四元数微分方程的推导 由于载体的运动，四元数 Q 是变量，即 0 2 3 q q q q 是时间的函数。刚体 , , , 1 绕瞬时转轴转过 角，其角速度为： . t tb n （式 1） 设这个运载体坐标系（ b 系）和地理坐标系（ t 系）之间的变换四元 数的三角形式为： 对式 2求导可得： Q cos n sin 2 2 （式 2） dQ dt . 1 2 sin 2 . 1 2 n cos 2 sin d n dt 2 （式 3） 因为： 则有： d n dt t tb n . n n 0 （式 4） n n （式 5） 1 . 1 2 n cos 2 . （式 6） n sin ) 2 . Q 1 2 sin (cos 2 2 . 2 n 将式 1和式 2代入式 6得： . Q 1 2 t tb Q （式 7） 由于捷联惯性导航系统的惯性器件是直接固联在运载体上的， 所以陀 螺测量得到的角速度是沿运载体坐标系的绝对角速度，因此应用式 7 不方便，需要进行进一步变换。 

因为： t tb b tbQ * Q （式 8） * Q Q Q Q （式 9） 1 * 式中 b tb 是沿运载体的角速度 . 将式 8、9代入式 7得： . Q 1 2 Q b tb （式 10） 将式 10写成矩阵形式为： q 0 q 1 q q 2 3 q 0 q 1 q 2 q 3 0 b b b x y z 1 2 0 q 1 q q 3 q 2 q 2 q 3 q 0 q 1 q 3 q 2 q 1 q 0 0 b x b y b z （式 11） b x 0 b z b y b y b z 0 b x b b z y b x 0 q 0 q 1 q 2 q 3 （式 12） q 0 q 1 q q 2 3 b b , y z 分别表示载体坐标系相对于地理坐标系沿各个轴向 式中， , x b 的角速度分量。