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2021-2022年上海市松江区高一数学上学期期末试卷及答案.doc
2021-2022 年上海市松江区高一数学上学期期末试卷及答案
，则 A B
3}
x
___________
x
B
A
， { | 0
一、填空题（本大题满分 36 分，本大题共有 12 题）
1. 已知集合 { 1,0,1,2}
【答案】{1,2}
2. 函数
f x
【答案】
1
的定义域为______.
1,
lg
x
x
x ，则 x =__________.
1
2
log
3. 若 4
【答案】2
4. 已知 1x 、 2x 是方程 2 3
x
x
的两个根，则
3 0
1
x
1
1
x
2
______．
【答案】1
5. 设 a 、b 为实数，比较两式的值的大小： 2
a
2
b
_______ 2
a
2
b
或=填入划线部分）．
【答案】
（用符号 ,
,
,
2
6. 已知
y
( )
f x
是奇函数，当 0
x 时， ( )
f x
x ，则
2
1(
f 的值为________．
2
)
【答案】
##1.5
3
2
( )
f x
2,4
7. 函数
【答案】
lg(4
x
的严格减区间是_________.
x
2
)
8. 已知函数 ( )
f x
x
，则不等式 (
f x
1 |
x
|
3)
f
(2 ) 0
的解集为____
x
【答案】（1，＋∞）
9. 若存在实数 x 使
x
3
1
成立，则实数 a 的取值范围是___________．
x a
4.
a
【答案】 2
10. 对任意的正实数 x 、 y ，不等式 x
y m x
恒成立，则实数 m 的取值范围是
y
________．
【答案】[ 2,
)
11. 设平行于 y 轴的直线l 分别与函数
y
log
x
2
和
y
log
2
x
1
的图像相交于点 A 、 B ，
若在函数
y
log
x
2
的图像上存在点C ，使得 ABC
是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，
则点C 的横坐标为_______.
【答案】1
2
+
2
12. 已知
f x
3
x x a
2
x x a
,
,
，若存在实数b ，使函数
g x
f x
有两个零点，则 a 的
b
取值范围是________．
【答案】
1,
,0
二、选择题（本大题满分 12 分，本大题共有 4 题）
13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（
B. y
A.
2
与 y
x
）
x 与
y
(
x
)
C.
y 与 4x
y
22 x
D. y
x 与
y
lne x
y
11
x
【答案】C
14. 已知函数
y
f x
可表示为
x
y
0
2x
2
4x
4
6x
6
8x
1
2
3
4
则下列结论正确的是（
）
A.
C.
f
3
f
f x 的值域是
4
1,4
B.
D.
f x 的值域是
f x 在区间
1,2,3,4
4,8 上单调递增
【答案】B
15. 设 x 、 y 是实数，则“ 0
x ”是“ x
y 且
1
x
”的（
1
y
）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
16. 已 知 函 数
( )
f x
3 ,
x
1
x
x
3 ,
x
0
0
x
， 若 1
x
2
， 且
x
3
(
f x
1
)
(
f x
2
)
(
f x
3
)
， 则
x
2
x
2
A.
)
(
f x
1
的取值范围是（
x
3
10,
8
3(0,
2
)
C.
【答案】D
）
B.
D.
10,
2
30,
8
三、解答题（本大题满分 52 分，本大题共有 5 题）
A
2
x x
2
x
3 0
，
B
x
1 2
x
．
16
3,
a
R ，若 D A ，求实数 a 的取值范围．
}
17. 已知全集U R ，集合
（1）求 A B ；
{
D x a
（2）设集合
【答案】（1）
（2） (
18. 已知函数
[3,
x a
1,4
, 4]
．
A B
)
| 1
x
2
1
x
( )
f x
( )
f x
．
y
|
（1）证明：函数
（2）证明：函数
y
( )
f x
【答案】
（1）因为
|
( )
f x
| 1
x
2
1
x
D
f x 的定义域为
，
所以 ( )
为偶函数；
在区间(1,
) 上是严格减函数.
{ |
x x R
，且
x ．
1
1
x
2
)
1
1
x
1}
x
2
x
( )
f x
，
对于任意 x D ，因为
f
(
x
)
(
所以 ( )
f x 为偶函数．
（2）当 (1,
x 时，
)
任取 1
x
,
x x ，且 1
(1,
)
2
x
2
x
1
1
1
1
x
．
( )
f x
x ，
2
x
x
1
2
1)(
x
2
1)
那么
(
f x
1
)
(
f x
2
)
1
1
(
1
x
1
x
1
1
x
，所以 2
x
2
x
， 1
(
x
1
(
(
f x
f x
，即 1
x
2
(
f x
) 上的严格减函数．
0
0
)
)
2
因为
1 x
1
)
(
f x
所以 1
f x 是 (1,
所以 ( )
)1 (
x
2
1) 0
，
)
2
．
19. 环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号国产电动汽
车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速 80km/h（不含 80km/h）．经多次测试得到，该汽
车每小时耗电量 M （单位：Wh）与速度 v （单位：km/h）的下列数据：
v
M
0
0
20
3000
40
60
5600
9000
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度 的关系，现有以下三种函数模型供选择：
( )
M v
（1）当 0
2
3
v
cv
bv
，
1
40
v 时，请选出符合表格所列实际数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；
， ( )
M v
( ) 800(
500 log (
a
．
M v
2
3
80
1)
a
b
v
)
v
（2）现有一辆同型号汽车在 200km 的国道上行驶，如何行使才能使得总耗电量最少，最少
为多少？
【答案】（1）
( )
M v
1
40
3
v
2
bv
符合，且
cv
( )
M v
1
40
3
v
2
2
v
180
v
（2）此汽车以 40km/h 的速度行驶时，总耗电量最少，最少为 28000Wh
( )
f x
20. 已知函数
2
x
1
x
（1）求不等式 (
4) 1
f x
（2）若关于 x 的方程 ( )
f x m
.
(
f x
在 [1,
0
的解集；
)
2)
x 上有解，求实数 m 的最大值；
( )
f x
关于点 ( 1, 1)
中心对称.
（3）证明：函数
【答案】（1）
（2）最大值为
y
3,3
1
2
（3）在函数
关于点
y
的对称点 ( 2
1, 1
( )
f x
Q
，
, 2
a
b
)
的图象上任意取一点 ( , )
P a b ，
由 ( )
f a
b 得
b
2
a
a
1
，即
a
2
b
b
1
(
b
1)
,
把
x
代入得
a
2
f
( 2
a
)
2 2
a
2
1
a
4
a
1
a
3
b
b
6
1
1
b
3
b
2
,
24+
b
1
b
2
b
1
b
Q
1
所以对称点 ( 2
的图象上.
即函数
y
( )
f x
)
y
a
, 2
( )
f x
b
在函数
的图象关于
1, 1
中心对称.
( )
f x
) |
k
x
，则称函数 ( )
y
21. 函 数
|
( )
f
f x
（1）分别判断函数 ( ) 2021
(
f x 具有性质 ( )P k .
与 ( )g x
f x
为二次函数，若存在正实数 k ，使得函数
（2）已知
y
( )
f x
x 是否具有性质 (1)P ，并说明理由；
y
( )
f x
具有性质 ( )P k .求证：
的 定 义 域 为 D ， 若 存 在 正 实 数 k ， 对 任 意 的 x D ， 总 有
y
( )
f x
是偶函数；
（3）已知 0
a
， 为给定的正实数，若函数
k
( )
f x
log 4x
2
a
具有性质 ( )P k ，求 a
x
的取值范围.
【答案】
) |
| 2021 2021| 0 1
，
f
(
x
（1）
( )
对任意 xR ，得 |
f x
f x 具有性质 (1)P ；
所以 ( )
) |
(
( )
对任意 xR ，得 |
(
|
x
x
g
g x
(1)
易得只需取 1x ，则|
( 1) | 2 1
g
g
.
所以 ( )g x 不具有性质 (1)P
) |
| 2 |
x
x
，
.
（2）
设二次函数
( )
f x
则对任意 xR ，
x
( )
f x
满足
(
f
|
x
若 0b ，取 0
|
2
ax
bx
(
c a
满足性质 ( )P k .
0)
) |
k
b
|
ax
2
bx
c
(
ax
2
bx
c
) |
| 2
bx
|
k
.
，
0
|
(
f x
0
)
f
(
x
0
) |
| 2
bx
0
| 2
k
，矛盾.
k
|
所以 0b ，此时
满足
f
f x
x
( )
f x
2
ax
(
c a
，
0)
，即
y
( )
f x
为偶函数
（3）
由于 0a ，函数
( )
f x
log (4
2
x
a
)
的定义域为 R.
x
易得
x
log (4
x
( )
2 )
f x
f x 具有性质 ( )P k ，则对于任意实数 x ，
log (2
a
a
x
)
2
2
x
.
若函数 ( )
有
|
( )
f x
f
(
x
) |
| log (2
2
x
a
2 )
x
log (2
2
x
a
2 )|
x
|
k
，即
k
log
2
x
2
2
2
a
x
2
a
x
x
k
.
| log
2
x
2
2
即
k
log
x
x
2
a
x
2
a
x
4
a
1
2
a
4
x
k
.
由于函数
y
log
2
x
在 (0,
) 上严格递增，得
k
2
x
4
a
a
4
x
1
k
2
.
k
2
即
1
a
a
4
a
，对任意实数 x 恒成立.
k
当 1a 时，得 2
1
a
2
1
.
k
x
k
1 2
1
a
当 1
a 时，易得
a
，由1
0
a
4
1x
，得
0
1
a
1
4x
1
，
得
0
1
a
a
4x
a
1
，得
a
1
a
1
a
1
a
1
a
a
4x
a
1
.
a
对任意实数 x 恒成立，
由题意得
k
2
1
a
1
1
a
a
4
a
k
2
x
所以
1
a
a
k
2
k
2
，即1
a
2 .k
当
1a 时，易得
a
，由1
0
1
a
a
4
1x
，得
0
1
a
1
4x
1
，
得
0
1
a
a
4 x
a
1
，得
a
1
a
1
a
1
a
1
a
a
4x
a
1
.
a
对任意实数 x 恒成立，
由题意得
k
2
1
a
1
1
a
a
4
a
k
2
x
所以
k
2
k
2
a
1
a
，即1
a
2 .k
综上所述， a 的取值范围为[2 ,2 ]
k
k
.
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