2021-2022 年上海市金山区高一数学上学期期末试卷及答案 一.填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 外，第 7~12 题每题 5 分） 1. 函数 ( ) f x  log ( 2 x  的定义域是________. 3) 【答案】 (3, ) 2. 若等式 2 ax  bx   x   1 x  2   恒成立，则常数 a与 b的和为______. 2 【答案】2 2 2  x  1 0   ， B   x x  2 1 0   ，则 A______B.（用符号“  ”“=” A 3. 若集合  或“  ”连接）  x x 【答案】  4. 设集合 P   ， ,5   Q m ,  ，若 P Q     ，则实数 m的取值范围是______. 【答案】 5m  5. 函数 y  2 x 【答案】 4 x  1    的零点为______. 1 x 6. 函数 y x  的递增区间是______. 1 【答案】[1，+∞） 7. 若指数函数  y m 3 x  在 R 上是严格减函数，则实数 m的取值范围是______.  【答案】3 4m  log x y  8. 函数 1 2  2  ，  x  2,6 的最大值为______. 【答案】-2 9. 若关于 x的不等式 2 x mx 9 0   的解集为 R，则实数 m的取值范围是______. 【答案】 6 6 ， 10. 满足条件：{ }a M   , , a b c d ,  的集合 M的个数为______. 【答案】7 

11. 若  log 2 9 a b    log 3 ab ，则 8a b 的最小值为______. 【答案】 25 12. 设集合 M   1,2,3,   ,2021 ，对 M的任一非空子集 A，令  A 为集合 A中元素的最 大值与最小值之和，则所有这样的  A 的算术平均值为______. 【答案】2022 二.选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是严格增函数的是（ ） A. y  1 x 【答案】D B. y  2x C. y  lg x D. y 3 x 14. 若 A、B均为集合，则“A B”是“ A B A ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 【答案】A D. 既不充分也不必要条件 15. 用反证法证明命题：“对于三个实数 a、b、c，若 a c ，则 a b¹ 或b c ”时，提出的 假设正确的是（ ） A. a b¹ 且b c C. a b c   【答案】C B. a b 或b c D. a c 16. 方程3 x  x 5  11 x  x 19  x 1  的实数根的个数是（ ） A. 0 【答案】B B. 1 C. 2 D. 3 三.解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 17. 已知全集U  R ， 【答案】 x x   1 A   x 1    ， x  3 B   x x 1  ，求 A B . 18. 已知 1x 、 2x 是一元二次方程 2 x   m  6  x m   的两个不相等的实数根，且 0 lg lg  x 1 x x  1 lg   2 x 2  2 ，求实数 m 的值. 

【答案】 3m  19. 已知幂函数 y    f x 在其定义域上是严格增函数，且  f x   x 2 m  2 m （ m Z ）. （1）求 m的值； （2）解不等式：  f x  2   3  f x . 【答案】（1） 1m  2,3 （2） 20. 某科技公司研究表明：该公司的市场占有率 y 与每年研发经费 x（单位：亿元）满足关 系式： y  x 2 x mx 3  2  2  x  0  ，其中 m 为实常数. （1）若 0m  时，该公司市场占有率不低于 60% ，则每年研发经费至少需要多少亿元？ （2）若 m   时，求该公司市场占有率的最大值. 1 4 【答案】（1）至少需要 0.5 亿元； （2）80% . 21. 设 y    f x 是定义在[m，n]（ m n ）上的函数，若存在 x 0   , m n  ，使得 y    f x 在区间 ,m x 上是严格增函数，且在区间 0 0,x n 上是严格减函数，则称  y    f x 为“含峰 函数”， 0x 称为峰点，[m，n]称为含峰区间.    是否为[0，6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请 x 2 6 x （1）试判断 y 说明理由； （2）若 y  2 ax  bx  （ 0a  ，a、b、 Rc  ）是定义在[m，3]上峰点为 2 的“含峰函 c 数”，且值域为[0，4]，求 a的取值范围； （3）若 y   3 x   tx t  R 是[1，2]上的“含峰函数”，求 t的取值范围.  【答案】（1）是[0，6]上的“含峰函数”，峰点为 3； ,3  ，  x m 0) （2）记函数 ( ) f x ( c a  bx   2 ax ， 2m  则 ( ) f x 在区间[m，2]上是严格增函数，在区间 2,3 上是严格减函数， 0 a  则有 b   2 a   4 a    2 2 b c   4 ，解之得 4 a b       4 4 c  a 

则 ( ) f x  2 ax  4 ax   4 4 ( a a  ，  x m 0) ,3 f (3) 9  a  12 a   4 4 a   ； a 4 ( f m am  ) 2  4 am 4 4   a 令 4 0 a   ，可得 a   ， 则有 ( ) f x 4   x 2  16 x 4  ，  x m 12 ,3 则 ( ) f x 在 ,2m 上严格递增，在 2,3 上严格递减， (2) f  ， (3) 0  4 f 由 ( ) f x 在[m，3]上值域为 0,4 ，可知 m  1,2 时，符合题意. 令 2 4  am am   4 4 a  ，则 0 2m   2  a 或 2m   2  a （舍去） 此时 ( ) f x  2 ax  4 ax   4 4 ( a a  ， 0) x 2     2  a ,3    则 ( ) f x 在  2   2  a ,2    上严格递增，在 2,3 上严格递减， (2) f  ， ( f 4 2  )2 a   0 由 ( ) f x 在[m，3]上值域为 0,4 ，可知 (3) f 综上，当 m  1,2 时，a的取值为 4 ； a   ，解之得 4 4 0    a 0 当 2m   2  a 时，a的取值范围是 4 0    . a （3）记 f ( ) x  3 x   t x  t  R ，设任意  x x  1 , 2 则 ( f x 1 )  f ( x 2 )   3 x 1  tx 1  3 x 2  tx 2   x 2  x 1 当 3t≤ 时，由 x x  1 , 2  1,2  x ，且 1 x 2  1,2  2 x 1  x ，且 1 x 2  x x 1 2  2 x 2  t  x 可知 2 则 x 2  0  ， 2 x x 1 1  2 x 1 x x 1 2 x 1  x 2   x x 1 2  2       1 1 1 t t 0  2 x 2  t ( f x  ，即 1 0 )  ( f x 2 ) 则 ( ) f x 为 1,2 上严格减函数，不符合题目要求； 当 12 t  时，由 x x  1 , 2  1,2  x ，且 1 x 2 x 可知 2 x 1  ， 2 x 1 0  x x 1 2  2 x 2       4 4 4 t t 0 

则 x 2  x 1  2 x 1  x x 1 2  2 x 2  ( t f x   ，即 1 0 )  ( f x 2 ) 则 ( ) f x 为 1,2 上严格增函数，不符合题目要求； 当3 t  时， 12 设任意 1 , x x 2  1,    t 3    x ，且 1 x ，此时 2 x 1 2  x x 1 2  2 x 2 x t       ， 2 0 t t t t 3 3 3 x 1  0 则 x 2  x 1  2 x 1  x x 1 2  2 x 2  ( t f x   ，即 1 0 )  ( f x 2 ) ， ( )  f x 为 1,   t 3    上严格增函数； 设任意 1 , x x 2     t 3 ,2    x ，且 1 x ，此时 2 x 1 2  x x 1 2  2 x 2 则 x 2  x 1  2 x 1  x x 1 2  2 x 2  t  ( f x  ，即 1 0 )  ( f x 2 ) 故 ( ) f x 是[1，2]上峰点为 t 的“含峰函数”. 3 综上，t的取值范围为3 t  12 x t       ， 2 0 t t t t 3 3 3 x 1  0 ， ( )  f x 为 1,   t 3    上严格减函数；