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2021-2022年上海市闵行区高一数学上学期期末试卷及答案.doc
2021-2022 年上海市闵行区高一数学上学期期末试卷及答案
一､填空题（第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分，满分 54 分）
1. 已知集合
A
2
|
x x
2
x
，
B
0
0,1,2
，则 A B
_____．
【答案】
2. 函数 y＝ln(x-1)的定义域为__________.
【答案】
3. 若幂函数
x 的图像经过点
a
y
3, 3 ，则此幂函数的表达式为 y ___________.
【答案】
1
log 10 ___________.
2x ## x
p ，用 p 表示 3
3
4. 已知10
【答案】
1
p
1 3
2
x
1
x
【答案】 (1, 4)
5. 不等式
的解是___________.
6. 已知b 、c R ，关于 x 的不等式 2
x
bx
的解集为
c
0
2,3
，则bc ___________.
【答案】 6
7. 陈述句“ 1x 或 1y ”的否定形式是________.
【答案】 1x 且 1y .
8. 设
1
3
x ，则 3
2
5
x
1
x
___________.
【答案】4
9. 已知实数 a b､ 满足 2
a
2
b
，则 ab 的最大值为___________.
2
【答案】1
10. 如图，函数
y
f x
的图象为折线 ABC ，则不等式
f x
2log
x
1
2
的解为
___________.
【答案】
x
| 2
x
4
##
2,4
x
k
11. 已知 0
k ，函数
y
【答案】 1
k ³
1,
x
0
2
x
有最大值，则实数 k 的取值范围是___________.
,
x
0
k
12. 已知 mR ，若存在定义域为 R 的函数
y
f x
满足：对任意 0x R ，
1
10
x
0
10
x
0
3
，则 m ___________.
f
x m
0
【答案】-2
二､选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）
13. 已知 a b､ 为实数，若
:
ab
:
0,
a
2
b
，则是的（
0
）
A. 充分不必要条件
C. 充要条件
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
14. 如果 x
A.
2
x
2
y
C. x
y
【答案】D
y ，则下列不等式恒成立的是（
）
B.
xy
2
y
D. x
y
15. 函数
y
5
x
1x
3
的大致图像是（
）
A.
C.
【答案】C
16. 已知关于 x 的不等式
B.
D.
x
2
2
a x
ax
的解集是 A ，不等式
4
log 4 2
2
log 4 2
2
x
2
2
a x
ax
的解集是 B ，有下列两个结论：①存在 a R ，使 A B ；
4
②对任意的 a R ，都有
4,0
；则（
A
）
A. ①②均正确
C. ①正确②错误
【答案】D
B. ①②均错误
D. ①错误②正确
三､解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）
17. 已知全集为 R ，集合
A
x
| 3
x
4
2
.
（1）求 A ；
（2）已知集合
B
0
x
∣
x m
1
，且 A B
R ，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1）
A
x
2|
3
x
2
（2）
m m
|
1
x
2
x
y h x
.
1
是偶函数，且当 0x 时，
h x
18. 已知
f x
（1）若函数
达式；
f x
，当 0x 时，求
h x 的表
（2）证明：函数
y
f x
在区间
1 ,
2
上是严格增函数.
【答案】（1）当 0x 时， ( )
h x
（2） 1
,
x x
2
(
且 1
x
)
；
x
x
2
1
x ，则
2
,
1
2
x
1
x
1
2
(
f x
1
)
(
f x
2
)
1 2
x
2
x
2
1
x
x
2
1
1)(2
x
2
(2
x
1
，
1)
因
x
1
，则 12
x ， 22
1 0
x ， 1
x
1 0
x
2
x
2
(
f x
，即 1
0
)
(
f x
2
)
，有
0
1
2
)
(
f x
1
(
f x
2
)
，
所以函数
y
f x
在区间
1 ,
2
上是严格增函数.
19. 为了使读者有更好的阅读体验，某杂志采用如下排版方式：在矩形版面 ABCD 中设计
两个相同的矩形栏目，每个栏目的面积为
150cm ，在它们的上下各留有3cm 的空隙，左右
2
各留有 2cm 的空隙，中间留有1cm 的空隙，如图所示（图中单位：cm ），设矩形栏目的左
侧边长为 cmx ，整个矩形版面 ABCD 的面积为
2cmy
（1）试把 y 表示成 x 的函数；
（2）当
cmx
为何值时，整个矩形版面 ABCD 的面积最小.（结果精确到 0.1cm ）
【答案】（1）
y
(
x
6)(
300
x
5)
(
x ；
0)
（2）19.0 cm.
20. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号､概念名称的界定外，欧拉还基于初等
函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数
y
f x
，如果对
于其定义域 D 中任意给定的实数 x ，都有 x D
，并且
f x
f
x
1
，就称函数
y
f x
为倒函数.
（1）已知
f x
x
2 ,
g x
1
1
x
x
说明理由）
，判断
y
f x
和
y
=
( )
g x
是不是倒函数；（不需要
（2）若
y
f x
是 R 上的倒函数，当 0
x 时，
f x
1
2 x
2
x
，方程
f x
2022
是
否有正整数解？并说明理由；
（3）若
y
f x
是 R 上的倒函数，其函数值恒大于 0，且在 R 上是严格增函数.记
[
F x
1
x
2
x
，证明： 1
2
]
f x
f x
f x 是倒函数， 1
1
0x ，
g x
【答案】（1） 2x
(2)令 0
x ，则
是
0
F x
1
F x
2
的充要条件.
0
x
x
不是倒函数；
∴倒函数的定义，可得
( )
f x f
(
x
)
( )
f x
2x
x
2
，即
1
( )
f x
2x
2
，
x
∴
( )
f x
2
x
2
x
1
x
2
x
2
,
,
x
0
x
0
，要使
f x
2022
有正整数解，则
0
x
x
2
x
，
2
2
02
2
当 10
x 时，
10
2
2
10
1124
20 2
2
；当 11
x 时，
11
2
2
11
2169
2
20 2
；
∴
f x
2022
没有正整数解.
（3）由题设，
F x
( )
f x
1
( )
f x
，又
y
f x
是 R 上的倒函数，
∴
F x
( )
f x
f
(
，故
x
F x
1
)
F x
2
(
f x
1
)
f
(
x
1
)
(
f x
2
)
f
(
x
，
2
)
x
充分性：当 1
x
2
x
时， 1
0
x 且 2
x
2
x ，又 ( )
f x 在 R 上是严格增函数，
1
(
f x
∴ 1
)
f
(
x
(
) 0
f x
， 2
)
2
f
(
x
1
，故
) 0
F x
1
F x
2
成立；
0
必要性：当
F x
1
F x
2
时，有
0
(
f x
1
)
1
(
f x
1
)
(
f x
2
)
1
(
f x
2
)
[
(
f x
1
)
(
f x
2
)][
)
(
(
f x f x
1
2
(
(
f x f x
2
) 1
)
)
1
] 0
，又 ( )
f x 恒大于 0，
(
(
f x f x
∴ 1
)
) 1
2
(
)
f x f
1
(
(
f x
x
，即 2
1
)
)
f
(
x
， ( )
1
f x 在 R 上是严格增函数，
)
x
∴ 2
x ，即有 1
x
1
x
2
成立；
0
x
综上， 1
x
2
是
0
F x
1
F x
2
的充要条件.
0
21. 对于函数
y
f x
x D
及正实数 r ，若存在 a b R
､
，对任意的 x D ，
f x
ax b
恒成立，则称函数
r
y
f x
具有性质
L a b r .
,
,
（1）判断函数
y
log ,
x x
2
1
2
,4
是否具有性质
L
1,1,2
？并说明理由；
，求实数 m 的取值范围；
,
x
[
1
2
,2]
具有性质
L a b r ，求正
,
,
1
x
（2）已知函数
2,
y mx x
1,4
具有性质
L
1,1,3
（3）如果存在唯一的一对实数 a 与b ，使函数
y
实数 r 的取值情况.
【答案】（1）不具有，理由见解析；
（2）
（3）
1
8
1
4
m
；
1
2
.
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