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C_C++算法大全.doc
算法大全（C，C++）
一、 数论算法
1．求两数的最大公约数
function gcd(a,b:integer):integer;
begin
if b=0 then gcd:=a
else gcd:=gcd (b,a mod b);
end ;
2．求两数的最小公倍数
function lcm(a,b:integer):integer;
begin
if a0 do inc(lcm,a);
end;
3．素数的求法
A.小范围内判断一个数是否为质数：
function prime (n: integer): Boolean;
var I: integer;
begin
for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do
if n mod I=0 then begin
prime:=false; exit;
end;
prime:=true;
end;
B.判断 longint 范围内的数是否为素数（包含求 50000 以内的素数表）：
procedure getprime;
var
i,j:longint;
p:array[1..50000] of boolean;
begin
fillchar(p,sizeof(p),true);
p[1]:=false;
i:=2;
while i<50000 do begin
if p[i] then begin
j:=i*2;
while j<50000 do begin
p[j]:=false;
inc(j,i);
end;
end;
inc(i);
end;
l:=0;
for i:=1 to 50000 do
if p[i] then begin
inc(l);pr[l]:=i;
end;
end;{getprime}
function prime(x:longint):integer;
var i:integer;
begin
prime:=false;
for i:=1 to l do
if pr[i]>=x then break
else if x mod pr[i]=0 then exit;
prime:=true;
end;{prime}
二、图论算法
1．最小生成树
A.Prim 算法：
procedure prim(v0:integer);
var
lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;
i,j,k,min:integer;
begin
for i:=1 to n do begin
lowcost[i]:=cost[v0,i];
closest[i]:=v0;
end;
for i:=1 to n-1 do begin
{寻找离生成树最近的未加入顶点 k}
min:=maxlongint;
for j:=1 to n do
if (lowcost[j]0) then begin
min:=lowcost[j];
k:=j;
end;
lowcost[k]:=0; {将顶点 k 加入生成树}
{生成树中增加一条新的边 k 到 closest[k]}
{修正各点的 lowcost 和 closest 值}
for j:=1 to n do
if cost[k,j]0 do begin
i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2);
if i<>j then begin
inc(tot,e[q].len);
vset[i]:=vset[i]+vset[j];vset[j]:=[];
dec(p);
end;
inc(q);
end;
writeln(tot);
end;
2.最短路径
A.标号法求解单源点最短路径：
var
a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
b:array[1..maxn] of integer; {b[i]指顶点 i 到源点的最短路径}
mark:array[1..maxn] of boolean;
procedure bhf;
var
best,best_j:integer;
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false);
mark[1]:=true; b[1]:=0;{1 为源点}
repeat
best:=0;
for i:=1 to n do
If mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点}
for j:=1 to n do
if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then
if (best=0) or (b[i]+a[i,j]0 then begin
b[best_j]:=best；mark[best_j]:=true;
end;
until best=0;
end;{bhf}
B.Floyed 算法求解所有顶点对之间的最短路径：
procedure floyed;
begin
for I:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示 I 到 j 的最短路径上 j 的前驱结点}
for k:=1 to n do {枚举中间结点}
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[i,k]+a[j,k]
C. Dijkstra 算法：
var
a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
b,pre:array[1..maxn] of integer; {pre[i]指最短路径上 I 的前驱结点}
mark:array[1..maxn] of boolean;
procedure dijkstra(v0:integer);
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false);
for i:=1 to n do begin
d[i]:=a[v0,i];
if d[i]<>0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0;
end;
mark[v0]:=true;
repeat {每循环一次加入一个离 1 集合最近的结点并调整其他结点的参数}
min:=maxint; u:=0; {u 记录离 1 集合最近的结点}
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and (d[i]0 then begin
mark[u]:=true;
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]
4．无向图的连通分量
A.深度优先
procedure dfs ( now,color: integer);
begin
for i:=1 to n do
if a[now,i] and c[i]=0 then begin {对结点 I 染色}
c[i]:=color;
dfs(I,color);
end;
end;
B 宽度优先（种子染色法）
5．关键路径
几个定义： 顶点 1 为源点，n 为汇点。
a. 顶点事件最早发生时间 Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中 Ve (1) = 0;
b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl(n) = Ve(n);
c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边 I 由表示，则 Ee[I] = Ve[j];
d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边 I 由表示，则 El[I] = Vl[k] – w[j,k];
若 Ee[j] = El[j] ，则活动 j 为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。
求解方法：
a. 从源点起 topsort,判断是否有回路并计算 Ve;
b. 从汇点起 topsort,求 Vl;
c. 算 Ee 和 El;
6．拓扑排序
找入度为 0 的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。
例 寻找一数列，其中任意连续 p 项之和为正，任意 q 项之和为负，若不存在则输出 NO.
7.回路问题
Euler 回路(DFS)
定义：经过图的每条边仅一次的回路。（充要条件：图连同且无奇点）
Hamilton 回路
定义：经过图的每个顶点仅一次的回路。
一笔画
充要条件：图连通且奇点个数为 0 个或 2 个。
9．判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法
x[I],y[I],t[I]分别表示第 I 条边的起点，终点和权。共 n 个结点和 m 条边。
procedure bellman-ford
begin
for I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive;
d[0]:=0;
for I:=1 to n-1 do
for j:=1 to m do {枚举每一条边}
if d[x[j]]+t[j]=best then exit; {s[n]为前 n 个物品的重量和}
if k<=n then begin
if v>w[k] then search(k+1,v-w[k]);
search(k+1,v);
end;
end;
l DP
F[I,j]为前 i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为 j 的标志，为布尔型。
实现:将最优化问题转化为判定性问题
f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]<=j<=v) 边界：f[0,0]:=true.
For I:=1 to n do
For j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]];
优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。
F[0]:=true;
For I:=1 to n do begin
F1:=f;
For j:=w[I] to v do
If f[j-w[I]] then f1[j]:=true;
F:=f1;
End;
B.求可以放入的最大价值。
F[I,j] 为容量为 I 时取前 j 个背包所能获得的最大价值。
F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] }
C.求恰好装满的情况数。
DP:
Procedure update;
var j,k:integer;
begin
c:=a;
for j:=0 to n do
if a[j]>0 then
if j+now<=n then inc(c[j+now],a[j]);
a:=c;
end;
2．可重复背包
A 求最多可放入的重量。
F[I,j]为前 i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为 j 的标志，为布尔型。
状态转移方程为
f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I])
B.求可以放入的最大价值。
USACO 1.2 Score Inflation
