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数值计算课后习题答案.doc
实用数值计算方法习题参考答案
1．1 因为
dx
k
x
k
x
*
k
故
第一章 引 论
(
，（k=1，2，…，n），所以
x
)
k
y
*
y
)(
y
n
k
1
f
x
k
x
k
x
*
k
f
n
x
1
k
k
(
x
k
)
S
1．2 由于矩形面积
1.0
d
而
)(
sE
dl
。所以，面积的绝对误差限和相对误差限分别可以估计为
S
S
，利用全微分近似有
l
dl
,2.0
110
1.0
2.0
27
80
。
d
l
l
dl
S
S
d
27
110
80
)(
sEr
.0
0031
%31.0
1．3 由于相对误差满足：
)(
xE
有
3
10
.0
125
10
3
3
10
%1.0
1
8
1
2
a
1
1
n
10
，而
20
.4
4721
。由 a1= 4，取 n=4 时，
1．4 由 Taylor 中值定理
x
sin
1
!3
x
1
!5
而
S
x
R
1． 6
1
!3
3
x
1
!5
5
x
1
!7
7
x
cos
，（介于 0 和 x 之间）
5
x
，所以截断误差限为
S
sin
x
X1
0.1
X2
0.3
x
7
x
1
cos
1
!7
5040
5 七个零件的标定值
X3
0.1
X4
0.1
X5
1.5
7
.1
9841
x
7
4
10
X6
16
X7
0.7488
不同等级的零件参数取值范围如下：
下限
0.0990
0.2970
0.0990
0.0990
x1
X2
X3
X4
A 等零件相对误差不超过 1%
下限
1.4850
15.8400
0.7413
X5
X6
X7
上限
0.1010
0.3030
0.1010
0.1010
上限
1.5150
16.1600
0.7562
1
下限
0.0950
0.2850
0.0950
0.0950
下限
0.0900
0.2700
0.0900
0.0900
X1
X2
X3
X4
X1
X2
X3
X4
B 等零件相对误差不超过 5%
下限
1.4250
15.2000
0.7113
X5
X6
X7
上限
0.1050
0.3150
0.1050
0.1050
上限
1.5750
16.8000
0.7862
C 等零件相对误差不超过 10%
上限
0.1100
0.3300
0.1100
0.1100
下限
1.3500
14.4000
0.6739
上限
1.6500
17.6000
0.8236
X5
X6
X7
1.7 算法如下：
(1).将 100 个小数按由小到大排序
(2).将排序后的 100 个小数依次相加
(3).将 100 个小数相加结果与 1012 相加
(4).输出计算结果，结束。
1． 8 一个八位二进制数为 (10111101)2
（1）用秦九韶算法将其转化为 10 进制数只需六次乘法
189
（2）将任一个二进制数 (b1b2b3b4b5b6b7b8)2 转化为十进制数的算法框图如下：
12)02)12)12)12)12)02
C
((((((
输入 b1，b2，…，b8
C b1
k 从 2 到 8 循环
C 2*C+bk
输出 C
第二章 解线性方程组的直接法
2
2，1
x1 = 1
为
x1 = 2
x1 = 3 。m21 = 1，m31 = 2，m32 = -2。消元过程所得增广矩阵
B
11
20
00
1
3
7
6
5
21
996
.5
x
1
.2
0028
5625
4
x
x
2
.2
002
x
x
3705
.0
x
2
3
3
3
4178
.7
.0
4037
3516
.0
2． 2
.3
2．3 令
L
1
1
m
m
m
1
1
21
31
41
则，由矩阵乘法得
1
m
m
m
21
31
41
1
1
而
1
L
1
所以
显然，有
1
1
，
L
2
1
1
m
m
32
42
1
1
L3 L2 L1 A = U
，
1
L
2
1
1
m
m
32
42
1
1
，
L
3
1
1
1
m
43
1
，
1
L
3
1
1
1
m
43
1
。
。
ULLLA
1
1
1
3
2
1
1
1
LLL
1
3
2
1
1
m
m
m
21
31
41
U
1
m
43
1
1
m
m
32
42
2．5 当 n=2 时，由于
ca
12
件的 n-1 阶三对角矩阵行列式不为零。现考虑 n 阶三对角矩阵的情形。
b ，显然，
2
b ，
1
bb
21
A
2
c
1
a
2
0
。假设满足条
3
A
n
根据行列式性质，将第 n 列乘
2
2
2
c
b
1
a
c
1
b
a 加到第(n-1)列，然后按第 n 行展开行列式，得
b
b
1
n
a
1
n
b
a
c
1
n
n
n
n
n
b
1
a
2
A
n
b
n
c
c
1
b
2
~
b
n
a
1
2
n
1
由于右边行列式是 n-1 阶三对角矩阵行列式，现在只须证明 n-1 阶三对角矩阵的元素满足
题目所给条件，则由数学归纳法可得 n 阶三对角矩阵行列式不为零。证明如下
由于
b ，
n
a
n
b
n
1
a
n
1
c
n
1
，所以有
~
b
n
1
b
n
1
a
b
n
n
c
n
1
b
n
1
a
b
n
n
a
b
n
n
1
，
b
n
1
c
n
1
a
n
1
。而
c
n
1
b
n
1
c
n
1
a
n
1
所以，n-1 阶三对角矩阵的元素满足题目所给条件（主对角占优）。
第三章 插值方法
3．1 整理已有数据构造函数表
X
f(x)
1
793
31
861
61
880
令 h = 30，由拉格朗日插值基函数求导数,得
2
x
)
2
l
0
x
x
2
)(
x
(
x
1
2
2
h
( )
代入二次插值函数 L x
2
(
x
1
2
x
2
*
)(
,
xl
1
( )
( )
l x y
l x y
1
0
1
)
(2
x
x
yx
2
1
2
y
y
1
0
0
0
)
0
x
2
0
2
( )
x y
(
x
1
(
x
h
l
2
y
1
y
2
,)
2
x
l
2
)(
x
，并令
2
x
y
)
0
2
xL
)(2
=57.6327
)
x
1
(
x
0
2
2
h
0
，求解得
所以，从 5 月 1 日到 6 月 30 日这些天中，可以认为 6 月 27 日这一天日照时间最长。
3．2 构造函数表
4
猪肉产量 X
猪肉价格 Y
28
6.8
27.28
7.09
27.02
7.19
如果 1999 年猪肉产量为 27.5 万吨，则由二次拉格朗日插值函数
y
)5.27(
)5.27(
)5.27(
)5.27(
l
y
1
l
1
2
.7
0034
2
L
y
0
推测 1999 年猪肉价格为：7.00（元）。
3．3 确定函数如下：
l
0
2
y
,80
x
,8
0
x
100
x
100
由于
y
100(
8)
，所以一个新手需要织 100 匹布以后才能成为一名技术熟练的纺织女工。
3.4 (1) 取 f(x)=1，则 f (n)(x) = 0 (n > 0)。以 f(x)为被插值函数，它的 n 次拉格朗日插值函数
为
Ln(x) = l0(x)f(x0)+ l1(x) f(x1) +……+ ln(x) f(xn) = l0(x) + l1(x) +……+ ln(x)
由插值误差余项公式，知插值误差为零。所以
Ln(x) = f(x) = 1
即：l0(x) + l1(x) +……+ ln(x)=1。
(2) 取 f(x)= xk
次拉格朗日插值函数为
(k =1，2，……，n)，则 f (n)(x) = 0 (n > 0)。以 f(x)为被插值函数，它的 n
Ln(x) = l0(x)f(x0)+ l1(x) f(x1) +……+ ln(x) f(xn)
= l0(x)x0k + l1(x)x1k +……+ ln(x)xnk
由插值误差余项公式，知插值误差为零。所以
即：l0(x)x0k + l1(x)x1k +……+ ln(x)xnk=xk。
Ln(x) = f(x) = xk
(k =1，2，……，n)
3．5
*
x
(
x
1
2
2
(
2
x
2
x
1
2
)
y
0
)
yx
1
(
0
x
2
(
x
2
2
2
)
y
x
1
0
(
)
yx
1
0
2
(
x
1
x
1
2
x
0
)
yx
0
2
)
y
2
3．6 设 f(x，y)是被插值函数，z(x，y)=ax+by+c 为插值函数。
（1）由插值条件 z(x1，y1)=u1，z(x2，y2)=u2，z(x3，y3)=u3。得
u
1
u
u
ax
1
ax
2
ax
by
1
by
by
1
1
1
u
1
u
u
y
1
y
y
x
1
x
x
a
b
c
c
c
c
或
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
（2）二元线性插值函数存在唯一的条件为
x
1
x
x
2
3
y
1
y
y
2
3
1
1
1
0
，根据行列式的几何意义可
5
知，要求三个插值结点所形成的三角形面积不为零。即三点不共线。
（3）设
,(
yxz
)
,(
)
uyxl
1
1
l
2
)
,(
uyx
2
)
uyxl
3
,(
3
，三个线性插值基函数为
,(
yxl
1
)
ybxa
1
1
c
1
，
l
2
,(
yx
)
ybxa
2
2
c
2
，
yxl
3
,(
)
ybxa
3
3
c
3
它们应满足的插值条件见下表
（x, y）
l 1(x, y)
l 2(x, y)
l 3(x, y)
则由插值条件列出线性方程组
1
0
0
c
1
c
1
c
1
xa
11
xa
21
xa
31
yb
11
yb
1
yb
1
2
3
分别求解三个线性方程组可得
，
(x1, y1)
1
0
0
(x2, y2)
0
1
0
(x3, y3)
0
0
1
xa
12
xa
2
xa
2
3
2
yb
1
2
yb
2
yb
2
3
2
c
2
c
c
2
2
0
1
0
，
xa
13
xa
3
xa
33
2
yb
1
3
yb
3
yb
3
3
2
c
3
c
c
3
3
0
0
1
2
x
x
x
3
x
1
x
x
2
3
0
,(
yxl
1
)
3．7 （1）
1
(1
(1
(1
A
x
1
x
x
2
3
2
3
y
y
y
y
1
y
y
2
3
1
1
1
1
1
1
，
l
2
,(
yx
)
x
1
x
x
3
x
1
x
x
2
3
y
2
y
y
3
y
1
y
y
2
3
1
1
1
1
1
1
，
yxl
3
,(
)
x
1
x
2
x
x
1
x
x
2
3
0
0
)(
)(
)
)
)
(
(
x
x
2
3
x
x
0
0
0
0
0
)(
0
x
x
2
3
x
1
x
1
)
)
(
x
3
x
x
3
x
1
)(
x
3
x
2
)
x
0
x
x
0
0
（2）
A
001
010
100
000
0
0
0
1
所以，
a
0
( 0
xf
)
，
a
1
,
[
xxf
1
0
]
，
a
2
6
0
)
(
xf
0
[
]
,
xxf
1
[
,
,
xxxf
1
[
,
,
xxxf
0
1
0
2
2
]
,
x
]
3
[
,
xxxf
,
1
0
]
2
，
a
3
[
,
xxxf
,
1
0
y
1
y
2
y
y
1
y
y
2
3
1
1
1
1
1
1
。
(
xf
0
(
xf
1
(
xf
(
xf
3
)
)
)
2
)
,
x
3
]
2
。
第四章 数据拟合方法
4．1 超定方程组的矩阵形式为
将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵，可得正规方程组
4
5
2
2
11
3
6
14
2
3
1
4
x
y
30
3
解之，得 x = 2.9774，y = 1.2259。
4．2
3
49
x
y
93
69
时间 t
距离 S
0
0
0.9
10
1.9
30
3.0
50
3.9
80
5.0
110
设物体运动的初速度和加速度分别为 v0 和 a，初始时刻距离为 0，则距离函数为
用后 5 个点的数据作曲线拟合
)(
tS
tv
0
1
2
2
at
t
S
0.9
10
可得，v0 = 10.6576，a = 4.6269
Bx
4．3 令
ln
ln
，则
A
y
z
z
1.9
30
3.0
50
3.9
80
5.0
110
。处理数据如下
x
z = ln y
1
4.0943
2
3.4012
3
2.9957
4
2.7081
由最小二乘法作线性拟合得，ln A = 4.4409，B = -0.4564。所以 A =84.8528。故，所求经
难公式为
y
25.84
e
.0
4564
x
。
第五章 数值积分方法
5．1 椭圆周长公式为：
L
2/
4
a
0
1
e
2 cos
2
t
dt
由于
1
11
2
x
x
，所以被积函数
7
积分，得
L
4
a
5．2
（1）令
)(1
xF
x
a
利用泰勒中值定理
f
)(
t
1
e
2
2
cos
t
11
2
2
e
2
cos
t
2/
11(
2
2
e
2
cos
t
)
dt
[4
a
2
1
2
2
e
]
4
2
a
1(
2
e
4
)
0
f
)(
t
dt
，则
)(1
aF
0
，
)('1
xF
)(
xf
，
)(''1
x
F
f
)('
x
)(
bF
1
)(
aF
1
(
)('
aFab
)
1
2
)
(
Fab
)(''
2
1
所以，有
（2）令
)(2
xF
b
x
利用泰勒中值定理
所以，有
xfb
)(
a
dx
)(
(
afab
)
2
)
(
ab
2
)('
f
f
)(
t
dt
，则
)(2
bF
0
，
)('2
xF
)(
xf
，
)(''2
F
x
f
)('
x
)(
aF
2
)(
bF
2
(
)('
bFba
)
2
(
2
)
Fba
)(''
2
2
xfb
)(
a
dx
)(
(
bfab
)
2
)
(
ab
2
)('
f
（3）由泰勒中值定理
)(
xf
baf
(
2
)
(
x
fba
)
2
('
ba
2
)
1
2
(
x
ba
2
2
)
)(''
f
积分，可得
b
a
)(
xf
dx
bafab
(
2
)
(
)
1
2
b
a
(
x
ba
2
2
)
f
)(''
dx
由积分第二中值定理，可得
b
a
(
x
xfb
)(
a
ba
2
dx
2
dx
)(''
)
f
bafab
(
2
(
)
故，
8
2
)
dx
1
12
f
(''
)(
ab
3
)
f
)(''
f
)
ba
2
3)
(
ab
b
(
x
a
)(''
24
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