考研数学高数冲刺常考结论、公式答题技巧总结【超赞】1.pdf-资料库

第一部分：文登精编的高数小结论   1 ln[1  x ]  arc sin x  arctan x 时  2 x  1 2 2 x 0 |  x |  1 cos    1．等价无穷小（x→0） e (1).sin x    x x x (2).1 cos  x a x ) (3).(1   a (4). 1 x  (5).1  n 1  (6). 1 n   x 2 x  tan 1 2  ax 1  x a ln x n x n    1 x x ) x a ln  (7).log (1 a 0   x 2． sin x 时  2 x   tan x 3． 4. 5． U 如果 V U 1,lim lim  U e lim V V 1) lim(   则 x f x f ( ) (   2 L y : kx b  直线 )  f x ( ) x k  lim x  表示偶函数， f x ( ) f (  x )  2 表示奇函数 y 为函数  f x ( ) 的渐近线的充分必要条件为： b  lim[ x  f x ( )  kx ] 这里的包括和      6．常见函数的导数 (记熟后解题快) ( x )'  1 2 x ( 1 x )'   1 x 2 7.关于 n 阶导数的几个重要公式 x ( x )'  x x x (1 ln ) 

n  ) 2 x  n  ) 2 x (sin ) n ( )  sin( x  (sin kx ) n ( )  n k sin( n ( x ) n ( )  n ! x ( e ) n ( )  x e x (cos ) n ( )  cos( x  (cos kx ) n ( )  n k cos( n  ) 2 x  n  ) 2 x ( a ) n ( )  x ( a ( 1  t x n ( ) )  n a )(ln ) n ! x t ) (  ( 1) n  t (  n 1  1)! n ( 1   x )  n ( 1  t x n ( ) )  n ( 1) ! n  t x ( ) n 1   8. 泰勒公式(用来求极限) t [ln(  x )] n ( ) 6 ) cos x 1   x 2 2! o x ( 3 ) ln(1  x )   x  x 4 4! x 2 2   5 o x ( ) x 3 3  3 o x ( ) 1) 2 x  a a (  a  2) 1)( 3! 3 x  3 o x ( )  3 o x ( ) cot x    o x ( ) 1 x x x 3  2 arccos    x 1 6 3 x  3 o x ( )  x 3 3! x 2 2! ax  o x (  x 5 5! x 3 3! a a (  2!   sin x   x x e    1 x (1  a x ) 1   tan x   x x 3 3 arcsin x   x arctan x   x x tan(tan )   x 3 x 1 6 x 3 3 2 3  3 o x ( )  3 o x ( ) 3 x  3 o x ( ) x sin(sin )   x 1 3 3 x  3 o x ( )   x (sec ) d x (tan ) n 2 x (tan ) n 1) (2  9．重要不定积分  dx n 1) (2  x (sin ) cos  x xdx sec x (sin ) n 1 2      n x (sec ) (2 x (sin ) (2 x (cos ) (2 2) dx 1)  n n 1)  dx n 1) (2   x (cos ) sin x   x [1 (cot ) ] n 2  x (cot ) n 1) (2   d cot x  C 1  1 cos  1 1 sin  dx  tan dx  tan x x x 2 x  sec x C   2  1 tan  Cx  2   (tan ) x dx n   x (tan ) n (cot n x dx )  (cot n x )  x (sec ) x (sec ) 2 2 x (csc ) x (csc ) 2 2 dx   x (tan ) n x d (tan ) x 1 (tan )  2 dx   x d ) (cot n 1 (cot  (cot x ) 2  x )

tan xdx   ln | cos x C |  cot sec xdx xdx   x C ln | sin | x ln | sec  tan |  x C  csc xdx  ln | csc x  cot x C |  (sin ) x dx 2   x C  ( cox dx ) 2   x C  x 2 x 2 sin 2 1 4 sin 2 1 4  tan x   x C x x C cot     x C 1 arctan  a a (tan ) x dx 2 2 x dx ) 2 x (cot dx a  dx x 2  dx a  dx 2  a x 2  2 2 a  2 2 x  ln | x  2 x  2 a |  C 1 ln | a 2 arcsin  x a C  |  x a  x C  a               2 a  x dx 2  arcsin x a  x 2 2 a  2 x  C 2 x  a dx 2   ln | x  2 x  2 a |  x 2 2 x  2 a  C a 2 2 a 2 2 ax e a   ax b cos bxdx e 2  e ax  b a 2  10． y=sinwx(w>0) bxdx sin  e ax a ( cos bx b  sin 2 bx C  ) a ( sin bx b  cos 2 bx C  ) 它的半个周期与 x 轴围成的面积为 s=2/w 把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为 s’=1/w 显然 s=2s’ S   w 0  sin wxdx  S '    w 3 2  w 3 sin wxdx 2 w 1 w  11. 定积分部分（1）如果函数 f（x）在[-a,a]上连续

a   a f x dx ( )  a  0 [ f x ( )  f (  x dx )]  2 a  0 0( ) 如果为奇函数 f x dx ( ) x f ( ) ( ) 如果为偶函数 f x ( ) （2） (3) (cos  (sin    cos    sin          k l N ,  设   kx cos   cos sin       kx kx   kxdx  0 kxdx  0 2 kx dx ) 2 kx dx )     则  , sin k  且 lxdx l , 0  cos lxdx  0 sin lxdx  0 (4). 设 f(x)是以周期为 T 的连续函数 f x dx ( )  T  0 f x dx ( )  T 2 T  2  f x dx ( ) a nT  f x dx ( )  n T  0 f x dx ( ) a T  a  (1).  (2). (5). 特殊积分 a  0)   e 0   e 0   e 0    2 u du ax dx pt sin   2 1 ( a wtdt a     e 0  pt cos wtdt   sin x dx   2 x  0 w  p  2 w 2 w 2 p 2 p ( p  0, w  0) ( p  0, w  0) (6). 关于三角函数定积分简化( 注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)

f (sin ) x dx  f (cos x dx ) 特别的  2 0  (cos x (sin ) n dx   2 0  (cos n x ) dx x dx ) f  2 0 (1)   (2)  0 f (sin ) x dx   特别的 (3)  0  (cos  x 0 ) n (4)  2  0 (sin x ) (5)  2  0 (cos x )  2 0  2  2 0  dx 0 n 2  dx x (sin ) 0  0  4 0  dx dx   n n  2  2 0  2 0  4 2  n f (sin ) x dx  2   2 0 2  x (sin ) n  2 0  dx n (  2  2 0  (cos n x ) dx 为奇数 ) (cos n x ) dx （ n 为偶数） ) 为奇数 n ( x (sin ) n dx （ n 为偶数） ) 为奇数 n ( (cos n x ) dx （ n 为偶数） 2  (6) (7 )   0  2 0 x (sin ) n dx  x (sin ) n dx   ( 8)  0  xf (sin ) x dx  n 1 x ) (cos 0 n  n n n  n n   2 0 dx n n n n 3 5   2 4   3 5   4 2   x dx (sin ) 1 f n ......... ......... 2 3 1  2 2 ( n 为正奇数 ) ( n 为正偶数 ) 11. 图像分段的函数不一定是分段函数（如 y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如 y=|x|） 12. 如何证明一个数列是发散的？（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值（2）找一个发散的子数列 0  13. 必记极限 n ! n n n (1)lim n  n 1 (2) lim   x (3) lim ln  x n  x 0  (4) lim 0  x  (5) lim  n x x  1 a n n !  0 0 14. 函数 f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时 f(x)在[a,b]上的积分不一定存在列如： f x ( )  1 -1 x 为有理数 x 为无理数 15．注意 f a '( ) 0  若，只能得到结论：在点严格增加。即 a a x f x U ) ( , ( )     有 f x ( )  但不能得到结论：在（a, ）内单调增大    f a ( ); a (  f x ( ) f x ( ) a , )  有  a x f a ( )

16．设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导 g(a)=0  应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x -3x+2)的可导的点 2 显然为 1,2 '( x 0 )  f ''( x 0 )  f '''( x 0 )    f ( n 1)  ( x 0 ) 0  0 0 17. 函数取得极值的第二充分条件 x f 设在处阶可导，且 f )  0 k 2 (1) 且 k 2 (2) (3)n=2k+1 n ) ) 0   ) 0   n (2  x ( n ( ) x ( n ( ) f x ( ) x ( n ( ) n  n  f f 且 0 0 18. 拐点的第二充分条件 0 f f f x ( x ( x ( ) 为极大值 ) 为极小值 ) 不是极值点 0 0 设在处阶可导（n>2且为奇数） ) 0    1)  ( f n 0 ( f x ( ) x f ''( 若 0 x f ( , 则 0 x  x ) ( 0 n x f '''( )) 为拐点  ) 0 x 0 19 .用求导法判断数列的单调性， n ( ) f ( x 0 )  0 n 1  设A  则：(1) (2) f A ( n A 2 A 2 ),   A n A 1 A 1 I  A { } n A { } n I f x ( ) 若在区间上单调递增   注意：若在区间上单调递减 I  A 则： 2 n 1  A 2 n  两数列具有相反的单调性 f x ( )   与 20. 题目中如果出现 f x ''( )   0 f x '( ) 单调 x 1  ln( 21． x  22．无穷小小谈 2 )  x ( x  0) x 当 (1) 当 (2) 当 (3) 当 m x 0  时，有 n m 0     n m o x ( 0 m    o x ( x n    n m 0 m n ) o x ( o x ( )  )  m n  o x ( ) n )  n o x ( ) (4) 当注意：两个不可以相除 o x (  o ()  x o x ( m    o x ( ) m ) o x (  ) n m n , 0 n m n  ) m n  o x ( ) 23．无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO 1 n lim( 之和： n     1 n 1 n k n n ! 1 2 3 n n n n n ! !  n ! 0 显然之积：取   1 n ) 1  ( 其中有无穷多个 1 n ) ( 其中 n    k , 1,2,3  )  n n n !  n ( !) n ( !) n n  1 24．反三角 (1)arctan x  arctan t (2)arcsin(sin )  1 x   2 t   t  2  ,0  2   t ,   t 的最小值求 A b ( )  25． a 2  a 1 | 结论：当b  x b dx |  a a 1 2  2 时 A min b ( )  1 4 ( a 1  a 2 2 ) 26. b  a ( x  a b  2 dx )  0 1  0 ln xdx   1 1 0 m x  (1 1  作用： 0  n x dx ) x (1  1   0 x dx ) 9 n x  (1 1  0  m x dx ) 9 x (1  x dx ) 这下就好求了 27． 28． 29．若f(x)在[a,b]上可积 b b ) a b    f x dx ( ) f a b x dx (  则  特别的当时，有如下推论：  a 1 2 0 f x dx ( ) f x ( )    [ b a a f a b x dx (   )] a  f x dx ( )  f x dx ( )  b  0 1 2 b  （1） 0 b  （2） 0 f b x dx (  ) b  0 [ f x ( )  f b x dx ( )]  30．若f(x)在[a,b]上可积则：  f x dx ( ) dx      ( ) f 0 0 1 x 2 , 1 x 1 2   0 [ f x ( )  1 x 2 f ( 1 x dx )]

31．  f x f ( ) x dx '( )  f x 2( ) 2  C 32．连续函数必有原函数且原函数连续，若 f（x）是不连续的分段函数，则 f（x）的原函数就一定不存在 33．有极限连续     可微偏导连续   有定义偏导存在   34．对  2 0  (sin ) f 2   f (sin ) f x ( )  0 设在上连续，且 x dx [0,1] 有以下结论： x dx a b   进行推广： n n (   0,1,2...) （1）n为奇数 n为偶数 b a b a   xf (sin ) x dx  xf (cos ) x dx  b a n   2 n   2 b a f (sin ) x dx f (cos ) x dx （2）若f(x) 为偶函数，则 b  xf x dx (sin ) n  2 n  2 35．线、面积分中的对称简化 (cos )   x dx xf  a a b b a b   a f (sin ) x dx f (cos ) x dx （1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于轴对称，函数f(x,y)在L上有定义 y 且连续，为的半个区域，则： x  0 L 2 若f(-x,y)=f(x,y) f x y ds ( , )   L 2 f x y ds ( , ) 若f(-x,y)=-f(x,y) f x y ds ( , )   L  L 2 0

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