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2005年辽宁高考数学真题及答案.doc
2005 年辽宁高考数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A、B 相互独立，那么
球的表面积公式
4 R
S
2
P(A·B)=P(A)·P(B)
其中 R 表示球的半径
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是
P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k
球的体积公式
4 R
V
球
3
3
次的概率
)(
kP
n
k
PC
k
n
1(
P
)
kn
其中 R 表示球的半径
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．复数
z
1
1
i
A．第一象限
)(
xf
lim
x
x
0
2．极限
i
.1
在复平面内，z所对应的点在
B．第二象限
存在是函数 )(xf 在点
C．第三象限
0x
x 处连续的
D．第四象限
（
）
（
）
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
3．设袋中有 80 个红球，20 个白球，若从袋中任取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的概率为
（
）
A．
4
6
CC
80
10
10
C
100
B．
6
4
CC
80
10
10
C
100
C．
6
20
4
CC
80
10
C
100
D．
4
20
6
CC
80
10
C
100
4．已知 m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命
题：①若
m
m
则
//
,
,
； ②若
,
则
；
//
,
③若
m
,
n
,
则nm
//
,
//
；
④若 m、n是异面直线，
m
//
则n
m
//
//
n
,
,
,
,
其中真命题是
A．①和②
B．①和③
C．③和④
D．①和④
（
）
5．函数
y
ln(
x
x
2
1
的反函数是
（
）
A．
y
x
e
x
e
2
B．
y
x
e
x
e
2
C．
y
x
e
x
e
2
D．
y
x
e
x
e
2
6．若
log
2
a
2
1
a
1
a
1(
2
)
,
A．
0
，则 a 的取值范围是
B．
,1(
)
C．
7．在 R 上定义运算
则
y
x
:
x
1(
y
).
若不等式
)1,
1(
2
(
ax
(
)
ax
（
）
D．
1,0(
2
)
1)
对任意实数 x 成立，
（
）
A．
1
a
1
B．
0
a
2
C．
1
2
a
3
2
D．
3
2
a
1
2
8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 m，则 m 的范
围是
（
）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．[3，+∞ )
D．（3，+∞）
9．若直线
2
x
c
y
0
按向量
a
)1,1(
平移后与圆
2
x
2
y
5
相切，则 c的值为（
）
A．8 或－2
B．6 或－4
C．4 或－6
D．2 或－8
10．已知
y
)(xf
是定义在 R 上的单调函数，实数
x ，
1
x
2
,1
a
x
x
1
2
1
,
x
2
1
0
x
1
，若
|
(
xf
1
)
(
xf
2
|
|)
f
)(
|)
f
(
，则
（
）
B．
0
C．
0
1
D． 1
A．
11．已知双曲线的中心在原点，离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线
合，
y
2 的准线重
4
x
则该双曲线与抛物线
2 的交点到原点的距离是
（
）
D．21
，由关系式
a
n
(
af
1
（
n
)
）
4
x
y
B． 21
A．2 3 + 6
y
)(xf
得到的数列 }{ na 满足
12．一给定函数
C．
18
12
2
1 a
的图象在下列图中，并且对任意
a
)1,0(
，则该函数的图象是
Nna
n
1
(
)
*
n
A
B
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
C
D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
13．
(
x
1
2
1
2
n
)
2
x
的展开式中常数项是
.
14．如图，正方体的棱长为 1，C、D 分别是两条棱的中点，
A、B、M 是顶点，那么点 M 到截面 ABCD 的距离是
.
15．用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 和 2 相邻，3 与 4 相
邻，
5 与 6 相邻，而 7 与 8 不．相邻，这样的八位数共有
个.（用数字作答）
16 ．是 正 实 数 ， 设
|{
S
)(
xf
cos[
)]
x
(
是 奇 函 数 } ， 若 对 每 个 实 数 a ，
S
,(
aa
)1
的元素不超过 2 个，且有 a 使
S
,(
aa
)1
含 2 个元素，则的取值
范围是
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 12 分）
已知三棱锥 P—ABC 中，E、F 分别是 AC、AB 的中点，
△ABC，△PEF 都是正三角形，PF⊥AB.
（Ⅰ）证明 PC⊥平面 PAB；
（Ⅱ）求二面角 P—AB—C 的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12π的
球面上，求△ABC 的边长.
18．（本小题满分 12 分）
如图，在直径为 1 的圆 O 中，作一关于圆心对称、
邻边互相垂直的十字形，其中
y
.0 x
（Ⅰ）将十字形的面积表示为的函数；
（Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
已知函数
19．（本小题满分 12 分）
x
x
b
1
)(
xf
|,3
b
n
|
足
a
n
S
n
3
1
(
x
).1
设数列 na{
}满足
a
1
,1
a
n
1
(
af
)
，数列 nb{ }满
n
b
2
Nnb
n
(
*
).
（Ⅰ）用数学归纳法证明
nb
n
)13(
12
n
；
（Ⅱ）证明
32nS
3
.
20．（本小题满分 12 分）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序
的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加
工结果都为 A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结
果为 A 级的概率如表一所示，分别求生产
出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙；
概
产品
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、
η分别表示一件甲、乙产品的利润，在
（I）的条件下，求ξ、η的分布列及
Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额
如表三所示.该工厂有工人 40 名，可用资.
金 60 万元.设 x、y分别表示生产甲、乙产
品的数量，在（II）的条件下，x、y为何
值时，
最大？最大值是多少？
z
yE
（解答时须给出图示）
xE
利
产品
用
产品
工序
等级
项目
率
甲
乙
润
甲
乙
量
甲
乙
第一工序 第二工序
0.8
0.75
0.85
0.8
一等
二等
5（万元） 2.5（万元）
2.5（万元） 1.5（万元）
工人（名） 资金（万元）
8
2
8
10
21．（本小题满分 14 分）
已知椭圆
2
2
x
a
2
2
y
b
(1
a
b
)0
的左、右焦点分别是 F1（－c，0）、F2（c，0），Q 是
椭圆外的动点，满足
|
QF
1
.2|
a
点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且
满足
PT
TF
2
|,0
TF
2
.0|
（Ⅰ）设 x 为点 P 的横坐标，证明
|
PF
1
|
a
c
a
x
；
（Ⅱ）求点 T 的轨迹 C 的方程；
（Ⅲ）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，
使△F1MF2 的面积 S=
.2b 若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分 12 分）
函数
y
)(xf
在区间（0，+∞）内可导，导函数
f 是减函数，且
)(x
f
x
)(
.0
设
x
0
,0(
),
y
mkx
是曲线
y
)(xf
在点（
x
0
,
(
xf
0
)
）得的切线方程，并设函数
)(
xg
.
mkx
（Ⅰ）用 0x 、
( 0xf
)
、
f
( 0x
)
表示 m；
（Ⅱ）证明：当
x
0
,0(
,
)
时
)(
xg
)(
xf
；
（Ⅲ）若关于 x 的不等式
x
2
1
ax
b
2
在x
3
,0[
)
3
2
上恒成立，其中 a、b为实数，
求 b的取值范围及 a与 b所满足的关系.
参考答案与评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细
则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数
的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分.
1.B
2.B 3.D
4.D
5.C
6.C 7.C
8.B
9.A
10.A
11.B
12.A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。
13．－160
14．
2
3
15．576
16．
]2,(
三、解答题
17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考
查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分 12 分.
（Ⅰ）证明： 连结 CF.
PE
EF
CF
,
AB
1
2
PF
BC
AP
AC
,
1
2
,
AB
平面
AB
PC
.
PCF
.
PC
平面
PCF
,
PC
.
AB
PC
平面
PAB
.
……4 分
（Ⅱ）解法一：
AB
PF
,
AB
CF
,
PFC
为所求二面角的平面角. 设 AB=a，则 AB=a，则
PF
EF
a
2
,
CF
3
2
a
cos
PFC
a
2
3
2
3
3
.
a
……………………8 分
解法二：设 P 在平面 ABC 内的射影为 O.
≌
PAE
,
PAB
≌
PAC
.
得 PA=PB=PC. 于是 O 是△ABC 的中心.
为所求二面角的平面角.
PAF
PFO
设 AB=a，则
PF
a
2
,
OF
1
3
3
2
.
a
cos
PFO
OF
PF
3
3
.
…………8 分
（Ⅲ）解法一：设 PA=x，球半径为 R.
PC
平面
PAB
,
PA
,
PB
3
x
.2
R
分
12
4
R
2
，
R
.3 得
x
.2
ABC
的边长为 22
.………12
解法二：延长 PO 交球面于 D，那么 PD 是球的直径.
连结 OA、AD，可知△PAD 为直角三角形. 设 AB=x，球半径为 R.
2
4
R
12
,
PD
.32
PO
OF
tan
PFO
6
6
,
OAx
2
3
3
2
x
,
3(
3
2
x
)
6
6
x
32(
6
6
x
).
于是
x
.22
ABC
的边长为
22
.……12 分
18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和
三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分 12 分.
（Ⅰ）解：设 S 为十字形的面积，则
S
2
xy
2
x
sin2
cos
cos
2
(
4
).
2
………………4 分
（Ⅱ）解法一：
S
sin2
cos
cos
2
2sin
1
2
cos
2
1
2
5
2
sin(
2
)
1
2
,
其中
arccos
52
5
.
………8 分 当
sin(
2
2,1)
即
2
时
S,
最大.……10 分
所以，当
4
1
2
arccos
52
5
时
S,
最大. S 的最大值为
15
2
.
…………12 分
解法二： 因为
sin2
cos
cos
2
,
所以
S
2
cos
2
sin2
2
sin2
cos
2
2cos
令 S′=0，即
S
.2sin
2
cos
2
……………………8 分
2sin
,0
可解得
2
1
2
arctan(
)2
………………10 分
所以，当
2
1
2
arctan(
)2
时，S 最大，S 的最大值为
15
2
.
…………12 分
19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问
题的能力，满分 12 分。
（Ⅰ）证明：当
,0
x 时
1)(
xf
2
1
x
.1
因为 a1=1，
所以
a n
(1
Nn
*).
………………2 分
下面用数学归纳法证明不等式
nb
)13(
1
n
2
n
.
（1）当 n=1 时，b1=
13 ，不等式成立，
（2）假设当 n=k 时，不等式成立，即
kb
k
)13(
1
k
2
.
那么
b
k
1
|
a
k
1
|3
|)13(
1
a
a
k
k
|3
………………6 分
13
2
kb
)13(
k
2
k
1
.
所以，当 n=k+1 时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意 n∈N*都成立。 …………8 分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
nb
)13(
1
n
2
n
.
所以
S
n
b
1
b
2
b
n
)13(
2
)13(
2
n
)13(
1
n
2
)13(
13(1
2
13
2
1
)
n
…………10 分
)13(
2
3
.3
1
13
2
1
故对任意
nSNn
,
2
3
.3
………………（12 分）
20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建
立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分 12
分.
（Ⅰ）解：
P
甲
85.08.0
,68.0
P
乙
75.0
8.0
.6.0
…………2 分
（Ⅱ）解：随机变量、的分别列是
P
5
0.68
2.5
0.32
P
2.5
0.6
1.5
0.4
E
68.05
32.05.2
,2.4
E
4.05.16.05.2
.1.2
…………6 分
（Ⅲ）解：由题设知
5
8
x
y
10
,60
y
x
2
,40
x
y
,0
.0
目标函数为
z
作出可行域（如图）：
作直线 :l
2.4
x
1.2
y
,0
xE
yE
2.4
x
.1.2
y
……8 分
将 l向右上方平移至 l1 位置时，直线经过可行域上
的点 M 点与原点距离最大，此时
z
2.4
x
1.2
y
…………10 分
取最大值. 解方程组
5
8
x
x
10
,60
y
2
.40
y
得
x
,4
y
.4
即
x
,4
y
4
时，z 取最大值，z 的最大值为 25.2 .……………12 分
21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应
用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分.
（Ⅰ）证法一：设点 P 的坐标为
,(
yx
).
由 P
,(
yx 在椭圆上，得
)
|
PF
1
|
(
x
2
c
)
2
y
(
x
2
c
)
2
b
2
2
b
a
2
x
(
a
c
a
x
2
.)
由
x 知
a
,
a
c
a
x
ac
0
，所以
|
PF
1
|
a
c
a
.
x
………………………3 分
证法二：设点 P 的坐标为
,(
yx 记
).
|
|
rPFrPF
1
2
|
|,
2
1
,
则
r
1
(
x
2
c
)
2
y
,
r
2
(
x
2
c
)
2
y
.
由
r
1
r
2
2
,2
ra
1
2
r
2
,4
cx
得
|
PF
1
|
r
1
a
证法三：设点 P 的坐标为
,(
yx 椭圆的左准线方程为
).
a
c
a
.
x
c
a
x
.0
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