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2005山西考研数学一真题及答案.doc
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中
=____________.
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求，把
(A) . （B）
（13）设二维随机变量(X,Y) の概率分布为
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（II）の概率密度
参考答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中
【详解】 =
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求，把
(A) . （B）
（13）设二维随机变量(X,Y) の概率分布为
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（II）の概率密度
【详解】 （I） 关于Xの边缘概率密度
2005 山西考研数学一真题及答案
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线
y
x
x
2
2
1
の斜渐近线方程为 _____________.
（2）微分方程
yx
2
y
x
ln
x
满足
y
)1(
（ 3 ） 设 函 数
,(
zyxu
1),
2
x
6
2
y
12
u
n
=.________.
)3,2,1(
1
9
2
z
18
の解为. ____________.
， 单 位 向 量
1n
3
}1,1,1{
， 则
（4）设 是由锥面
の整个边界の外侧，则
z
2
x
2
y
与半球面
z
2
R
2
x
2
y
围成の空间区域， 是
xdydz
ydzdx
zdxdy
____________.
（5）设
,
3
,
2
1
均为 3 维列向量，记矩阵
1 A
3
(
,
,
2
)
，
B
(
3
9
3
4
2
,
,
2
1
3
2
3
1
1
2
)
，
如果
1A ，那么 B
..
（6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从
,2,1 中任取一个数，记为 Y, 则
X,
{ YP
}2
=____________.
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出の四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内）
（7）设函数
)(
xf
lim
n
n
1
x
3
n
，则 f(x)在
(
,
)
内
(A) 处处可导.
(C) 恰有两个不可导点.
(B) 恰有一个不可导点.
(D) 至少有三个不可导点.
[
]
"
（8）设 F(x)是连续函数 f(x)の一个原函数，
则必有
M 表示“M の充分必要条件是 N”，
N
"
(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.
F(x)是周期函数 f(x)是周期函数.
(C)
(D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数.
)
（9）设函数
,(
yxu
(
(
y
x
y
x
)
)
具有一阶导数，则必有
[
]
dt
, 其中函数具有二阶导数，
yx
yx
)(
t
(A)
(C)
u
2
2
x
u
2
2
y
.
2
u
yx
u
2
2
y
.
（B）
u
2
2
x
u
2
2
y
.
(D)
2
u
yx
u
2
2
x
.
[
]
（10）设有三元方程
xy
z
ln
y
xze
1
，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)の一
个邻域，在此邻域内该方程
(A) 只能确定一个具有连续偏导数の隐函数 z=z(x,y).
(B) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数 x=x(y,z)和 z=z(x,y).
(C) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数 y=y(x,z)和 z=z(x,y).
(D) 可 确 定 两 个 具 有 连 续 偏 导 数 の 隐 函 数 x=x(y,z) 和 y=y(x,z).
[
]
（11）设
1, 是矩阵 A の两个不同の特征值，对应の特征向量分别为
2
1, ，则 1 ，
2
(
A
1
2
)
线性无关の充分必要条件是
(A)
1
0
.
(B)
2
0
.
(C)
1
0
.
(D)
2
0
.
[
]
（12）设 A 为 n（ 2n ）阶可逆矩阵，交换 A の第 1 行与第 2 行得矩阵 B,
*, BA
*
分
别为 A,B の伴随矩阵，则
(A) 交换 *A の第 1 列与第 2 列得 *B .
(B) 交换 *A の第 1 行与第 2 行得 *B .
(C) 交换 *A の第 1 列与第 2 列得 *B
.
(D) 交换 *A の第 1 行与第 2 行得 *B
.
[
]
（13）设二维随机变量(X,Y) の概率分布为
Y
X
0
1
0
0.4
b
1
a
0.1
已知随机事件
{
X
}0
与
{
YX
}1
相互独立，则
(A)
(C)
a=0.2, b=0.3
a=0.3, b=0.2
(B)
(D)
a=0.4, b=0.1
a=0.1, b=0.4
[
]
（14）设
XX
,
1
,
2
n
nX
(
,
)2
为来自总体 N(0,1)の简单随机样本， X 为样本均值，
2S 为样本方差，则
(A)
~ NXn
)1,0(
(B)
2
~ 2
nS
(
n
).
(C)
(
n
X
)1
S
(~
nt
)1
(D)
(
)1
n
n
X
i
2
,1(~
nF
).1
[
]
X
2
1
2
i
三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分 11 分）
2
设
D
,{(
)
xyx
y
大整数. 计算二重积分
D
2
,2
x
,0
y
}0
1[
，
2
x
2
y
]
表示不超过
1
2
x
2
y
の最
xy
1[
2
x
2
y
]
dxdy
.
（16）（本题满分 12 分）
求幂级数
n
1
n
1
)1(
1(
1
2(
nn
)1
2
n
)
x
の收敛区间与和函数 f(x).
（17）（本题满分 11 分）
如图，曲线 C の方程为 y=f(x)，点(3,2)是它の一个拐点，直线 1l 与 2l 分别是曲线 C 在
点(0,0)与(3,2)处の切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
3
0
2
(
x
)
fx
)(
x
.
dx
（18）（本题满分 12 分）
已知函数 f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：
（I）存在
),1,0(
使得
1)(f
；
（II）存在两个不同の点
,
)1,0(
，使得
f
（19）（本题满分 12 分）
)(
f
(
.1)
设函数 )(y 具有连续导数，在围绕原点の任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分
L
)(
y
dx
22
x
2
y
xydy
4
の值恒为同一常数.
（I）证明：对右半平面 x>0 内の任意分段光滑简单闭曲线 C，有
C
)(
y
2
dx
2
x
2
y
xydy
4
0
；
（II）求函数 )(y の表达式.
（20）（本题满分 9 分）
已知二次型
,
(
xxf
1
2
,
x
3
)
1(
2
)
xa
1
1(
)
xa
2
2
2
x
2
3
1(2
)
xxa
21
の秩为 2.
（I） 求 a の值；
（II） 求正交变换 Qy
x ，把
,
(
xxf
1
2
,
x
3
)
化成标准形；
（III） 求方程
(
,
xxf
1
2
,
x
3
)
=0 の解.
（21）（本题满分 9 分）
已知 3 阶矩阵 A の第一行是
,(
,
cbacba
),
,
,
且 AB=O, 求线性方程组 Ax=0 の通解..
（22）（本题满分 9 分）
设二维随机变量(X,Y)の概率密度为
0,1
.
其他
,(
yxf
,1
,0
0
y
x
)
不全为零，矩阵
B
321
642
63
k
（k 为常数），
,2
x
求：（I） (X,Y)の边缘概率密度
f
X
(
x
),
f
Y
)(
y
；
（II）
Z
2
YX
の概率密度
f Z
(z
).
（23）（本题满分 9 分）
设
XX
,
1
,
2
n
nX
(
,
)2
为来自总体 N(0,1)の简单随机样本， X 为样本均值，记
Y
i
X
i
,
iX
,2,1
,
.
n
求：（I） iY の方差
,
iDYi
,2,1
,
n
；
（II） 1Y 与 nY の协方差
nYYCov
( 1
,
).
参考答案
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线
y
x
x
2
2
1
の斜渐近线方程为
y
1
x
2
1
4
.
【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
【详解】 因为 a=
lim
x
)(
xf
x
lim
x
x
2
2
x
2
x
1
2
，
b
lim
x
)(
xf
ax
lim
x
2(2
x
x
)1
1
4
，
于是所求斜渐近线方程为
y
1
x
2
1
4
.
（2）微分方程
yx
2
y
x
ln
x
满足
y
)1(
1
9
の解为
y
1
3
x
ln
x
1
9
.
x
.
【分析】直接套用一阶线性微分方程
y
)(
)(
xQyxP
の通解公式：
e
y
)(
xP
dx
[
)(
exQ
)(
xP
dx
dx
C
]
，
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】 原方程等价为
y
2
y
x
ln
x
，
于是通解为
2
x
dx
y
e
2
x
dx
ln[
ex
dx
C
]
[1
x
2
2
x
ln
xdx
C
]
=
1
3
x
ln
x
1
9
Cx
得 C=0，故所求解为
y
1
2
x
由
y
)1(
1
9
（ 3 ） 设 函 数
,(
zyxu
1),
，
x
1
3
2
x
6
ln
x
1
9
.
x
2
y
12
2
z
18
， 单 位 向 量
1n
3
}1,1,1{
， 则
u
n
=
)3,2,1(
3
3
.
【分析】 函数 u(x,y,z)沿单位向量
n
{cos
cos
cos
,
,
}の方向导数为：
u
n
u
x
cos
u
y
cos
u
z
cos
因此，本题直接用上述公式即可.
【详解】 因为
u
x
x
3
，
u
y
y
6
，
u
z
z
9
，于是所求方向导数为
u
n
=
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3
3
.
)3,2,1(
（4）设 是由锥面
z
2
x
2
y
与半球面
z
2
R
2
x
2
y
围成の空间区域， 是
の整个边界の外侧，则
xdydz
ydzdx
zdxdy
1(2
2
2
3
)
R
.
【分析】本题 是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球
面（或柱面）坐标进行计算即可.
ydzdx
【详解】
xdydz
zdxdy
3
dxdydz
=
3
2
d
4
0
sin
R
0
1(2
d
d
2
0
2
2
)
R
3
.
（5）设
,
3
,
2
1
均为 3 维列向量，记矩阵
1 A
3
(
,
,
2
)
，
B
(
3
9
3
4
2
,
,
2
1
3
2
1
3
1
2
)
，
如果
1A ，那么 B
2
.
【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵の形式，再用方阵相乘の行列式性质进行计算即
可.
【详解】 由题设，有
B
(
3
9
3
4
2
,
,
2
1
2
1
3
2
1
3
)
=
(
1
3
,
,
2
于是有
B
A
111
321
941
)
111
321
941
，
21
.2
（6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从
,2,1 中任取一个数，记为 Y, 则
X,
{ YP
}2
=
13
48
.
【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验の各种两两互
不相容の结果即为完备事件组或样本空间の划分.
【详解】
{ YP
}2
=
{
XP
{}1
YP
2
X
}1
+
{
XP
{}2
YP
2
X
}2
+
{
XP
{}3
YP
2
X
}3
+
{
XP
{}4
YP
2
X
}4
=
1
4
0(
1
2
1
3
1
4
)
13
48
.
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出の四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内）
（7）设函数
)(
xf
lim
n
n
1
x
3
n
，则 f(x)在
(
,
)
内
(A) 处处可导.
(C) 恰 有 两 个 不 可 导 点 .
(B) 恰有一个不可导点.
(D) 至 少 有 三 个 不 可 导 点 .
[
]
C
【分析】 先求出 f(x)の表达式，再讨论其可导情形.
【详解】 当
1x 时，
)(
xf
当
1x 时，
)(
xf
n
n
lim
n
lim
n
1
x
3
n
1
；
111
；
当
1x 时，
)(
xf
3
x
lim
n
1(
x
3
n
1
n
)1
x
3
.
即
)(
xf
x
,1
3
x
3
,
,
,1
x
1
x
.1
x
,1
可见 f(x)仅在 x= 1 时不可导，故应选(C).
"
（8）设 F(x)是连续函数 f(x)の一个原函数，
则必有
M 表示“M の充分必要条件是 N”，
N
"
(B) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.
(C)
(D)
]
F(x)是周期函数 f(x)是周期函数.
F(x) 是 单 调 函 数 f(x) 是 单 调 函 数 .
[
A
【分析】 本题可直接推证，但最简便の方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】 方法一：任一原函数可表示为
)(
xF
x
0
f
)(
t
Cdt
，且
)(
xF
(
xf
).
当 F(x)为偶函数时，有
xF
(
)
)(
xF
，于是
F
(
)1()
)(
xF
x
，即
f
(
x
)
)(
xf
，
也即
f
(
x
)
)(
xf
函数，从而
)(
xF
x
0
，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 x
f
为偶函数，可见(A)为正确选项.
Cdt
)(
t
0
f
)(
t
dt
为偶
方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)=
2
1 x , 排
2
除(D); 故应选(A).
（9）设函数
,(
yxu
)
(
x
y
)
(
x
y
)
具有一阶导数，则必有
yx
yx
)(
t
dt
, 其中函数具有二阶导数，
(A)
u
2
2
x
u
2
2
y
. （B）
u
2
2
x
u
2
2
y
.
(C)
2
u
yx
u
2
2
y
.
(D)
2
u
yx
u
2
2
x
.
【分析】 先分别求出
u
2
2
x
、
u
2
2
y
、
2
u
yx
，再比较答案即可.
[
B
]
【详解】 因为
u
x
u
y
x
(
x
(
y
)
y
)
x
(
x
(
y
)
(
x
y
)
(
x
y
)
，
y
)
(
x
y
)
(
x
y
)
，
于是
u
2
2
x
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
，
2
u
yx
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
，
u
2
2
y
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
x
(
y
)
，
可见有
u
2
2
x
u
2
2
y
，应选(B).
（10）设有三元方程
xy
z
ln
y
xze
1
，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)の一
个邻域，在此邻域内该方程
(E) 只能确定一个具有连续偏导数の隐函数 z=z(x,y).
(F) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数 x=x(y,z)和 z=z(x,y).
(G) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数 y=y(x,z)和 z=z(x,y).
(H) 可 确 定 两 个 具 有 连 续 偏 导 数 の 隐 函 数 x=x(y,z) 和 y=y(x,z).
[
D
]
【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令 F(x,y,z)=
xy
z
ln
y
xze
1
, 分别求
出三个偏导数
FFF
z
,
,
x
，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为 0，则可确定相应の隐函数.
y
【详解】 令 F(x,y,z)=
xy
z
ln
y
xze
1
, 则
F
x
y
xz
ze
，
Fy
x
z
y
，
F
z
ln
y
xz
xe
，
且
xF
)1,1,0(
2
，
yF
)1,1,0(
1
，
zF
)1,1,0(
0
. 由此可确定相应の隐函数 x=x(y,z)和
y=y(x,z). 故应选(D).
（11）设
1, 是矩阵 A の两个不同の特征值，对应の特征向量分别为
2
1, ，则 1 ，
2
(
A
1
2
)
线性无关の充分必要条件是
(A)
1
0
.
(B)
2
0
.
(C)
1
0
.
(D)
2
0
.
[
B
]
【分析】 讨论一组抽象向量の线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.
【详解】 方法一：令
k
1
1
(
Ak
2
2
1
)
0
，则
k
1
2
k
k
2
2
1
1
1
2
0
，
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