}
定义 4 混合策略对策问题的鞍点
若存在 m 维概率向量 x 和 n 维向量 y ，使得对一切 m 维向量 x 和 n 维向量 y 有
T
x Ay
x y 为混合策略对策问题的鞍点。
)
则称 ( ,
定理 3 鞍点的判定
设
x
S ，
1
y
S ，则( ,
2
max
x
T
x Ay
min
y
T
x Ay
的解的充要条件是：
2
1
,
;
)
x y 为
G S S A
n
T
x Ay
T
x Ay
a x
ij
i
a y
ij
1
m
1
j
j
i
,
i
,
j
1,2,
,
m
1,2,
,
n
定理 4 鞍点的存在性
任意混合策略对策问题必存在鞍点，即必存在概率向量 x 和 y ，使得：
T
x Ay
下面是三个关于零和对策解集的定理，设零和对策G 的解集为 (
T G
T
x Ay
min
y
T
x Ay
max
x
)
定理 5 加法律
设两个零和对策
G
1
S S A G
1
2
;
,
,
2
1
(2.4)
(2.5)
定理 6 乘法律
设两个零和对策
G
1
S S A G
1
2
;
,
,
2
{ },
a
ij
A
2
{
a
ij
},
L L
为任一常数。则
2
;
,
S S A
2
1
(i)
V
V
G
G
2
1
)
(ii) (
T G
1
A
，其中 1
L
(
T G
2
)
0 为任一常数。则
,
S S
1
2
(i)
V
G
2
(ii) (
T G
1
;
A
，其中
V
G
1
)
T G
2
(
)
定理 7 对称律
G S S A
设
;
,
1
2
为一零和对策，且
A
A 为反对称矩阵（亦称这种对策为对称对策）。则
T
GV
(
T G T G
1
T G 为局中人 I 和 II 的最优策略集。
(i)
(ii)
0
)
)
(
2
)
)
T G 和 2(
其中 1(
2.3 零和对策的线性规划解法
2m 且 2n 时，通常采用线性规划方法求解零和对策问题
当
局中人 I 选择混合策略 x 的目的是使得
T
x Ay
T
x Ay
max min
y
x
max min
y
x
(
T
x A
n
j
1
y e
j
j
) max min
y
x
n
j
1
E y
j
j
其中 je 为只有第 j 个分量为 1 而其余分量均为零的单位向量，
y
E y
j
0(
jy
，
在
1
j
n
n
j
j
min
Y
j
1
于
j
时达到最小值u ，故 x 应为线性规划问题。
k
)
E
j
T
x Ae
j
。记
u E
k
min
j
E
j
，由
a x
ij
i
,
u j
1,2,
,
n
E
即
j
E
k
1
u
m
ky ，
max
1
i
x
i
. .
s t
1
m
x
i
i
1
0,
i
1,2,
,
m
(2.6)
(2.7)
(2.8)
解。
同理， y 应为线性规划
max
. .
s t
v
n
j
1
n
1
j
y
j
a y
ij
j
,
u i
1,2,
,
m
y
j
1
0,
j
1,2,
,
n
由线性规划知识，和两个互为对偶线性规划，它们具有相同的最优目标函数值。
不妨设 0u ，对变换
则线性规划问题化为
x
'
i
x
i
u
,
i
1,2,
,
m
m
i
1
m
1
i
'
x
i
min
. .
s t
x
'
i
a x
ij
'
i
1,
j
1,2,
,
n
0,
i
1,2,
,
m
同理，对作变换
则线性规划问题化为
y
'
j
y
j
v
,
j
1,2,
,
n
max
y
'
i
m
1
i
n
. .
s t
1
j
'
y
j
a y
ij
'
j
1,
i
1,2,
,
m
0,
j
1,2,
,
n
(2.9)
三、双矩阵对策
双矩阵对策又叫二人非常数和对策。
所谓常数和对策是指局中人 I 和局中人 II 所赢得的值之和为一常数。显然，二人零和对策是二人常数
和对策的特例，即常数为零。
对于二人常数和对策，有纯策略对策和混合策略对策，其求解方法与二人零和对策是相同的。二人非
常数和对策也称为双矩阵对策。也有纯策略对策和混合策略对策两种策略。
3.1 纯策略问题
囚徒困境是一个典型的二人非常数和对策，每人的赢得矩阵是不相同的。
对于一般纯策略问题，局中人 I 、 II 的赢得矩阵如表 2 所示。其中局中人 I 有 m 个策略 1
, , ，
m
局中人 II 有 n 个策略 1
1
(
C
{ ,
1
n
G S S C C
1
)ij
c
m
1
,
,
2
n
, , ，分别记为
{
,
S
＝
1
1
m
为局中人 I 的赢得矩阵， 2
2
)ij
(
C
c
2
}
,
＝
2
, }
{ ,
1
n
},
S
为局中人 II 的赢得矩阵。因此，双矩阵对策记为
m
n
表2
)
)
(
1
c
22
2
,
c
22
2
,
c
m
1
2
,
c
11
1
c
11
(
)
(
2
1
2
,
c
c
12
12
(
1
c
21
)
2
,
c
21
2
,
c
1
m
(
1
c
1
m
)
(
1
c
m
2
)
2
策略
1
2
m
min max
j
i
n
2
,
c
1
n
1
c
1
n
(
)
(
1
c
2
n
1
c
mn
2
,
c
2
n
2
,
c
mn
)
)
(
2
c
ij
定义 5 双矩阵对策的 Nash 平衡点
设
G S S C C
{ ,
1
,
,
2
1
2
}
是一双矩阵对策，若等式
1
c
j
i
min max
1
c
ij
2
,
c
j
i
j
i
(3.1)
)
为
成立，则记
v
1
1
c
i
j
，并称 1v 为局中人 I 的赢得值，记，并称 2v 为局中人 II 的赢得值，称 (
j
,
i
G 在纯策略下的解（或 Nash 平衡点），称 i 和 j 分别为局中人 I ， II 的最优纯策略。
实际上，定义 5 也同时给出了纯策略问题的求解方法。
因此，对于囚徒困境的例子， ((1,0),(1,0)) 是 Nash 平衡点，这里 (1,0) 表示以概率 1 取第一个策略，
也就是说，坦白是他们的最佳策略。
3.2 混合对策问题
如果不存在使式成立的对策，则需要求混合对策。类似于二人零和对策情况，需要给出混合对策的最
优解。
混合对策问题的基本概念
定义 6 非合作平衡点
G S S C C
在对策
}
{ ,
1
,
,
1
2
2
中若存在策略对
x
,
S y
1
使得
S
2
1
T
x C y
2
T
x C y
,
v
x y 为 G 的一个非合作平衡点。记
1
)
1
T
,
x C y
x
2
T
,
y
x C y
1
2,
T
x C y v
S
1
S
2
2
T
x C y
(3.2)
，则称 1
2,v v 分别为局中人 I ，II 的
对称 (
赢得值。
对于混合对策问题有以下三个定理。
定理 8 双矩阵对策非合作平衡点的存在性
每个双矩阵对策至少存在一个非合作平衡点。
定理 9 双矩阵对策非合作平衡点的判定
G S S C C
,
,
1
2
}
的平衡点的充分必要条件是
1
c y
ij
j
1
T
x C y
,
i
1,2,
m
…,
2
c x
ij
i
2
T
x C y
,
j
1,2,
n
…,
(3.3)
2
)
混合策略 (
,
x y 为对策
{ ,
1
n
混合对策问题的求解方法
1
n
1
j
i
由定义 6 可知，求解混合对策就是求非合作对策的平衡点，进一步由定理 8 得到，求解非合作对策的
平衡点，就是求解满足不等式约束的可行点。因此，混合对策问题的求解问题就转化为求不等式约束的可
行点，而 LINGO 软件可很容易做到这一点。
举例：对抗赛
有甲、乙两支游泳队举行包括三个项目的对抗赛。这两支游泳队各有一名健将级运动员（甲队为李，
乙队为王），在三个项目中成绩都很突出，但规则准许他们每人只能参加两项比赛，每队的其他两名运动
员可参加全部三项比赛。已知各运动员平时成绩（秒）见表 3。
100 米蝶泳
100 米仰泳
100 米蛙泳
赵
59.7
67.2
74.1
甲队
钱
63.2
68.4
75.5
王
58.6
61.5
72.6
乙队
张
61.4
64.7
73.4
孙
64.8
66.5
76.9
假定各运动员在比赛中都发挥正常水平，又比赛第一名得 5 分，第二名得 3 分，第三名得 1 分，问教
练员应决定让自己队健将参加哪两项比赛，使本队得分最多？（各队参加比赛名单互相保密，定下来后不
准变动）
解 分别用 1 、 2 和 3 表示甲队中李姓健将不参加蝶泳、仰泳、蛙泳比赛的策略，
分别用 1、 2 和 3 表示乙队中王姓健将不参加蝶泳、仰泳、蛙泳比赛的策略。
当甲队采用策略 1，乙队采用策略 1时，
在 100 米蝶泳中，甲队中赵获第一、钱获第三得 6 分，乙队中张获第二，得 3 分；
在 100 米仰泳中，甲队中李获第二，得 3 分，乙队中王获第一、张获第三，得 6 分；
在 100 米蛙泳中，甲队中李获第一，得 5 分，乙队中王获第二、张获第三，得 4 分。
也就是说，对应于策略 1
表 4 给出了在全部策略下各队的得分。
(
) 甲、乙两队各自的得分为 (14,13) 。
,
2
表3
李
57.7
63.2
70.3
表4
策略
1
2
3
1
(14,13)
(13,14)
(12,15)
计算支付矩阵的 Matlab 程序，运行
2
(13,14)
(12,15)
(12,15)
3
(12,15)
(12,15)
(13,14)
按照定理 8，求最优混合策略，就是求不等式约束的可行解，
求解最优混合策略的 LINGO 程序。
求得甲队采用的策略是 1 、 3 方案各占 50％，乙队采用的策略是 2 、 3 方案各占
50％，甲队的平均得分为 12.5 分，乙队的平均得分为 14.5 分。如表 5 所示。
策略
1 0.5
2 0.0
3 0.5
四、N 人合作博弈
1 0.0
(14,13)
(13,14)
(12,15)
表5
2 0.5
(13,14)
(12,15)
(12,15)
3 0.5
(12,15)
(12,15)
(13,14)
五、博弈的扩展式表述和动态博弈
5.1 博弈论的扩展式表述
,
n
i
，此外，我们将用 N 来表示虚拟参与人“自然”；
具体来讲，博弈的扩展式表述包括以下要素：
1. 参与人集合： 1,
2. 参与人的行动顺序：谁在什么时候行动；
3. 参与人的行动空间：在每次行动时，参与人有些什么选择；
4. 参与人的信息集：每次行动时，参与人知道些什么；
5. 参与人的支付函数：在行动结束之后，每个参与人得到些什么（支付是所有行动的函数）；
6. 外生事件（即自然的选择）的概率分布。
5.2 博弈树的构造
设想你是一家房地产开发商（为了讨论方便，我们称你为“开发商 A”，正在考虑是否要在北京的某一
地段开发一栋新的写字楼。你面临的选择是开发或不开发。如果决定开发，你必须投入 1 亿资金；当然，
如果决定不开发，你的资金投入为 0。在做这个决定时，你关心的当然是开发是否有利可图。
像房地产这样的市场充满了风险。风险首先来自市场需求的不确定性。需求可能大，也可能小。风险
的另一个来源是你的竞争对手，房地产开发商 B。让我们假定开发商 B 也面临与你同样的决策问题：是否
投入 1 亿资金开发一栋同样的写字楼。
假定，如果市场上有两栋楼出售，需求大时，每栋售价可达 1.4 亿，需求小时，售价为 7 千万；如果
市场上只有一栋楼出售，需求大时售价为 1.8 亿，需求小时为 1.1 亿。这样，有以下 8 种可能的结果：
1. 需求大，你开发，他不开发；你的利润为 8 千万，他的利润为 0。
2. 需求大，你不开发，他开发；你的利润为 0，他的利润为 8 千万。
3. 需求大，你开发，他也开发；你的利润为 4 千万，他的利润为 4 千万。
4. 需求大，你不开发，他也不开发；你和他的利润为都为 0。
5. 需求小，你开发，他不开发；你的利润为 1 千万，他的利润为 0。
6. 需求小，你不开发，他开发；你的利润为 0，他的利润为 1 千万。
7. 需求小，你开发，他也开发；你的利润为-3 千万，他的利润为-3 千万。
8. 需求小，你不开发，他也不开发；你和他的利润为都为 0。
在这个例子中，无论开发商 A 还是开发商 B，在决定是否开发时，不仅要考虑市场需求的大小，而且
要考虑对方的行动。
我们假定该博弈的行动顺序如下：
（1） 开发商 A 首先行动，选择开发或不开发；
（2） 在 A 决策后，自然选择市场需求的大小；
（3） 开发商 B 在观测到 A 的决策和市场需求后，决定开发或不开发。
博弈树的基本建筑材料包括结（nodes）、枝（branches）和信息集（information sets）。
结（nodes）
图1 房地产开发博弈I
''
,
,
x
x
x
x 意味着 x 在 ''x 之前。
结包括决策结（decision nodes）和终点结（terminal nodes）两类；决策结是参与人采取行动的时点，
终点结是博弈行动路径的终点。
一般地，我们用 X 来表示所有结的集合， x X 表示某个选定的结。用 表示定义在 X 上的顺序关
系（precedence relation）：
定义 ( )P x 为 x 之前的所有结的集合，简称为 x 的前列集（the set of precedene）；
定义 ( )T x 为 x 之后的所有结点的集合，简称为 x 的后续集（the set of successors）。
如果 ( )
P x
如果 ( )
T x
除终点结之外的所有结都是决策结。
每一个终点结完全决定了博弈树的路径，我们可以用函数 ,( )
与人的支付函数。
枝（branches）
称为初始结（initial nodes）
称为终点结（terminal nodes）。
u z 表示对应的博弈路径所导致的第 i 个参
在博弈树上，枝是从一个决策结到它的直接后续结的连线（有时用箭头表述），每一个枝代表参与人
的一个行动选择。
一般地，对于一个给定的决策结， x X ，存在一个有限的行动集合 ( )A x 和一个一一对应的函数
: ( )
a t x
t x 是 x 直接后续结的集合。
，这里 ( )
( )
A x
信息集（information sets）
博弈树上的所有决策结分割成不同的信息集。每一个信息集是决策结集合的一个子集。该子集包括所
有满足下列条件的决策结：
（1） 每一个决策结都是同一参与人的决策结；
（2） 该参与人知道博弈进入该集合的某个决策结，但不知道自己究竟处于哪一个决策结，引入信息
集的目的是描述下列情况：当一个参与人要作出决策时他可能并不知道“之前”发生的所有事
情。
为了给出信息集的直观解释：
在图 1 中，假定开发商 B 是在知道 A 的选择和自然的选择之后决策的，此时，博弈树的 7 个决策结分
割成 7 个信息集，其中一个（初始结）属于 A，两个属于 N，四个属于 B；每个信息集只包含一个决策结，
意味着所有参与人在决策时准确地知道自己处于哪一个决策结。
如果对上述假设作一个小小的改动，假定行动顺序不变，但 B 在决策时并不确切地知道自然的选择。
此时，B 的信息集由原来的四个变成两个，每个信息集包含两个决策结。两个信息集分别对应着 B 必须作
出的两个不同的决策：如果 A 开发，自己开发；如果 A 不开发，自己是否开发。在图 2 中，我们用虚线将
属于同一信息集的两个决策结连接起来（或用虚线圈起来）。
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