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2011年湖南高考理科数学真题及答案.doc
2011 年湖南高考理科数学真题及答案
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页，时量 120 分钟，满分 150 分。
参考公式：（1）
(
)
P B A
(
)
P AB
)
(
P A
，其中 ,A B 为两个事件，且 (
P A ，
) 0
（2）柱体体积公式V Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高。
（3）球的体积公式
V
R
4
3
3
，其中 R 为求的半径。
一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的。
1.若 ,a b R ，i 为虚数单位，且(
)
a i i
，则（
b i
）
A． 1,
b
a
1
B．
a
1,
b
1
C．
a
1,
b
1
D． 1,
b
a
1
答案：D
解：因 (
)
a i i
1
ai
，根据复数相等的条件可知 1,
b
b i
a
2.设
M
{1,2}
，
N
a
2{ }
，则“ 1a ”是“ N M ”
则（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必
3
2
要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：A
。
1
3
正视图
侧视图
解：因“ 1a ”，即
N ，满足“ N M ”，反之
{1}
“ N M ”，则
N
a
2{ }={1}
，或
N
a
2{ }={2}
，不
俯视图
图 1
一定有“ 1a ”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。
12
A．
9
2
C．9
42
B．
9
2
D．36
18
18
答案：B
解 ： 有 三 视 图 可 知 该 几 何 体 是 一 个 长 方 体 和 球 构 成 的 组 合 体 ， 其 体 积
V
3
（ ）
+3 3 2=
4
3
3
2
9
2
18
。
4.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
40
20
60
女
20
30
50
总计
60
50
110
(
)
n ad bc
)(
2
)(
a b c d a c b d
)(
算得
2
K
)
110 (40 30 20 20)
60 50 60 50
2
7.8
爱好
不爱好
总计
由
2
K
(
附表：
(
P K
2
k
)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是（
）
A．在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
答案：C
解：由
2
K
7.8 6.635
，而
(
P K
2
6.635) 0.010
，故由独立性检验的意义可知选 C.
5.设双曲线
2
2
x
a
2
y
9
1(
a
的渐近线方程为3
0)
x
2
y
，则 a 的值为（
0
）
A．4
B．3
C．2
D．1
答案：C
解：由双曲线方程可知渐近线方程为
y
6. 由直线
x
3
3
x
,
,
y
，故可知 2
a 。
x
3
a
与曲线 cos
0
y
x
所围成的封闭图形的面积为（
）
B．1
C．
3
2
D． 3
A．
1
2
答案：D
解：由定积分知识可得
S
3
3
cos
xdx
sin |
x
3
3
3
2
(
3
2
)
3
，故选 D。
x
y
y mx
x
y
1
7. 设
1m ，在约束条件
范围为（
）
下，目标函数 z
的最大值小于 2，则 m 的取值
x my
A．(1,1
2)
B．(1
2,
)
C． (1,3)
D． (3,
)
答案：A
解：画出可行域，可知
z
1
m
2 1
。
在点
5
x
y
1(
1
m
m
m
)
,
1
取最大值，由
1
1
m
m
1
2
m
2
解得
8.设直线 x
t 与函数
( )
f x
2
( )
x g x
,
ln
x
的图像分别交于点 ,M N ，则当|
|MN 达到最
小时t 的值为（
）
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。3
A．1
B．
1
2
C．
5
2
D．
2
2
答案：D
解：由题
|
MN x
|
2
ln
x
，(
x 不妨令
0)
( )
h x
2
x
ln
x
，则
'( )
h x
2
x
，令 '( ) 0
h x
1
x
解得
x
2
2
，因
x
(0,
2
2
)
时， '( ) 0
h x ，当
x
2(
2
,
时，|
|MN 达到最小。即
t
2
2
。
时， '( ) 0
h x ，所以当
)
x
2
2
二填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡
中对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9.在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为
cos
,
x
1 sin
y
（为参数）在极坐标系（与
直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 2C
的方程为
cos
sin
1 0
，则 1C 与 2C 的交点个数为
。
答案：2
解：曲线
2
1 :
C x
(
y
2
1)
， 2 :
1
C x
y ，由圆心到直线的距离
1 0
d
| 0 1 1|
2
，故 1C 与 2C 的交点个数为 2.
0 1
10.设 ,x y R ,则 2
x
(
1
2
y
)(
1
2
x
2
4
y
)
的最小值为
。
答案：9
解：由柯西不等式可知 2
x
(
1
2
y
)(
1
2
x
2
4
y
)
(1 2)
2
。
9
11.如图 2， ,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径
BC ，
4
AD BC
,垂足为 D, BE 与 AD 相交与点 F，则 AF 的长为
。
答案：
2 3
3
解：由题可知，
AOB
EOC
60
，
OA OB
,得
2
OD BD
1
,
DF
3
3
，
又 2
AD
BD CD
，所以
3
AF AD DF
2 3
3
.
二、必做题（12~16 题）
12、设 nS 是等差数列
{ }(
na
n N
*
)
a
的前 n 项和，且 1
41,
a
，则 5
S
7
______
答案：25
a
解：由 1
41,
a
可得 1 1,
7
a
d
2,
a
n
2
n
1
S
，所以 5
(1 9) 5
2
。
25
x
13、若执行如图 3 所示的框图，输入 1
1,
x
2
2,
x
3
3,
x
，
2
则输出的数等于
。
答案：
2
3
解：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
(1 2)
2
则
S
(2 2)
3
2
(3 2)
2
。
2
3
14、在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设
BC
BD CA
,
3
CE
2
，
则
答案：
。
________
AD BE
1
4
AD CD CA
解：由题
AD BE
(
所以
1
2
CB CA
1
2
) (
CB CA
1
3
，
CA CB
BE CE CB
7
6
1
2
1
3
1
3
CB CA
CA CB
1
4
)
，
。
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。5
15、如图 4， EFGH 是以O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一
颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，
B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则
（1）
答案：（1）
=______
P A（ ）
2
；（2）
=______
；（2）
P
A（B| ）
1=
P
A（B| ）
4
解：（1）由几何概型概率计算公式可得
=
P A
（ ）
正
=S
2
S
圆
；
（2）由条件概率的计算公式可得
=
P
（B| ）
A
P AB
（ ）
=
P A
（ ）
2 1
4
=2
1
4
。
16、对于
n N ，将 n 表示为
*
n
a
0
k
2
a
1
2
k
1
a
2
2
k
2
a
k
1
1
2
a
0
2
k
，当
i 时，
0
ia ，当1 i
时， ia 为 0 或 1.记 ( )
I n 为上述表示中 ia 为 0 的个数，（例如
1
k
1 1 2
，
0
4 1 2
2
1
0 2
：故 (1) 0, (4)
I
0 2
I
0
（1） (12)
I
_____
（2）
答案：（1）2；（2）1093
127
( )
I n
2
1
n
______
解：（1）因
12 1 2 +1 2
3
2
1
0 2
，故 (12)
0 2
I
0
）则
2
；
2
（2）在 2 进制的 (
k k 位数中，没有 0 的有 1 个，有 1 个 0 的有 1
2)
1kC 个，有 2 个 0 的有
2
m
1kC 个，……有 m 个 0 的有 1
kC 个，……有 1k 个 0 的有 1
k
kC
个。故对所有 2 进制为 k
1
1
位数的数 n ，在所求式中的 ( )2I n 的和为：
0
1 2
C
1
k
1
1
2
C
2
1
k
2
2
1
k
C
1
k
2
k
1
k
1
3
。
又
127
7
2
1
恰为 2 进制的最大 7 位数，所以
127
n
1
( )
I n
2
0
2
7
k
2
1
k
3
1093
。
三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
中 ， 角 ,
,A B C 所 对 的 边 分 别 为 ,
,a b c ， 且 满 足
17. （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 在 ABC
c
sin
A a
cos
C
.
（I）求角C 的大小；
（II）求 3 sin
)
4
解：（I）由正弦定理得sin sin
cos(
C
A
B
A
sin cos
A
C
.
的最大值，并求取得最大值时角 ,A B 的大小．
因为 0
,
A
A
所以sin
3
4
B
（II）由（I）知
于是
.
A
0.
从而
sin
C
cos
C
.
又
cos
C
0,
所以
tan
C
1,
C
则
4
3 sin
A
cos(
)
A
3 sin
A
cos(
B
3 sin
A
cos
A
)
4
2sin(
0
A
3
4
6
,
A
A
).
6
11
,
6
12
A
从而当
,
2
6
A
即
3
,
时
2sin(
A
取最大值 2．
)
6
综上所述， 3 sin
A
cos(
B
的最大值为 2，此时
)
4
A
3
,
B
5
.
12
18. 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：
日销售量（件） 0
频数
1
1
5
2
9
3
5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品 3 件，
当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充．．至 3 件，否则不进货．．．，将
频率视为概率。
(Ⅰ）求当天商品不进货．．．的概率；
（Ⅱ）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望。
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。7
解：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为 0 件”）+P（“当天商品销售量 1
件”）=
1
20
5
20
。
3
10
（II）由题意知， X 的可能取值为 2，3.
(
P x
2)
P
("
")
当天商品销售量为1件
(
P x
3)
P
量为3件
")
("
当天商品销售量为0件
1
5
20 20 20
3
4
+
+
9
1
4
；
5
20
")+ ("
P
当天商品销售量为2件
")+ ("
P
当天商品销售
故 X 的分布列为
X
P
X 的数学期望为
2
1
4
2
EX
3
3
4
1
4
+3
3 11
4
4
=
。
19. （ 本 题 满 分 12 分 ） 如 图 5 ， 在 圆 锥 PO 中 ， 已 知
PO
2,
的 直 径
O
AB
2,
C AB
是 的中点, 为 的中点．
D AC
,
（I）证明：
平面
POD
平面
PAC
;
（II）求二面角 B PA C
的余弦值．
解：（I）连接OC ，因为 OA OC
, D 为的 AC 中点，
所以 AC OD
.
又
PO
底面
O AC
,
底面
O
,
所以
AC PO
.
因为 ,OD PO是平面 POD 内的两条相交直线，所以
AC
平面 。而 AC
POD
平面
PAC
，所以
平面
POD
平面
PAC
。
（II）在平面 POD 中，过O 作OH PD
于 H ，由（I）知，
平面
POD
平面
PAC
,
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