四元数总结2.pdf-资料库

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为什么使用四元数为了回答这个问题，先来看看一般关于旋转（面向）的描述方法－欧拉描述法。它使用最简单的x,y,z值来分别表示在x，y，z轴上的旋转角度，其取值为0-360(或者0-2pi），一般使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。需要注意的是，这里的旋转是针对世界坐标系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴，简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身就失去了任意轴的自主性，这也就导致了万向轴锁（GimbalLock）的问题。还有一种是轴角的描述方法（即我一直以为的四元数的表示法），这种方法比欧拉描述要好，它避免了GimbalLock，它使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,angle)，一般表示为(x,y,z,w)或者(v,w)。但这种描述法却不适合插值。那到底什么是GimbalLock呢？正如前面所说，因为欧拉描述中针对x,y,z的旋转描述是世界坐标系下的值，所以当任意一轴旋转90°的时候会导致该轴同其他轴重合，此时旋转被重合的轴可能没有任何效果，这就是GimbalLock，这里有个例子演示了GimbalLock，点击这里下载。运行这个例子，使用左右箭头改变yaw为90°，此时不管是使用上下箭头还是Insert、PageUp键都无法改变Pitch，而都是改变了模型的roll。那么轴、角的描述方法又有什么问题呢？虽然轴、角的描述解决了GimbalLock，但这样的描述方法会导致差值不平滑，差值结果可能跳跃，欧拉描述同样有这样的问题。什么是四元数四元数一般定义如下：q=w+xi+yj+zk其中w是实数，x,y,z是虚数，其中:i*i=-1j*j=-1k*k=-1也可以表示为：q=[w,v]其中v=(x,y,z)是矢量，w是标量，虽然v是矢量，但不能简单的理解为3D空间的矢量，它是4维空间中的的矢量，也是非常不容易想像的。四元数也是可以归一化的，并且只有单位化的四元数才用来描述旋转（面向），四元数的单位化与Vector

类似，首先||q||=Norm(q)=sqrt(w2+x2+y2+z2)因为w2+x2+y2+z2=1所以Normlize(q)=q/Norm(q)=q/sqrt(w2+x2+y2+z2)说了这么多，那么四元数与旋转到底有什么关系？我以前一直认为轴、角的描述就是四元数，如果是那样其与旋转的关系也不言而喻，但并不是这么简单，轴、角描述到四元数的转化：w=cos(theta/2)x=ax*sin(theta/2)y=ay*sin(theta/2)z=az*sin(theta/2)其中(ax,ay,az)表示轴的矢量，theta表示绕此轴的旋转角度，为什么是这样？和轴、角描述到底有什么不同？这是因为轴角描述的“四元组”并不是一个空间下的东西，首先（ax,ay,az）是一个3维坐标下的矢量，而theta则是级坐标下的角度，简单的将他们组合到一起并不能保证他们插值结果的稳定性，因为他们无法归一化，所以不能保证最终插值后得到的矢量长度（经过旋转变换后两点之间的距离）相等，而四元数在是在一个统一的4维空间中，方便归一化来插值，又能方便的得到轴、角这样用于3D图像的信息数据，所以用四元数再合适不过了。关于四元数的运算法则和推导这里有篇详细的文章介绍，重要的是一点，类似与Matrix的四元数的乘法是不可交换的，四元数的乘法的意义也类似于Matrix的乘法－可以将两个旋转合并，例如：Q=Q1*Q2表示Q的是先做Q2的旋转，再做Q1的旋转的结果，而多个四元数的旋转也是可以合并的，根据四元数乘法的定义，可以算出两个四元数做一次乘法需要16次乘法和加法，而3x3的矩阵则需要27运算，所以当有多次旋转操作时，使用四元数可以获得更高的计算效率。为什么四元数可以避免GimbalLock在欧拉描述中，之所以会产生GimbalLock是因为使用的三角度系统是依次、顺序变换的，如果在OGL中，代码可能这样：

glRotatef(angleX,1,0,0)glRotatef(angleY,0,1,0)glRotatef(angleZ,0,0,1)注意：以上代码是顺序执行，而使用的又是统一的世界坐标，这样当首先旋转了Y轴后，Z轴将不再是原来的Z轴，而可能变成X轴，这样针对Z的变化可能失效。而四元数描述的旋转代码可能是这样：TempQ=FromEula(x,y,z)FinalQ=CameraQ*NewQtheta,ax,ay,az=From(FinalQ)glRotatef(theta,ax,ay,az);其中(ax,ay,az)描述一条任意轴，theta描述了绕此任意轴旋转的角度，而所有的参数都来自于所有描述旋转的四元数做乘法之后得到的值，可以看出这样一次性的旋转不会带来问题。这里有个例子演示了使用四元数不会产生GimbalLock的问题。关于插值使用四元数的原因就是在于它非常适合插值，这是因为他是一个可以规格化的4维向量，最简单的插值算法就是线性插值，公式如：q(t)=(1-t)q1+tq2但这个结果是需要规格化的，否则q(t)的单位长度会发生变化，所以q(t)=(1-t)q1+tq2/||(1-t)q1+tq2||如图:

尽管线性插值很有效，但不能以恒定的速率描述q1到q2之间的曲线，这也是其弊端，我们需要找到一种插值方法使得q1->q(t)之间的夹角θ是线性的，即θ(t)=(1-t)θ1+t*θ2，这样我们得到了球形线性插值函数q(t)，如下：q(t)=q1*sinθ(1-t)/sinθ+q2*sinθt/sineθ如果使用D3D，可以直接使用D3DXQuaternionSlerp函数就可以完成这个插值过程。第二篇:四元数入门四元数常常可以在3D的书上看到。但我的那本3D图形学书上，在没讲四元数是干什么的之前，就列了几张纸的公式，大概因为自己还在上高中，不知道的太多，看了半天没看懂。。。终于，在gameres上看到了某强人翻译的一个“4元数宝典”（原文是日本人写的。。。），感觉很好，分享下。★旋转篇：我将说明使用了四元数（siyuanshu,quaternion）的旋转的操作步骤（１）四元数的虚部，实部和写法

所谓四元数，就是把4个实数组合起来的东西。4个元素中，一个是实部，其余3个是虚部。比如，叫做Q的四元数，实部t而虚部是x,y,z构成，则像下面这样写。Q=(t;x,y,z)又，使用向量V=(x,y,z)，Q=(t;V)也可以这么写。正规地用虚数单位i,j,k的写法的话，Q=t+xi+yj+zk也这样写，不过，我不大使用（２）四元数之间的乘法虚数单位之间的乘法ii=-1,ij=-ji=k(其他的组合也是循环地以下同文)有这么一种规则。（我总觉得，这就像是向量积（外积），对吧）用这个规则一点点地计算很麻烦，所以请用像下面这样的公式计算。A=(a;U)B=(b;V)AB=(ab-U·V;aV+bU+U×V)不过，“U·V”是内积，「U×V」是外积的意思。注意：一般AB<>BA所以乘法的左右要注意！（3）3次元的坐标的四元数表示如要将某坐标(x,y,z)用四元数表示，P=(0;x,y,z)则要这么写。另外，即使实部是零以外的值，下文的结果也一样。用零的话省事所以我推荐。

（４）旋转的四元数表示以原点为旋转中心，旋转的轴是(α,β,γ)（但α^2+β^2+γ^2=1），（右手系的坐标定义的话，望向向量(α,β,γ)的前进方向反时针地）转θ角的旋转，用四元数表示就是，Q=(cos(θ/2);αsin(θ/2),βsin(θ/2),γsin(θ/2))R=(cos(θ/2);-αsin(θ/2),-βsin(θ/2),-γsin(θ/2))(另外R叫Q的共轭四元数。）那么，如要实行旋转，则RPQ=(0;答案)请像这样三明治式地计算。这个值的虚部就是旋转之后的点的坐标值。（另外，实部应该为零。请验算看看）例子代码///Quaternion.cpp///(C)ToruNakata,toru-nakata@aist.go.jp///2004Dec29#include#include///DefineDatatypetypedefstruct{doublet;//real-componentdoublex;//x-component

doubley;//y-componentdoublez;//z-component}quaternion;////Bill注：Kakezan在日语里是“乘法”的意思quaternionKakezan(quaternionleft,quaternionright){quaternionans;doubled1,d2,d3,d4;d1=left.t*right.t;d2=-left.x*right.x;d3=-left.y*right.y;d4=-left.z*right.z;ans.t=d1+d2+d3+d4;d1=left.t*right.x;d2=right.t*left.x;d3=left.y*right.z;d4=-left.z*right.y;ans.x=d1+d2+d3+d4;d1=left.t*right.y;d2=right.t*left.y;d3=left.z*right.x;d4=-left.x*right.z;ans.y=d1+d2+d3+d4;d1=left.t*right.z;

d2=right.t*left.z;d3=left.x*right.y;d4=-left.y*right.x;ans.z=d1+d2+d3+d4;returnans;}////MakeRotationalquaternionquaternionMakeRotationalQuaternion(doubleradian,doubleAxisX,doubleAxisY,doubleAxisZ){quaternionans;doublenorm;doubleccc,sss;ans.t=ans.x=ans.y=ans.z=0.0;norm=AxisX*AxisX+AxisY*AxisY+AxisZ*AxisZ;if(norm<=0.0)returnans;norm=1.0/sqrt(norm);AxisX*=norm;AxisY*=norm;AxisZ*=norm;ccc=cos(0.5*radian);sss=sin(0.5*radian);ans.t=ccc;

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