大话多旋翼飞行器--动力学分析 http://www.hezimm.com 作者：红桃 k 四旋翼飞行器的结构与基本飞行原理 四个旋翼的对称布局可以有两种形式，分别称为 X 模式和十字模式。实际 应用中，这两种模式在性能上差别不大，但对于分析来说，十字模式更为简化和 直观，因此本文以十字模式进行分析。 四旋翼微型飞行器的结构如图 1 所示。机身是一个刚性的十字交叉结构，四 个电机分别位于十字结构的末端，驱动四个旋翼转动进而产生升力。四旋翼飞行 器产生基本动作的原理为：电机 1 和 3 逆时针旋转驱动两个正桨(旋翼逆时针旋 转产生升力则称为正桨，反之则为反桨)产生升力，电机 2 和 4 顺时针旋转驱动 两个反桨产生升力。反向旋转的两组电机和桨使其各自对机身产生的转矩相互抵 消，保证四个电机转速一致时机身不发生自旋。电机 1 转速减小(增大)，同时电 机 3 转速增大(减小)，产生向前(后)方向的运动。电机 2 转速减小(增大)，同时电 机 4 转速增大(减小)，产生向左(右)方向的运动。四个电机转速同时增大(减小) 产生向上(向下)的运动。对角线的电机一组转速增大，另一组转速减小产生自身 旋转运动。通过这几种动作的组合，即可实现多样的飞行。 旋翼2 xW F2 yW zW Q1 F1 Q2 旋翼1 xB yB mg zB Q3 F3 图 1 飞行器结构 旋翼 4 Q4 F4 旋翼 3 使用北-东-地坐标系作为导航坐标系，以 W 表示。其坐标轴 xW 指向地球北， yW 指向地球东，zW 垂直于地球表面并指向下。飞行器机体坐标系固连于飞行器 的质心，以 B 表示。其坐标轴 xB 平行于桨盘平面并指向前，yB 平行于桨盘平面 并指向右，zB 垂直于桨盘平面并指向下。 

旋翼动力学 令单个旋翼绕其旋转轴的角速度为 Ωi (i=1,2,3,4)，电机转矩为 τi，与电机转 i i i r I = Q +   矩相反的空气阻力矩为 Qi。则有 其中 Ir 为单个旋翼绕其旋转轴的转动惯量与电机转子转动惯量之和。单个旋翼在 自由流中的升力为 其中，b 为一正比例常数，其值由空气密度，桨叶半径的立方，桨叶数量，桨叶 弦长，升力常数(与桨叶攻角相关)，阻力常数(与飞行器结构相关)，以及几何尾 迹决定。旋翼在自由流中的阻力矩为 Q i 常数 κ 也为一正比例常数，其值仍然与以上因素相关，尤其是桨叶俯仰角。四个 旋翼的总升力为 2  i 2   i F b i (0-1) (0-2) (0-3) T  4  i 1  F b i  4   2  i  i 1     四个旋翼产生的横滚、俯仰以及偏航转矩分别为  2    4          3   2         3 L 为旋翼旋转轴到飞行器质心的距离。 2    3       Lb Lb rI + + + 2 1 2 1  2 2 2 4 2 2   2 4 x y 1 z 旋翼转速与电机电压的关系 直流电机的模型可以描述为 E K Φ    K ΦI     U E I R   a E a a K K I E Φ a K K I 2 Φ a    (0-4) (0-5) (0-6) (0-7) (0-8) 其中 E 为反电动势，为电磁转矩，U 为电机的外加电压， aI 为电机电流， aR 为 电机电阻， 为电机转速(单位：转/分)， EK 为与电机结构有关的常数， K 为与 线圈结构有关的常数，Φ 为线圈所处位置的磁通，与线圈电流成正比，即 = Φ a 由以上三式可得 Φ K I 。   K U T K K E  Φ  R a K K E Φ 忽略旋翼绕其旋转轴的转动惯量与电机转子转动惯量，有 = = Q 2 (0-9) (0-10) 

代入上式并忽略电机电阻，有 令 有 2   K U T K K E  Φ K   K T K K E  Φ 即旋翼转速的平方与电机电压成正比。 2   K U  (0-11) (0-12) (0-13) 1.1.1 前飞侧翻效应与旋翼陀螺效应 飞行器在前飞时会受到侧翻效应的影响。桨叶向前划行时，桨叶和空气的相 对速度高于旋转本身所带来的线速度；反之，桨叶向后划行时，桨叶和空气的相 对速度低于旋转本身所带来的线速度。因此，旋翼两侧产生的升力不均匀。对于 单个旋翼来说，这个周期性的升力变化在桨毂处产生一个转矩，力图使机身向一 侧倾斜。由于飞行器具有正反两组旋翼，并且布局对称，四个旋翼引起的总的侧 翻转矩被基本抵消了，不会产生大幅度侧向倾斜。 假设旋翼是刚性的，则绕电机轴高速转动的旋翼可以看做一个陀螺。当飞行 器绕载体坐标轴旋转时，旋翼的旋转轴被迫在空间改变方位，即旋转轴被迫进动， 旋翼将受到陀螺力矩的作用，其大小为  I q + =       r 1 4 3  I p = Ω +      r 1 4 '  x '  y   2 3 2 (0-14) 在近悬停状态下，飞行器角速度很小且四个旋翼转速基本相同，陀螺力矩近似为 0。然而，在高机动性飞行(比如高速空翻)时，陀螺转矩的值较大，需要加以考 虑。 飞行器机体动力学分析 使用 Z-Y-X 欧拉角描述飞行器在导航坐标系下的旋转。由 W 系到 B 系，可 以先绕 zW 轴旋转一个偏航角 ψ，再绕新坐标系下的 y 轴旋转一个俯仰角 θ，最后 绕 xB 轴旋转一个横滚角。由 W 系到 B 系的旋转矩阵 B C B W        WC 表示为 s     s c c s       s s c c        c c  s s c  c s c  c s  s s s  c s s  c c s c  (0-15) 其中符号 c 和 s 分别代表余弦函数和正弦函数。由 B 系到 W 系的旋转矩阵为 W BC WC 。 = TB 

以[p, q, r]T 表示飞行器在 B 系下绕质心旋转的角速度，其与欧拉角的关系可 以表示为                  0 sin sec 0  1 sin tan   cos        cos sec  tan   sin  cos   p       q    r       (0-16) 令 r 代表飞行器质心在 W 系下的位置向量，则飞行器质心的动力学方程表示为 其分量形式为 T D T B m C  r m W B +   g (0-17) x    ma T D s s c s c +     T x    ma T D s c c s s +      T    ma mg T D c c +    T z = = = y z y (0-18) 其中 DT 是由于飞行器做平移飞行时的空气阻力，方向与飞行器飞行速度方向相 反。 令 J  R 代表飞行器相对质心的惯性矩阵，表示为 3 3 J J J J       xx yx zx J J J xy yy zy J J J xz yz zz      (0-19) (0-20) 描述飞行器转动的欧拉方程为 式中 M 为飞行器的合外力矩，为飞行机体坐标系下的转动角速度，  表向量叉积的斜对称矩阵，即    J J M S + =   S ω 为代   S ω   0   r  q   r  0 p q p  0      欧拉方程的分量形式为 J  J J  J p xx  J q yy  J r zz  J  J   J     xx yy zz zz xx yy    qr J + pr J + pq J + yz xz xy    2 2 r p q 2    2 q r p 2 2       J xz J xy J yz xy    pq r J + +    qr p J + + yz    pr q J + + xz    x    pr q M =   pq r M = y   p M qr =   z (0-21) (0-22) 假设飞行器的结构是严格对称的，即忽略惯性积 Jxy，Jxz，Jyz，上式简化为  J p xx  J q yy  J r zz   J  J   J   yy  zz  xx zz J J J xx yy    qr M pr M pq M = = = x y z  = + '   x x = + '   y y D =  z R z   D R x D R y (0-23) D D D 是飞行器绕质心旋转时的空气阻力矩，方向与飞行器瞬 , , R x R x R x T  其中 RD =  

时角速度 ω 方向相反，其大小表示为 1= 2 RD C  2 2 综上所述，完整的飞行器非线性动力学模型为  s s c s c +   m c s s m  T D  T z  s c   mg = + = +   a a    x y  T D  T x   T D  T  a z =  c c  m (0-24) y y (0.25) D R x D R zz x y xx J +   q + = + + pr xx   yy J J  p = J zz qr '   x J '   y J yy D R z xx J  J yy J   J J zz zz    r = sin + cos sec      r q = cos sin       p q r sin + cos = +   pq  z = + q  r J xx yy    tan