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《电子测量与仪器》陈尚松版的-课后答案.doc
第二章误差与测量不确定度
2.1 名词解释：真值、实际值、示值、误差、修正值。
答：真值是指表征某量在所处的条件下完善地确定的量值；实际值是指用高一级或高出数级
的标准仪器或计量器具所测得的数值，也称为约定真值；示值是指仪器测得的指示值，即测
量值；误差是指测量值（或称测得值、测值）与真值之差；修正值是指与绝对误差大小相等，
符号相反的量值。
2.2 测量误差有哪些表示方法？测量误差有哪些来源？
答：测量误差的表示方法有：绝对误差和相对误差两种；测量误差的来源主要有：（1）仪器
误差（2）方法误差（3）理论误差（4）影响误差（5）人身误差。
2.3 误差按性质分为哪几种？各有何特点？
答：误差按性质可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。各自的特点为：
系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，
按一定规律变化；
随机误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化；
粗大误差：在一定条件下，测量值显著偏离其实际值。
2.4 何谓标准差、平均值标准差、标准差的估计值？
答：标准差是指对剩余误差平方后求和平均，然后再开方即
1
n
n 1
i
(
x
i
2
x
)
；
平均值标准差是任意一组 n 次测量样本标准差的 n 分之一，即
)(
xs
)(
xs
n
；
标准差的估计值即
)(
xs
n
(
x
i
x
2)
。
1
1
n
1
2.5 归纳比较粗大误差的检验方法。
答：粗大误差的检验方法主要有莱特检验法，肖维纳检验法以及格拉布斯检验法。
i
莱特检验法：若一系列等精度测量结果中，第 i 项测量值 xi 所对应的残差 i 的绝对值
i ＞3s（x）则该误差为粗差，所对应的测量值 xi 为异常值，应剔除不用。
本检验方法简单，使用方便，也称 3s 准则。当测量次数 n 较大时，是比较好的方法。
本方法是以正态分布为依据的，测值数据最好 n>200，若 n<10 则容易产生误判。
肖维纳检验法：假设多次重复测量所得 n 个测量值中，当
i
k
)(x
时，则认为是粗差。
本检验方法是建立在频率趋近于概率的前提下，一般也要在 n＞10 时使用。一般在工
程中应用，判则不严，且不对应确定的概率。
格拉布斯检验法：对一系列重复测量中的最大或最小数据，用格氏检验法检验，若残
差 max ＞Gs。
本检验法理论严密，概率意义明确，实验证明较好。
2.6 绝对误差和相对误差的传递公式有何用处？
答：绝对误差传递公式：
m
y
j
1
f
x
j
x
j
在进行系统误差的合成时，如果表达式中各变量
之间的关系主要为和差关系时，利用绝对误差传递公式更方便求解总系统误差的绝对误差；
相对误差传递公式：
y
m
j
1
f
x
j
ln
x
j
在进行系统误差的合成时，如果表达式中各变量之
间的关系主要为乘、除，开方以及平方关系时，利用相对误差传递公式更方便求解总系统误
差的相对误差。
2.7 测量误差和不确定度有何不同？
答：测量误差是指测量值（或称测得值、测值）与真值之差，它以真值或约定真值为中心，
误差是一个理想的概念，一般不能准确知道，难以定量；
不确定度是指与测量结果相联系的一种参数，用于表征被测量之值可能的分散性程度，
即一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两部分，而测量不确定度是以被
测量的估计值为中心。测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，是可以定量评定的。
对比项目
误差
不确定度
含义
符号
分类
表示符号
合成方式
主客观性
反映测量结果偏离真值的程度
反映测量结果的分散程度
非正即负
随机误差、系统误差、粗大误差
符号较多、且无法规定
代数和或均方根
恒为正值
A 类评定和 B 类评定
规定用 u、uc、U、Up 表示
均方根
客观存在，不以人的认识程度改
与人们对被测量及测量过程
与真值的关系
变
有关
的认识有关
无关
2.8 归纳不确定度的分类和确定方法？
答：不确定度分为 A 类标准不确定度和 B 类标准不确定度。
由一系列观测数据的统计分析来评定的分量称为 A 类标准不确定度；不是用一系列观测数
据的统计分析法，而是基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定的分量称为 B 类标准
不确定度。
确定方法：
（1）A 类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度 u 的求法等同于由系列观测值获得的
标准差，即 A 类标准不确定度就等于标准差，即 uA
xˆ ；
（2）B 类评定不用统计分析法，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差
并得到标准不确定度。
2.9 归纳测量数据处理的方法。
答：测量数据处理的方法主要有效数字、算术平均值加不确定度、表格或曲线等。
有效数字是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有误差的那位存疑数为止的
所有各位数字。
数据修约规则：四舍五入，等于五取偶数。
最末一位有效数字（存疑数）应与测量精度是同一量级的。
测量数据可绘制成曲线或归纳成经验公式，以便得出正确、直观的结果。
2.10 用图 2.22 中（a）、（b）两种电路测电阻 Rx，若电压表的内阻为 RV，电流表的内阻为
RI，求测量值受电表影响产生的绝对误差和相对误差，并讨论所得结果。
I
I
V
Rx
V
Rx
（a）
（b）
解：(a)
'
R
x
(
R
x
V
I
//
I
图 2.22 题 2.10 图
)
IR
v
RR
x
v
R
v
X
R
R=
'
R
x
R
x
R
R
X
2
X
R
V
Rr =
R
R
X
100
0
0
R
X
R
X
R
V
100
0
0
％100
1
R
R
V
X
1
在 Rv 一定时被测电阻 RX 越小，其相对误差越小,故当 RX 相对 Rv 很小时,选此方法测量。
(b)
'
R
x
V
I
I
(
R
x
I
R
I
)
R
x
R
I
RR
'
x
R
x
R
I
Rr
R
R
X
100
0
0
R
R
X
I
100
0
0
在 RI 一定时，被测电阻 RX 越大.其相对误差越小,故当 RX 相对 RI 很大时,选此方法测量。
2.11 用一内阻为 RI 的万用表测量下图所示电路 A、B 两点间电压，设 E＝12V，R1＝5kΩ ，
R2＝20kΩ，求：
（1）如 E、R1、R2 都是标准的，不接万用表时 A、B 两点间的电压实际值 UA 为多大?
（2）如果万用表内阻 RI＝20kΩ，则电压 UA 的示值相对误差和实际相对误差各为多大？
（3）如果万用表内阻 RI＝lMΩ，则电压 UA 的示值相对误差和实际相对误差各为多大？
R1 5KΩ
A
RI
E
12V
R2
20KΩ
V
解：（1）A、B 两点间的电压实际值
U A
（2）UA 测量值为：
U
A
所以 UA 的示值相对误差
B
R
1
E
R
2
R
2
12
k20
k5
k20
V6.9
R
2
//
R
I
I
12
k20//k20
k5
k20//k20
E
R
2
R
//
R
1
12
k10
k10
U
Ux
k5
x
V0.8
6.90.8
0.8
%20
UA 的实际相对误差为
A
U
UA
6.90.8
6.9
%17
（3）UA 测量值为：
U
A
E
R
2
//
R
I
R
1
R
2
//
R
I
12
M1//k20
k5
M1//k20
所以 UA 的示值相对误差
k5
x
UA 的实际相对误差为
A
12
k6.19
U
Ux
U
UA
56.9
6.9
6.9
56.9
k6.19
56.9
V56.9
6.9
%42.0
%42.0
由此可见，当电压表内阻越大，测量结果越准确。
2.12 CD—13 型万用电桥测电感的部分技术指标如下：
5μH —1.1mH 挡：±2％(读数值)±5μH；
10mH—110mH 挡：±2％(读数值)±0.4％(满度值)。试求被测电感示值分别为 10μH，
800μH，20mH，100mH 时该仪器测量电感的绝对误差和相对误差。并以所得绝对误差为例，
讨论仪器误差的绝对部分和相对部分对总测量误差的影响。
解：根据误差公式计算各电感误差如下：
（1）10μH
L
H5H10%2
H5H2.0
H2.5
L
L
L
H2.5
H10
%52
（2）800μH
%2
L
800
H5H
H5H16
H21
L
L
L
800
H21
H
%6.2
mH
mH4.0
mH55.0
mH94.0
%5.0
110
%7.4
mH94.0
mH20
（3）20mH
mH20%2
L
L
L
L
（4）100mH
%2
100
L
mH55.2
L
L
mH
100
L
mH
110
mH
mH2
mH55.0
mH55.2
%5.0
%6.2
由以上计算过程中的绝对误差，可知当被测电感较小时仪器误差的绝对部分对总误差影
响大，而被测电感较大时仪器误差的相对部分对总误差影响大。这里对每个量程都有一个临
界值：
5μH —1.1mH 档：临界值 L1，
%2
L
1
H5
，
H
L
1
250
即当被测电感 L 小于 250μH 时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。
即当被测电感 L 大于 250μH 时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。
2 L
10mH—110mH 档：临界值 L2，
%5.0
mH
110
%2
，
L
2
mH5.27
即当被测电感 L 小于 27.5mH 时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。
即当被测电感 L 大于 27.5m H 时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。
2.13 检定一只 2.5 级电流表 3mA 量程的满度相对误差。现有下列几只标准电流表，问选用
哪只最适合，为什么？
（1）0.5 级 10mA 量程；
（3）0.2 级 15mA 量程；
（2）0.2 级 10mA 量程；
（4）0.1 级 100mA 量程。
解：2.5 级电流表 3mA 量程的绝对误差为 2.5％×3mA＝0.075mA
（1）0.5 级 10mA 量程的绝对误差为 0.5％×10mA＝0.05mA
（2）0.2 级 10mA 量程的绝对误差为 0.2％×10mA＝0.02mA
（3）0.2 级 15mA 量程的绝对误差为 0.2％×15mA＝0.03mA
（4）0.1 级 100mA 量程的绝对误差为 0.1％×100mA＝0.1mA
由以上结果可知（1），（2），（3）都可以用来作为标准表，而（4）的绝对误差太大，
其中（1），（2）量程相同，而（3）的量程比（1），（2）大，在绝对误差满足要求的情况下，
应尽量选择量程接近被检定表量程，但（2），（3）准确度级别高，较贵，所以最适合用作标
准表的是 0.2 级 10mA 量程的。
2.14 检定某一信号源的功率输出，信号源刻度盘读数为 90μW，其允许误差为±30％，检
定时用标准功率计去测量信号源的输出功率，正好为 75μW。问此信号源是否合格?
解：信号源频率的测量绝对误差为 75μW－90μW＝－15μW
相对误差为
%30%7.16
，所以此信号源合格。
15
90
2.15 对某直流稳压电源的输出电压 Ux 进行了 10 次测量，测量结果如下：
2
次 数 1
电压/V 5.003
求输出电压 Ux 的算术平均值U 及其标准偏差估值 )
5.009
(Us 。
5.015
4.996
4.998
5.006
5.011
4
5
6
7
3
8
9
5.010
4.999
10
5.007
解：Ux 的算术平均值
U
.5
000
.0
001
1
10
10
1
i
3(
11
26
15
94
10
)71
.5
0054
.5
005
次数
电压/V
残差(10－3V)
1
5.003
-2.4
2
5.011
5.6
3
5.006
0.6
4
4.998
-7.4
5
5.015
9.6
6
4.996
-9.4
7
5.009
3.6
8
5.010
4.6
9
4.999
-6.4
10
5.007
1.6
标准偏差估值
(
Us
)
1
9
10
i
1
(
UUi
2)
1
9
1
9
10
i
1
)4.2[(
2
2
6.5
6.0
2
)4.7(
2
2
6.9
)4.9(
2
2
6.3
6.4
2
)4.6(
2
2
]6.1
10(
23
)
10
i
1
76.5[
36.31
36.0
76.57
16.92
36.88
96.12
16.21
96.40
]56.2
10(
23)
1
9
353
4.
10
6
.0
0062
.0
V006
2.16 对某恒流源的输出电流进行了 8 次测量，数据如下：
1
次数
I/mA 10.082
2
3
4
5
6
7
8
10.079
10.085
10.084
10.078
10.091
10.076
10.082
求恒流源的输出电流的算术平均值 I ，标准偏差估值 )(Is 及平均值标准偏差估值 )(Is 。
解：恒流源的输出电流的算术平均值
I
.10
000
.0
001
1
8
8
1
i
82(
79
85
84
78
91
76
)82
.10
0821
.10
082
1
次数
I/mA
10.082
残差（10－3mA） -0.1
2
3
4
5
6
7
8
10.079
-3.1
10.085
10.084
2.9
1.9
10.078
-4.1
10.091
8.9
10.076
-6.1
10.082
-0.1
标准偏差估值
)(
Is
1
7
8
i
1
(
Ii
I
2)
1
7
1
7
1
7
8
i
1
8
i
1
)1.0[(
2
)1.3(
2
2
9.2
9.1
2
)1.4(
2
2
9.8
)1.6(
2
2
])1.0(
10(
23
)
01.0[
61.9
41.8
61.3
81.16
21.79
21.37
]01.0
10(
23)
154
88.
10
6
.0
0047
.0
005
mA
平均值标准偏差估值
)(
Is
)(
Is
8
.0
0047
8
.0
0017
.0
002
mA
2.17 两种不同的方法测量频率，若测量中系统误差已修正，所测得的频率的单位为 kHz。
方法 1
方法 2
100.30
100.29
100.32
100.30
100.31
100.29
100.36
100.33
100.41
100.35
100.28
100.28
100.37
100.29
（1）若分别用以上两组数据的平均值作为该频率的两个估计值，问哪一个估计值更可
靠？
（2）用两种不同方法的全部数据，问该频率的估计值（即加权平均值）为多少？
解：（1）方法 1：
f
1
100
00.
01.0
1
8
8
i
1
36(
41
28
30
32
31
37
)29
100
.
330
kHz
次数
f/kHz
残差（10－2kHz）
1
2
3
4
5
6
7
8
100.36
100.41
100.28
100.30
100.32
100.31
100.37
100.29
3
8
-5
-3
-1
-2
4
-4
标准偏差估值
(
fs
)
1
1
7
8
i
1
(
fi
f
2
)
1
1
7
1
7
1
7
8
i
1
8
i
1
2
3[
2
8
)5(
2
)3(
2
)1(
2
)2(
2
2
4
2
])4(
10(
22
)
9[
64
25
419
16
]16
10(
22 )
144
10
4
.0
045
kHz
同理可求出方法 2 的标准偏差估值，
f
2
100
00.
01.0
1
6
6
1
i
33(
35
28
29
30
)29
100
.
307
kHz
1
次数
f/kHz
残差（10－2kHz） 2.3
100.33
2
3
4
5
6
100.35
4.3
100.28
-2.7
100.29
-1.7
100.30
1.3
100.29
-1.7
标准偏差估值
(
fs
2
)
1
5
6
i
1
(
fi
f
2
2
)
1
5
1
5
1
5
6
i
1
6
i
1
2
3.2[
2
3.4
)7.2(
2
)7.1(
2
3.1
2
2
])7.1(
10(
22
)
29.5[
49.18
29.7
89.2
69.1
]89.2
10(
22 )
54.38
10
4
.0
027
kHz
由此可见方法 2 测得的数据更为可靠。
（2）由
x
得
f
m
i
1
m
x
i
2
s
i
1
2
s
i
100
.0
330
2
.
045
1
045
2
307
2
100
.0
.
027
1
027
100
31.
kHz
2
i
1
.0
.0
该频率的估计值为 100.31kHz。
2.18 设对某参数进行测量，测量数据为 1464.3，1461.7，1462.9，1463.4，1464.6，1462.7，
试求置信概率为 95%的情况下，该参量的置信区间。
解：因为测量次数小于 20，所以测量值服从 t 分布，
第一步：求算术平均值及标准偏差估值
x
1460
1
6
6
1
i
)7.26.44.39.27.13.4(
1463
3.
1
次数
x
残差 1.0
1464.3
2
3
4
5
6
1461.7
-1.6
1462.9
-0.4
1463.4
1464.6
0.1
1.3
1462.7
-0.6
标准偏差估值
)(
xs
1
5
6
i
1
(
xi
x
2)
2
0.1[
)6.1(
2
)4.0(
2
2
1.0
3.1
2
2
])6.0(
6
1
1
5
i
07.1
算术平均值标准偏差估值
)(
xs
)(
xs
6
07.1
6
4.0
第二步：查附录 B：t 分布表，由 n－1=5 及 P=0.95，查得 t=2.571
第三步： 估计该参量的置信区间
[
x
),
xxts
(
(
xts
)]
，其中
xts
)(
.2
571
0.14.0
则在 95%的置信概率下，电感 L 的置信区间为[1462.3，1464.3]。
2.19 具有均匀分布的测量数据，当置信概率为 100％时若它的置信区间为[E(X)－kσ(X)，
E(X)＋kσ(X)]，问这里 k 应取多大？
解：依题意得
(
)
XE
XE
(
(
XE
)
)
k
(
k
(
)
)
X
X
(
)
dxXP
(
dxXxP
)
%100
由均匀分布可得
(
XP
)
b
a
x
1
ab
dx
ba
2
，
1
ab
，
2
)(
x
[
XEx
(
2
)]
(
dxXp
)
)(
x
ab
12
ab
32
b
a
[
x
ba
2
2
]
1
ab
dx
2
)
(
ab
12
，
(
)
k
XE
代入
abk
32
ab
2.20 对某电阻进行了 10 次测量，测得数据如下：
dxXP
(
Xk
ab
(
XE
(
k
2
2
)
(
)
X
X
)
(
)
)
k
3
%100
，解得
3k
1
次数
R/kΩ 46.98
2
3
4
5
6
7
8
9
46.97
46.96
46.96
46.81
46.95
46.92
46.94
46.93
10
46.91
问以上数据中是否含有粗差数据？若有粗差数据，请剔除，设以上数据不存在系统误差，在
要求置信概率为 99%的情况下，估计该被测电阻的真值应在什么范围内？
解：先求得被测电阻的平均值
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