2020-2021 年上海市浦东新区高一数学下学期期末试卷及答 案 一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结 果，每个空格填对 得 3 分，否则一律得零分. 1．75  5 12  （弧度）． 象限的角．  1,2 2． 2021 是第 三 3．若角的终边过点  P  4  x x R 4．半径为1，圆心角为 1 2sin   5．函数 y 2 的扇形面积为  的值域为  ，则 tan 2 ．  8 .  1,1 ． 6. 终边在 x 轴正半轴上所有角的集合为  1 3 2 ，则 sin sin     7．已知 tan cos cos    ,k    2 | ．（用弧度制表示） k Z   ． 8．如果 cos  ，且是第四象限角，那么 cos 1 3 9．若 sin x  ，   0, x 1 2  ，则角 x  1 6 或      2   5 6    2 2 3 ． ． 10 ． 在 ABC 中 ， 若 2a  ， b  2 3 ， B  120  ， 则 ABC 的 面 积 为 3 ． 11．已知角是第三象限角，则 sin    2     “正负均可”） 的符号为 正负均可 （填写“正”或“负”或 12．若 cos      3    1 5 ，     0,  2    ，则sin 3 2 6  10 ． 二、选择题（本大题满分 12 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得 3 分，否则一律得零分. 1 / 5 

13． cos52 cos 22    sin 52 sin 22    （ B ） （ A ） （ B ） 1 2 3 2 （C ）sin 74 （ D ）cos74 14．在 ABC 中， 2 sin A  sin 2 B  2 sin C ，则 ABC 是 （ D ） （ A ）锐角三角形 （ B ）钝角三角形 （C ）等腰直角三角形 （ D ）直角三角形 y y  15．下列函数中，最小正周期为的奇函数是  （ A ） cos 2    （ B ） sin 2    （C ） sin 2    cos 2 x     2    x  2  x     4   x   （ D ）    y y  ( A ) 16．下列命题中真命题的个数是 ( C ) ① 若 0   ，则 1 sin 2    cos   sin  ；  4  k    ②  cos 2  cos   k Z  ；③ 若  4 ，则sin   0 且 cos   0 . （ A ） 0 个 （ B ）1 个 （C ） 2 个 （ D ） 3 个 2 / 5 

三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. （本题满分 10 分）已知 cos   ，     2  , ，求 tan      2 sin 2  的值． 3 5 4 5 解：由 cos   ，  3 5    2  , ，得 sin     …………3 分 4 5 所以， sin 2   2sin cos       2    3 5      24 25 ………… 5 分 tan   所以， sin  cos  tan     4 3 2 sin 2  ………… 7 分    25 4 3 12  ………… 10 分 3 4 A  ， cos 中，已知 12 13 A  ………… 3 分 cos B  ，求sinC 的值． 8 17 18．（本题满分 10 分）在 ABC 解：由 A  ，得 12 13 sin B  ，得 cos 8 17 5 13 B  ………… 6 分 sin 15 17    ，知 又因为在 ABC 中， A B C  cos C    A B  ，  所以，  sin 8 sin C 5 12 15 13 17 13 17       A B 220 221    sin cos A B  cos A sin B ………… 8 分 ………… 10 分 19．（本题满分 10 分）求函数 sin  y x  3 cos x 的最小正周期与单调增区间．  x  3     ………… 4 分 解：由 sin  y x  3 cos x ，得 2sin  y 所以，最小正周期 由 2 k   解得， 2  2 k     x 5  6 2 k   2T  ………… 6 分    3     2  k   6 k Z  2 x   k Z  ………… 8 分 ………… 10 分 因此，函数 sin  y x  3 cos x 单调增区间为 2 k      5  6 ,2 k    6     k Z   ． 3 / 5 

20．（本题满分 10 分）如图所示，甲船在距离 A 港口 24 海里，并在南偏西 20 方向的C 处 驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东 40 方向的 B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31 海里．当乙船行驶 20 海里到达 D 处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时 甲、乙两船之间的距离为多少？ AC  ， BC  ， CAD  ， 24 31 20 40 60 A      解：根据题意， ………… 2 分 在 ABC 中，由正弦定理，得 24 ABC   31 sin 60  sin ， 从而 sin ABC  12 3 31 ．………… 4 分 C D B 由 AC BC ，知 ABC 为锐角，故 cos  ABC  1 sin  2  ABC  ．…… 6 分 在 BCD 中，由余弦定理，有  2 31  2 20    2 31 20  CD 23 31  2 BC  BD 2 2  BC BD  cos   （海里）．………… 10 分 21 所以，此时甲、乙两船之间的距离为 21 海里． 23 31 ABC 21．（本题满分 12 分，第 1 问 6 分，第 2 问 6 分）已知右图是函数 )( xf  sin    x |    ）在区间 0, | （其中  2 （1）求、的值；      6 3 , 上的图像． （2）设 x  50,   12    ，不等式  f x 4    恒成立，求实数 m 的取值范围． 1 m 解：（1）由  T  2 3    2 …………3 分      6 2     ，得   2   ， y 1 x     6   ， 2   6 O  3 x 令 2 x   ，则 0   …………6 分  3 （2）由（1）得， )( xf  sin 2    x    3  ，当 x  50,   12    时， x 2 3   7   3 6  ， 4 / 5 

可得，   1 2   f x 1  ，…………10 分 所以， 3 4     f x 1 3   则当不等式  f x 4    恒成立时，实数 m 的取值范围为 1 m m   …………12 分 3 5 / 5