2009河北考研数学三真题及答案.doc-资料库

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2009 河北考研数学三真题及答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数 ( ) f x  3 x x  sin x 的可去间断点的个数为：（）  A . 1  B . 2  C . 3  D .无穷多个（2）当 x  时， ( ) f x 0   x sin ax 与 ( ) g x  2 x ln(1  是等价无穷小，则（）  A . 1a  ， b    B . 1a  ， b  ) bx 1 6 1 b  6  D . a   ， 1 x 成立的 x 的范围是（） 1 6 b   t dt  1 6 ln （3）使不等式  C .  A . x 1 a   ， sin t  (0,1) 1  B . (1,  ) 2  C . (  , )  2  D . ( , )  （4）设函数 y   f x  在区间 1,3 上的图形为： ( ) f x O 0 -2 -1 1 2 3 x 则函数  F x  x   0 f   t dt 的图形为（） ( ) f x 1 0 -2 -1  A . 1 2 3 x  B . ( ) f x 1 0 -2 -1 1 2 3 x

( ) f x 1 0 -1  C . 1 2 3 x ( ) f x 1 0 -2 -1  D . 1 2 3 x （5）设 ,A B 均为 2 阶矩阵， ,A B 分别为 ,A B 的伴随矩阵，若| * A | 2,|  B | 3  则分块矩阵 0 B    A 0    的伴随矩阵为（）  A .  C .       0 * A 2 0 B * 2 3 * B 0 3 * A 0        B .    0 * A 3 2 * B 0     D .    0 B * 3 2 * A 0    （ 6 ）设 ,A P 均为 3 阶矩阵， TP 为 P 的转置矩阵，且 TP AP       1 0 0 0 1 0 0 0 2      ，若 P  (    3 , , 1 2 ), Q  (     3  , , 1 2 2 ) ，则 TQ AQ 为（）  A .  C .           2 1 0 1 1 0 0 0 2 2 0 0 0 1 0 0 0 2            B .  D .      1 1 0 1 2 0 0 0 2           1 0 0 0 2 0 0 0 2      （7）设事件 A 与事件 B 互不相容，则（）   A . ( P AB  ) 0  B . ( P AB )  ( ( P A P B ) ) C . ( P A ) 1   ( P B )  D . ( ) 1 P A B  （8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 (0,1) N ， Y 的概率分布为 { P Y  0}  { P Y  1}  ，记 ( zF Z 为随机变量 Z XY 的分布函数，则函数 ( zF Z 的间 ) ) 1 2

断点个数为（）  A . 0  B . 1  C . 2  D . 3 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） lim 0 x  3 cos x e e  1 x  2  1  . （10）设 (  z x  e )y x ，则（11）幂级数   n 1  n e n ( 1)   2 n z  x  n x  (1,0) 的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为 ( Q Q P  ) ,其对应价格 P 的弹性 p  ，则当需求量为 0.2 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加元（13）设  (1,1,1)T ,  (1,0, )Tk ，若矩阵 T 相似于      3 0 0 0 0 0 0 0 0      ，则 k  (14)设 1X ， 2X ,… nX 是来自二项分布总体 ( , B n p 的简单随机样本， X 和 ) 2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量 T X S  ，则 ET   2 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 9 分）求二元函数 ( , f x y )  2 x  2  2 y   y ln y 的极值。（16）（本题满分 10 分）计算不定积分（17）（本题满分 10 分）  计算二重积分 ( D  x ) y dxdy ，其中 D  ln(1  )x dx 1  x ( x  0) ( , x y ) ( x 2  1)  ( y 2  1)  2, y  x   .    （18）（本题满分 11 分） ① 证明拉格朗日中值定理，若函数 ( ) f x 在  ,a  b 上连续，在  ,a  b 上可导，则   ,a b  ，得证 ( ) f b  ( ) f a  f ' ( )   b a   . ②证明：若函数 ( ) f x 在 0 x  处连续，在 0, f 存在，且 ' (0) '(0) f   A . （19）（本题满分 10 分）   内可导，且 0) ,(  ' lim ( ) x  0 x f  ，则 A

设曲线 y  ( ) f x ，其中 y  ( ) f x 是可导函数，且 ( ) 0 f x  .已知曲线 y  ( ) f x 与直线 y  0, x  及 1 x ( t t  所围成的曲边梯形，绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边 1) 梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程。（20）（本题满分 11 分）设 A= 1   1   0  1  1 4  1  1 2        , 1 1     1      2  ①求满足 2 A  ， 2 A   的所有向量 2 ， 3 . 1 3 1 ②对①中的任意向量 2 , 3 证明 1 , 2 , 3 线性无关。（21）（本题满分 11 分）设二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  2 ax 1  ax 2 2  ( a  1) x 3 2  2 x x 1 3  2 x x 2 3 ①求二次型 f 的矩阵的所有特征值。 ②若二次型 1 f x x x 的规范型为 2 ( y 1 ) , , 2 3 y ，求 a 的值。 2 1 （22）（本题满分 11 分）设二维随机变量 ( )X Y 的概率密度为 , ( , f x y )  xe   0  x 0 y   其他 ①求条件概率密度 Y Xf ( y x ) ②求条件概率 P    X  1 Y 1    （23）（本题满分 11 分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 X 、 Y 、 Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。 ①求 P X    1 Z 0    . ②求二维随机变量 ( )X Y 的概率分布. , 参考答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）函数 ( ) f x  3 x x  sin x 的可去间断点的个数为：（）  A . 1  B . 2  C . 3  D .无穷多个【答案】C 【解析】  f x   3 x x  sin x 则当 x 取任何整数时，  f x 均无意义  故   f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 x x 3  的解 0 x 1,2,3 0, 1   lim 0 x  lim 1 x  lim 1 x  3 x x  sin x  3 x x  sin x  3 x x  sin x   lim 0 x   lim 1 x   lim 1 x  2 2 x  1 3 1 x  cos    1 3 2 x  cos    1 3 2 x  cos    x 2   x 故可去间断点为 3 个，即 0, 1 （2）当 x  时， ( ) f x 0   x sin ax 与 ( ) g x  2 x  A . 1a  ， b   1 6 b   a   ， 1  C . 【答案】 A ( ) f x 【解析】 ln(1  是等价无穷小，则（）  B . 1a  ， b  1 6  D . a   ， 1 ) bx 1 6 1 b  6   x sin ( ) ax g x ,  2 x ln (1  为等价无穷小，则 bx ) lim 0 x  ( ) f x ( ) g x  lim 0 x  x 2 sin ax  ln(1 bx  ) x  lim 0 x  x x sin  2 (   ax ) bx 洛 lim 0 x  ax 1 cos a  2 3 bx  洛 lim 0 x  a ax 2 sin 6 bx   lim 0 x  另外 lim 0 x  a  ax ax 2 sin 6 b  a cos 1 a  2 3 bx    3 a 6 b  1 3    a 6 b 故排除 ,B C 。 ax 存在，蕴含了1  a cos ax   0 x  故 1. a  排除 D 。 0

（3）使不等式 t dt  ln x 成立的 x 的范围是（）所以本题选 A。 sin t x 1  (0,1)  A . 【答案】 A 【解析】原问题可转化为求 ( ) f x  x  1 t sin t dt  取值范围，由 x x   ln 1 1 sin t  t  B . (1,  ) 2  C . (  , )  2  D . ( , )  dt t  dt sin  t  ，  0 t  x 1 t 0,1 1 x 1    sin t t 时，知当  x  1 dt  0,1 1 1 sin  t x  0 dt 成立时 x 的  时， ( ) 0 t f x  。故应选 A . （4）设函数 y   f x  在区间 1,3 上的图形为： ( ) f x O 0 -2 -1 1 2 3 x 则函数  F x  x   0 f   t dt 的图形为（） ( ) f x 1 0 -2 -1  A . 1 2 3 x  B . ( ) f x 1 0 -2 -1 1 2 3 x

( ) f x 1 0 -1 C .  【答案】 D 1 2 3 x ( ) f x 1 0 -2 -1  D . 1 2 3 x 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y  ( ) f x 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、 x x 所围的图形的代数面积为所求函数 ( )F x ，从而可得出几个方面的特征： 0 ①  x  0,1 时， ( ) 0 F x  ，且单调递减。 ②  x  1,2 时， ( )F x 单调递增。 ③  x  2,3 时， ( )F x 为常函数。 ④  x   1,0 时， ( ) 0 F x  为线性函数，单调递增。 ⑤由于 F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为 D 。（5）设 ,A B 均为 2 阶矩阵， ,A B 分别为 ,A B 的伴随矩阵，若| * A | 2,|  B | 3  则分块矩阵 0 B    A 0    的伴随矩阵为（）  A .  C .       0 * A 2 0 B * 2 3 * B 0 3 * A 0        B .    0 * A 3 2 * B 0     D .    0 B * 3 2 * A 0    【解析】根据CC   C E ，若  C   1 C C C ,  1  1 C  C 分块矩阵 0 B    A 0    的行列式 0 B A 0 2 2    （） 1 A B    2 3 6 ，即分块矩阵可逆

0 B     A 0     0 B A 0 0 B     1 A 0     6    0  A 1 1  B 0     6       0 1 A  A 1 B  B 0        6       0 1 2  A 1 3  B 0           0  A 3 2  B 0    故答案为（B）（ 6 ）设 ,A P 均为 3 阶矩阵， TP 为 P 的转置矩阵，且 TP AP       1 0 0 0 1 0 0 0 2      ，若 P  (    3 , , 1 2 ), Q  (     3  , , 1 2 2 ) ，则 TQ AQ 为（）  A . 2 1 0 1 1 0 0 0 2      2 0 0 0 1 0 0 0 2  C .      【答案】 A            B .      1 1 0 1 2 0 0 0 2       D .      1 0 0 0 2 0 0 0 2      【解析】 Q  (        3   ) ( , , , , 1 2 2 3 1 2 1 0 0   ) 1 1 0   0 0 1        (    3 , , 1 2 ) E 12 (1) ，即：  T (1) Q PE 12 T (1)] [ Q AQ PE  12 1 0 0     (1) 0 1 0     0 0 2   E  21 [ A PE 12 (1)]  T E 12 (1)[ T ] P AP E 12 (1) E 12 (1)  1 1 0 0 1 0 0 0 1                1 0 0 0 1 0 0 0 2           1 0 0 1 1 0 0 0 1       2 1 0 1 1 0 0 0 2           （7）设事件 A 与事件 B 互不相容，则（）   A . ( P AB  ) 0  B . ( P AB )  ( ( P A P B ) ) C . ( P A ) 1   ( P B )  D . ( ) 1 P A B 

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